Comercio Cuantitativo - página 14
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Finanzas Computacionales: Conferencia 9/14 (Simulación de Monte Carlo)
Finanzas Computacionales: Conferencia 9/14 (Simulación de Monte Carlo)
La conferencia cubre varios temas relacionados con la simulación de Monte Carlo y la integración en finanzas computacionales, brindando información sobre diferentes enfoques y técnicas.
El disertante comienza presentando problemas de integración y demostrando cómo calcular integrales utilizando el muestreo de Monte Carlo. Explican dos enfoques: el enfoque clásico para la integración y la integración basada en el valor esperado. A través de demostraciones de programación en Python, el disertante muestra cómo analizar y hacer más eficientes las simulaciones. Discuten el impacto de la suavidad en la convergencia y los diferentes tipos de convergencia.
Además, la conferencia cubre dos importantes técnicas de discretización, a saber, Euler y Milstein, y explica cómo controlar el error en función del paso de tiempo en la simulación. El disertante enfatiza los principios y la historia de la simulación Monte Carlo, que se ha utilizado en varios campos durante casi 90 años. Ganó popularidad entre los físicos en la década de 1930, especialmente durante el Proyecto Manhattan.
Se discute la importancia de calcular el valor esperado de un pago futuro en las finanzas computacionales. Esto implica integrar sobre el eje real utilizando la densidad del stock, considerando tasas de interés constantes o dependientes del tiempo. La integración de Monte Carlo, asociada con el muestreo y la teoría de la probabilidad, se presenta como una técnica que proporciona resultados variables con cada simulación. La conferencia enfatiza su aplicación a problemas altamente dimensionales y la capacidad de controlar la varianza de la distribución de errores ajustando la configuración en la simulación. El disertante también discute métodos para mejorar el muestreo y la simulación con Monte Carlo.
Se explica un método específico para estimar integrales usando simulación Monte Carlo. Este método implica muestrear puntos uniformemente en un área rectangular y contar la proporción de muestras debajo de la curva para estimar la integral. Aunque no se usa comúnmente en finanzas, este enfoque puede ser valioso para problemas de alta dimensión. El disertante enfatiza la importancia de entender la función que se está integrando para capturar eficientemente el área de interés.
La conferencia también profundiza en las limitaciones y desafíos de la simulación Monte Carlo en finanzas. Si bien proporciona estimaciones aproximadas, los resultados pueden ser muy inexactos, especialmente para simulaciones complejas. El disertante explica que el error esperado en las simulaciones de Monte Carlo disminuye por la raíz cuadrada del número de simulaciones, lo que lleva a la intensidad computacional. La conferencia explora aún más la relación entre los enfoques integral y de expectativa, mostrando un ejemplo de cómo están vinculados. En finanzas, el enfoque de expectativas generalmente se considera más eficiente y preciso que la simulación Monte Carlo tradicional.
La conferencia cubre la ley de los grandes números y su relación con las variables aleatorias independientes. Se discute la estimación de la varianza y el cálculo de la expectativa para determinar la media. Se presenta una comparación entre el "enfoque ingenuo" y el enfoque de expectativa, siendo este último significativamente más preciso incluso con menos muestras. El disertante demuestra el código para realizar esta simulación, enfatizando la necesidad de especificar dos puntos para el enfoque para integrar la función.
Se analizan diferentes ejemplos de integrales estocásticas encontradas en finanzas, destacando la suma del movimiento browniano en pasos de tiempo, la suma del movimiento browniano en incrementos y la multiplicación del movimiento browniano por incrementos. Se presenta un caso más concreto, donde una función g(t) se integra de 0 a T con una función g(s)dW(s). La lección explica cómo dividir el rango de integración en subintervalos más pequeños y usar la simulación Monte Carlo para aproximar la integral. Se enfatiza la importancia del tamaño de la muestra y el rango de valores para obtener resultados precisos.
El ponente explica cómo resolver numéricamente una integral determinista mediante un proceso de partición y aproximación. Introducen la integral de Ito y explican la evaluación de la función GT al comienzo del intervalo, con la integral elegida en el límite izquierdo. Usando un ejemplo con una función GT de T cuadrado, el disertante demuestra cómo obtener la expectativa y la varianza con la propiedad de isometría de Ito. Se proporciona código de Python para simular el cálculo y se explican los pasos involucrados.
Se discute la generación del movimiento browniano y su uso en la construcción de un proceso y la definición de una integral. La lección recorre el proceso de generar una distribución y usarla para construir el proceso de movimiento browniano. Se demuestra el impacto de eliminar la condición de escala en la distribución y la varianza. El profesor también explica un truco para resolver integrales con movimiento browniano aplicando el Lema de Ito. Finalmente, la lección muestra cómo considerar la función x al cuadrado para calcular la integral.
Se discute la aplicación del Lema de Ito para obtener la dinámica de una función igual a t2 al cuadrado. Al aplicar el Lema de Ito a x al cuadrado, la lección revela un término que se calcula a través de la integración, lo que da como resultado una distribución de pi al cuadrado en lugar de una distribución normal. El disertante enfatiza la importancia de la experiencia para adivinar qué tipo de función aplicar para lograr el resultado deseado. El código se modifica para cambiar entre integrales y se sugiere aumentar el número de muestras para mejorar el resultado.
Se discuten las simulaciones de Monte Carlo, las rutinas numéricas y la importancia de los generadores de números aleatorios de buena calidad. La conferencia explica el Lema de Ito y ofrece un enfoque heurístico para comprender por qué dwt dwt es igual a cero. Se observa que la disminución del tamaño de la cuadrícula conduce a una convergencia más rápida de la varianza en comparación con la expectativa. Se lleva a cabo un experimento para demostrar que la expectativa llega a cero a un ritmo más lento mientras que la varianza se aproxima a casi cero. El orador proporciona intuición sobre por qué dwt dwt es igual a cero, al tiempo que reconoce que la prueba teórica de esta relación es bastante complicada.
La conferencia profundiza en la convergencia de dos funciones similares, g1 y g2, e investiga sus expectativas cuando se toman muestras de un movimiento browniano. Estas funciones tienen límites de 0 cuando x tiende a menos infinito y de 1 cuando x tiende a más infinito. El disertante calcula el error para números crecientes de muestras simuladas y presenta un gráfico que compara el error con el número de muestras. La primera función, con una curva no suave y un amplio rango de oscilación, se contrasta con la segunda función, que tiene una curva suave y converge más rápido.
La convergencia se destaca como una consideración crucial cuando se utiliza la simulación de Monte Carlo en finanzas. La conferencia explica la diferencia entre convergencia débil y fuerte, siendo la convergencia fuerte más poderosa que la débil. Pueden ocurrir errores en la convergencia cuando se trata de funciones no uniformes y pagos de tipo digital, lo que lleva a resultados de evaluación sustancialmente diferentes. Comprender las diferencias y las implicaciones de ambos tipos de convergencia es fundamental para garantizar simulaciones y evaluaciones financieras precisas.
La conferencia analiza la convergencia débil y fuerte en el contexto de las simulaciones de Monte Carlo y los algoritmos de fijación de precios. Si bien la convergencia débil coincide con momentos en el nivel de expectativa, la convergencia fuerte es necesaria para obtener pagos precisos que dependen de la trayectoria. Un algoritmo completo de fijación de precios de Monte Carlo implica definir una cuadrícula desde el momento actual hasta la fecha de pago del contrato, una ecuación de fijación de precios y un controlador estocástico para el activo. Las simulaciones de Monte Carlo son necesarias cuando las evaluaciones de forma cerrada no son posibles debido a la complejidad del proceso de stock. La cuadrícula suele estar igualmente espaciada, pero en algunos casos, se pueden emplear estrategias alternativas.
El profesor enfatiza la precisión y las limitaciones de tiempo de la simulación de Monte Carlo. Se observa que si bien aumentar el número de pasos de tiempo mejora la precisión, también aumenta el tiempo de simulación. Las técnicas avanzadas o las soluciones de forma cerrada que permiten pasos de Monte Carlo más grandes pueden ser beneficiosas para lograr precisión y velocidad. Luego, la conferencia procede a definir las cuadrículas, el activo y el pago para una opción de tipo europeo. El estado final de la opción depende del momento de las observaciones. La lección explica cómo calcular el precio de la opción tomando la expectativa bajo la medida de la cola y descontándola, mientras también calcula el error estándar para medir la variabilidad de los resultados obtenidos.
El concepto de error estándar se analiza en el contexto de la simulación Monte Carlo. La lección explica que la expectativa se puede calcular utilizando la ley fuerte de los grandes números, y la varianza de la media se puede calcular asumiendo que las muestras se extraen de forma independiente. El error estándar, que mide la variabilidad de la expectativa dado un cierto número de caminos, se puede determinar dividiendo la varianza por la raíz cuadrada del número de caminos. A medida que aumenta el número de muestras, el error disminuye. Por lo general, aumentar el número de muestras por un factor de cuatro reducirá el error por un factor de dos. Un método clásico para simular ecuaciones diferenciales estocásticas es a través de la discretización de Euler, que es sencilla pero tiene sus limitaciones.
El disertante discute el uso de ecuaciones diferenciales estocásticas y la discretización de Euler en simulaciones Monte Carlo. El proceso implica definir una cuadrícula, realizar una simulación y medir la diferencia entre la solución exacta y la simulación a través del error absoluto. Es fundamental asegurarse de que la aleatoriedad de las variables tanto en la versión exacta como en la discretizada sea la misma para garantizar la comparabilidad. La conferencia también enfatiza la importancia de la vectorización en las simulaciones de Monte Carlo, ya que es más eficiente que usar bucles dobles para cada paso de tiempo y ruta. Sin embargo, es importante tener en cuenta que, si bien este enfoque simplifica el proceso, presenta limitaciones en términos de precisión y velocidad.
Se examina la solución exacta para el movimiento browniano con un término de deriva y un término de volatilidad (r y sigma), usando el movimiento browniano generado en la representación exacta y el mismo movimiento usado en la aproximación. La conferencia compara el error absoluto y el error promedio en la convergencia débil, destacando que la convergencia débil es suficiente para fijar el precio de un tipo de pago europeo, pero puede no ser suficiente para los pagos dependientes de la trayectoria. Se muestran gráficos para ilustrar las rutas generadas para la discretización de Euler en comparación con la solución exacta, donde se pueden observar diferencias entre las dos para algunas rutas. La conferencia concluye con una comparación de errores fuertes y débiles.
El disertante discute la implementación de simulaciones de Monte Carlo usando código. Explican que para cuantificar el error, se necesita usar una medida de error, como se discutió anteriormente en la lección. El código genera rutas y compara los valores exactos con la aproximación mediante simulación multicolor. Los resultados son rutas de tiempo para el stock y los valores exactos. El ponente destaca la importancia de generar los mismos movimientos brownianos tanto para la aproximación como para la solución exacta para compararlos a nivel de error. Para medir los errores de convergencia débiles y fuertes, definen un rango del número de pasos y realizan simulaciones de Monte Carlo para cada paso. El código genera dos tipos de errores: error débil y error fuerte.
El disertante analiza el proceso de simulación involucrado en el método de Monte Carlo y cómo puede llevar mucho tiempo porque la simulación debe repetirse muchas veces. Los resultados se muestran a través de gráficos de convergencia fuerte y débil, donde el error de convergencia débil está representado por la línea azul de crecimiento lento, mientras que el error de convergencia fuerte sigue una forma de raíz cuadrada de delta T, lo que confirma el análisis. El disertante explica que el error se puede reducir significativamente mediante la técnica de discretización de Milstein, que deriva términos adicionales aplicando la expansión de Taylor. Si bien implica más trabajo llegar a la fórmula final, el esquema de Milstein requiere la derivada del término de volatilidad, que no siempre está disponible analíticamente.
El ponente explica el uso de la simulación Monte Carlo en finanzas computacionales, específicamente en el movimiento browniano geométrico. Demuestran cómo calcular el término de volatilidad en el sentido de distribución y compararlo con el esquema de Euler. Aunque la simulación de Monte Carlo tiene una tasa de convergencia más rápida que el método de Euler, puede ser un desafío obtener la derivada en modelos que involucran múltiples dimensiones, ya que requiere cálculos computacionales adicionales. Además, el ponente compara el error absoluto en los sentidos débil y fuerte entre los dos esquemas, destacando que el error fuerte de Monte Carlo es lineal en delta t, mientras que el error débil de Euler es del mismo orden. Finalmente, proporcionan una implementación de código de la simulación Monte Carlo para generar trayectorias en el movimiento browniano geométrico y analizar su fuerte convergencia.
El ponente discute el impacto de diferentes técnicas de discretización en la convergencia usando el ejemplo del Black-Scholes o el movimiento browniano geométrico. El análisis de los esquemas de Euler y Milstein sirve como ilustración del impacto de diferentes técnicas de discretización. El disertante compara los errores entre los esquemas de Milstein y Euler, mostrando que el error del esquema de Milstein es mucho menor que el de Euler, aunque puede que no siempre sea aplicable. El beneficio de los diferentes esquemas puede no ser evidente al mirar los resultados finales, pero considerando el costo computacional de la simulación, el tiempo se vuelve crucial. Por lo tanto, usar pasos de tiempo grandes sería esencial si queremos realizar simulaciones rápidas de Monte Carlo.
Luego, el disertante procede a discutir el papel de los generadores de números aleatorios (RNG) en las simulaciones de Monte Carlo. Destacan la importancia de utilizar RNG de buena calidad para garantizar resultados precisos y fiables. El disertante menciona que los generadores de números pseudoaleatorios (PRNG) se usan comúnmente en simulaciones y explica cómo generan secuencias de números que se aproximan a la aleatoriedad. También destacan la necesidad de reproducibilidad en las simulaciones mediante el uso de un valor semilla fijo para el RNG. A continuación, el disertante analiza el concepto de variantes antitéticas, que es una técnica de reducción de varianzas utilizada en las simulaciones de Monte Carlo. La idea detrás de las variables antitéticas es generar pares de variables aleatorias que tengan efectos opuestos en la cantidad de interés. Tomando el promedio de los resultados obtenidos de las variables originales y sus contrapartes antitéticas, se puede reducir la varianza de la estimación. Esta técnica es particularmente útil cuando se trata de distribuciones simétricas.
Luego, la conferencia introduce el concepto de variables de control como otra técnica de reducción de la varianza. Las variables de control implican la introducción de una función conocida en el proceso de simulación que se correlaciona con la cantidad de interés. Al restar la estimación obtenida de la función conocida de la estimación obtenida de la función objetivo, se puede reducir la varianza de la estimación. El disertante proporciona ejemplos para ilustrar cómo se pueden aplicar las variables de control en la práctica. Además de las técnicas de reducción de la varianza, el disertante analiza el concepto de muestreo estratificado. El muestreo estratificado implica dividir el espacio muestral en estratos y tomar muestras de cada estrato por separado. Este enfoque asegura que cada estrato esté representado en la muestra, lo que lleva a estimaciones más precisas. La conferencia explica el procedimiento para implementar el muestreo estratificado y destaca sus ventajas sobre el muestreo aleatorio simple.
Finalmente, el disertante explora el concepto de muestreo de importancia. El muestreo de importancia es una técnica utilizada para estimar la probabilidad de eventos raros mediante la asignación de probabilidades más altas a las muestras que tienen más probabilidades de producir el evento deseado. La conferencia explica cómo el muestreo de importancia puede mejorar la eficiencia de las simulaciones de Monte Carlo para la estimación de eventos raros. El disertante proporciona ejemplos y analiza la importancia de elegir una distribución de muestreo adecuada para obtener resultados precisos.
La conferencia cubre una variedad de temas relacionados con las simulaciones de Monte Carlo, incluidos problemas de integración, cálculo de integrales mediante el muestreo de Monte Carlo, demostraciones de programación, análisis de convergencia, técnicas de discretización, principios e historia de la simulación de Monte Carlo, aplicación en finanzas computacionales, reducción de varianza técnicas y muestreo de importancia. El conferenciante proporciona información sobre la teoría y la implementación práctica de las simulaciones de Monte Carlo y destaca su relevancia en varios campos.
Finanzas computacionales: Conferencia 10/14 (Simulación de Monte Carlo del modelo de Heston)
Finanzas computacionales: Conferencia 10/14 (Simulación de Monte Carlo del modelo de Heston)
La conferencia se centra en la utilización de la simulación de Monte Carlo para la fijación de precios de derivados, específicamente opciones europeas, utilizando el desafiante modelo de Heston. Comienza con un ejercicio de calentamiento en el que se valoran las opciones europeas y digitales utilizando Monte Carlo y el modelo simple de Black-Scholes. Se analiza la simulación del proceso de Cox-Ingersoll-Ross (CIR), que modela la varianza en el modelo de Heston, y se enfatiza la necesidad de un muestreo preciso de esta distribución. El disertante demuestra la simulación exacta del modelo CIR, destacando sus beneficios en la generación de muestras precisas.
A continuación, el disertante introduce el concepto de simulación casi exacta, que permite pasos de tiempo más grandes y una mayor precisión en comparación con la discretización de Euler. El modelo de Heston se simula utilizando los esquemas de Euler y Milstein y se comparan los resultados. Se observa que la convergencia débil es importante para los pagos de tipo europeo, mientras que la convergencia fuerte es importante para los pagos dependientes de la trayectoria. Es necesario ajustar el número de pasos o rutas según el tipo de pago y la calidad deseada de los resultados, teniendo en cuenta las limitaciones de tiempo computacional en las aplicaciones del mundo real.
Se discute el tiempo computacional requerido para las evaluaciones y se presenta una comparación de códigos entre los esquemas de discretización de Euler y Milstein. El disertante asesora sobre la optimización de código para entornos de producción, enfatizando que el almacenamiento de rutas completas puede no ser necesario para la evaluación de pagos que solo requiere el valor final del stock. La conferencia también proporciona la solución exacta como una implementación simplificada del modelo Black-Scholes.
Se explica la fijación de precios de las opciones digitales o de efectivo o nada utilizando la simulación de Monte Carlo, destacando las diferencias en el cálculo del pago en comparación con las opciones europeas. Se presentan diagnósticos y resultados para comparar los enfoques para ambos tipos de opciones. La conferencia reconoce las limitaciones de las simulaciones de Monte Carlo para opciones con pagos dependientes de la terminal, donde no existe una fuerte convergencia. Se enfatiza el carácter genérico del código, haciéndolo aplicable a otros modelos como el modelo de Heston.
La conferencia se sumerge en las condiciones requeridas para que el modelo de Heston se comporte bien y analiza cómo las técnicas de discretización pueden afectar estas condiciones. El impacto de los cambios en el parámetro de volatilidad sobre el comportamiento del modelo se demuestra a través de gráficos, enfatizando que el proceso no debe volverse negativo. También se destacan las limitaciones de la discretización de Euler para mantener estas condiciones. Se discute la probabilidad de realizaciones negativas en la siguiente iteración del modelo de Heston con simulación Monte Carlo. La probabilidad de realizaciones negativas se calcula en función de la relación entre ciertos parámetros, y se enfatiza la importancia de alinear las rutas de Monte Carlo con el modelo para evitar diferencias de precios significativas. Se analizan dos enfoques para el manejo de valores negativos en la simulación del modelo de Heston: el truncamiento y el esquema de Euler reflectante. Se comparan los pros y los contras de cada enfoque y se menciona el impacto de los pasos de tiempo más pequeños en la reducción del sesgo, aunque a un costo computacional más alto.
La conferencia explora el uso de la simulación exacta para el proceso CIR en el modelo de Heston, lo que permite el muestreo directamente desde la distribución de chi-cuadrado no central. Este enfoque evita la necesidad de pequeños pasos de tiempo y permite el muestreo en momentos específicos de interés. Se describe el código computacional para la simulación, enfatizando su simplicidad y optimización para la generación de muestras. La conferencia profundiza en la integración del proceso del modelo de Heston tanto para los valores de X como de varianza, destacando la simplificación lograda mediante la sustitución. Se enfatiza la importancia del orden adecuado de los procesos en simulaciones multidimensionales, junto con la recomendación de usar pasos de tiempo grandes para facilitar la integración. La conferencia aborda la importancia de las simulaciones de grandes períodos de tiempo para las opciones de precios en fechas específicas, con el objetivo de reducir el tiempo de cálculo y mantener la calidad. Se recomiendan simulaciones exactas utilizando muestras de la distribución de chi-cuadrado no central, sin introducir aproximaciones adicionales. La conferencia también analiza el impacto de delta t en la precisión de la simulación y sugiere investigar su influencia en los resultados.
Se discute el concepto de error en las finanzas computacionales, y la conferencia presenta un experimento numérico que analiza el desempeño de la simulación casi exacta del modelo de Heston. La lección explica que al simplificar las integrales y usar la simulación casi exacta del proceso CIR, la simulación se vuelve determinista en lugar de estocástica. El disertante realiza un experimento numérico para evaluar el desempeño de este esquema simplificado en la simulación del modelo de Heston.
La conferencia explora aún más la compensación entre el esfuerzo computacional y el pequeño error introducido en el marco de las finanzas computacionales. El disertante enfatiza la necesidad de calibrar el modelo a los datos del mercado, ya que la condición de Feller para los procesos de volatilidad muchas veces no se cumple en la práctica. La conferencia señala que los coeficientes de correlación para el modelo de Heston suelen ser fuertemente negativos, posiblemente debido a consideraciones de esquema numérico.
El disertante analiza el uso de la simulación de Monte Carlo para la fijación de precios de derivados exóticos y destaca la importancia de calibrar el modelo para instrumentos líquidos. La precisión de la fijación de precios se garantiza mediante la simulación de rutas de Monte Carlo utilizando parámetros obtenidos de la calibración del modelo y considerando los instrumentos de cobertura relacionados con el derivado. El disertante destaca la superioridad de la simulación casi exacta sobre la discretización de Euler, incluso con menos pasos de tiempo, y explica que la fuente principal del error de Euler radica en la discretización problemática del proceso de varianza bajo parámetros extremos o violaciones de la condición de Feller.
La precisión de la discretización de Euler en el modelo de Heston se explora a través de experimentos con diferentes opciones, incluidas las opciones deep-in-the-money, out-of-the-money y at-the-money. La conferencia presenta el código utilizado en el experimento, centrándose en la discretización de Euler y la simulación casi exacta, que implica el muestreo CIR y la simulación del proceso de almacenamiento de troncos utilizando el parámetro de no centralidad.
El disertante analiza los ajustes y configuraciones de las simulaciones para valorar las opciones europeas utilizando tanto la discretización de Euler como la simulación casi exacta. La simulación exacta del proceso CIR, la correlación de los movimientos brownianos y la transformación exponencial son partes integrales de la simulación. Se demuestra la fijación de precios de opciones utilizando una función genérica, mostrando el impacto de variables como el precio de ejercicio y el paso de tiempo en la precisión de las simulaciones. La conferencia concluye destacando que la simulación casi exacta logra una alta precisión con menos pasos de tiempo en comparación con el esquema de Euler.
La conferencia cubre ampliamente el uso de la simulación de Monte Carlo para la fijación de precios de derivados en el modelo de Heston. Explora la simulación del proceso CIR, analiza los desafíos y las dificultades y compara diferentes esquemas de discretización. La conferencia enfatiza los beneficios de una simulación casi exacta, destaca la importancia de la calibración y la precisión del modelo, y brinda conocimientos prácticos y ejemplos de código para implementar simulaciones de Monte Carlo en finanzas computacionales.
Finanzas computacionales: Conferencia 11/14 (Cobertura y griegos de Monte Carlo)
Finanzas computacionales: Conferencia 11/14 (Cobertura y griegos de Monte Carlo)
En la conferencia, se enfatiza el concepto de cobertura como igualmente importante para la fijación de precios de derivados en finanzas. El disertante profundiza en varios cálculos de sensibilidades para determinar el impacto del precio de un derivado en parámetros específicos y cómo realizar un experimento de cobertura. Se cubren varios temas clave, incluidos los principios de cobertura en el modelo Black-Scholes, la simulación de pérdidas y ganancias, la cobertura dinámica y la influencia de los saltos. El disertante destaca que el concepto de cobertura determina el valor de un derivado, y el precio de la cobertura determina su valor total.
Para brindar una comprensión integral, el disertante comienza explicando el concepto de cobertura en la industria financiera. Las instituciones financieras generan ingresos aplicando un diferencial adicional al valor de un derivado exótico. Para mitigar el riesgo, se construye una cartera que replica el derivado. Esta cartera está compuesta por el valor del derivado con signo más y menos delta, que corresponde a la sensibilidad de la cartera a la acción. Seleccionar un delta apropiado es crucial, ya que determina la cantidad de acciones que deben comprarse o venderse para alinearse con el modelo utilizado. El disertante demuestra un experimento en el que el delta se ajusta continuamente a lo largo de la vida útil del contrato, lo que resulta en una pérdida de ganancias promedio de cero.
La conferencia cubre el concepto de cobertura delta y distingue entre cobertura dinámica y estática. La cobertura delta se emplea para cubrir los factores de riesgo en una cartera, y el valor de la cartera replicante determina la delta de la cobertura. La cobertura dinámica implica ajustes frecuentes al delta, mientras que la cobertura estática implica comprar o vender derivados solo al comienzo o en intervalos específicos durante el contrato de derivados. El video también analiza la sensibilidad de las coberturas a la cantidad de ecuaciones diferenciales estocásticas en el modelo de fijación de precios y cómo la frecuencia de la cobertura afecta las ganancias y pérdidas potenciales.
Al presentar el concepto de una cuenta de pérdidas y ganancias (P&L), la conferencia explica su papel en el seguimiento de las ganancias o pérdidas al vender derivados y cubrirlos. La cuenta de pérdidas y ganancias está influenciada por los ingresos iniciales obtenidos de la venta de una opción y el valor delta h, que crece con el tiempo en función de las tasas de interés de los ahorros o préstamos. El objetivo es lograr una cuenta de pérdidas y ganancias que se equilibre al vencimiento del derivado, indicando un valor razonable cobrado de acuerdo con el modelo de Black-Scholes. Sin embargo, si el modelo no se elige de manera adecuada, es posible que el diferencial adicional agregado al valor razonable no cubra todos los costos de cobertura, lo que resulta en una pérdida. Por lo tanto, es esencial emplear un modelo realista y robusto para la fijación de precios de derivados alternativos.
La conferencia profundiza en el proceso iterativo de cobertura y el cálculo de pérdidas y ganancias (P&L) al final del período de vencimiento. Este proceso implica calcular el delta de una opción en el momento t0 y el momento t1, y luego determinar la diferencia entre ellos para determinar la cantidad de acciones para comprar o vender. El disertante enfatiza la importancia de entender lo que se vende y cobra, ya que vender una opción implica esencialmente vender volatilidad y cobrar primas. Al final del proceso, el valor de la opción vendida se determina con base en el valor de las acciones al vencimiento y el P&L se evalúa utilizando la prima inicial, el valor al vencimiento y la cantidad de acciones compradas o vendidas a lo largo del proceso iterativo. .
El disertante cambia el enfoque hacia la cobertura en finanzas computacionales como un medio para reducir la variabilidad y la sensibilidad con respecto al valor de las acciones. La conferencia aclara cómo la cobertura ayuda a minimizar las pérdidas e introduce el concepto de la distribución del piano en las simulaciones de ruta de Monte Carlo, destacando que la expectativa de una P&L debe promediar cero. El beneficio derivado de vender un derivado exótico y cubrirlo surge del margen adicional que se le cobra al cliente ya que el P&L esperado es cero.
Para superar los desafíos que plantea la densidad desconocida en modelos avanzados como el modelo de Transformación de Fourier, se emplean métodos alternativos para calcular las sensibilidades. Uno de estos enfoques es el cálculo de Malliavin, que proporciona un marco matemático para calcular derivadas de variables aleatorias con respecto a parámetros en procesos estocásticos.
El cálculo de Malliavin introduce el concepto de derivada de Malliavin, que extiende la noción de derivadas clásicas a variables aleatorias impulsadas por procesos estocásticos. Este derivado permite el cálculo de sensibilidades para modelos complejos donde los métodos tradicionales pueden no ser aplicables. Al aprovechar la derivada de Malliavin, los profesionales pueden obtener sensibilidades con respecto a varios parámetros en el modelo de Transformación de Fourier. Este enfoque permite una gestión de riesgos y fijación de precios más precisa, ya que captura las complejas dependencias y dinámicas presentes en el modelo. Sin embargo, es importante tener en cuenta que utilizar el cálculo de Malliavin requiere técnicas matemáticas avanzadas y una comprensión profunda del análisis estocástico. Es un campo especializado que suelen explorar los expertos en finanzas cuantitativas y finanzas matemáticas.
En resumen, cuando se trata de modelos que involucran densidades desconocidas, como el modelo de Transformación de Fourier, el cálculo de Malliavin proporciona una poderosa herramienta para calcular sensibilidades. Este enfoque permite la evaluación de riesgos y la valoración precisa de derivados en escenarios financieros complejos.
Finanzas computacionales: Conferencia 12/14 (Opciones de inicio anticipado y modelo de Bates)
Finanzas computacionales: Conferencia 12/14 (Opciones de inicio anticipado y modelo de Bates)
La conferencia profundiza en las complejidades de las opciones de inicio anticipado, que son un tipo de opción europea con una fecha de inicio retrasada, a menudo denominadas opciones de rendimiento. Estas opciones son más complejas que las opciones europeas estándar, y la conferencia brinda una descripción general de su definición de pago y ventajas en comparación con las opciones europeas.
Las técnicas de fijación de precios para las opciones de inicio hacia adelante son más complejas y la lección se centra en el uso de funciones características. Explora dos tipos de opciones de inicio anticipado: una que usa el modelo Black-Scholes y la fijación de precios más desafiante bajo el modelo Heston. También se cubren la implementación en Python y el precio de un producto que depende de las volatilidades. La conferencia enfatiza la importancia de las opciones europeas como bloques de construcción y su calibración y relación con las opciones exóticas. Toca el modelo de Bates, que amplía el modelo de Heston incorporando saltos de Merton, y destaca el uso de parámetros de cobertura para garantizar modelos bien calibrados. El video explica cómo se determina el valor inicial desconocido de las acciones en las opciones de inicio anticipado en un momento futuro (t1) e introduce el concepto de filtración en relación con estas opciones. La conferencia también explora cómo las opciones de inicio anticipado pueden servir como componentes básicos para otros derivados, presentando una estrategia para reducir los costos derivados. Además, el profesor cubre la construcción de una opción de clic, una estructura derivada deseada y su relación con las llamadas europeas y las opciones de inicio de reenvío. La conferencia enfatiza la importancia de identificar las fechas de pago al calcular los factores de descuento para la fijación de precios. También muestra cómo se puede reformular la relación de dos acciones como el exponente de un logaritmo de la relación.
Se analizan varios métodos de fijación de precios para las opciones de inicio anticipado, incluida la simulación de Monte Carlo y soluciones analíticas como el modelo Black-Scholes. Se explica la necesidad de encontrar la función característica de avance, que permite fijar el precio de las opciones de inicio de avance para cualquier modelo en una clase específica de procesos. La conferencia demuestra la fijación de precios de una opción de inicio a plazo utilizando la función característica y la expectativa de un logaritmo UI de dos acciones. Se explora el condicionamiento en un campo sigma más grande al determinar la función característica, lo que permite tomar el exponente con el logaritmo menos fuera de la expectativa. También se utilizan funciones características descontadas de T2 a T1.
La conferencia profundiza en la función de divisas a plazo, que representa las expectativas futuras y se expresa como una expectativa sobre la medida neutral al riesgo. Explica que las tasas de interés deterministas dan como resultado que no haya diferencia entre las funciones monetarias descontadas y no descontadas. Sin embargo, las tasas de interés estocásticas introducen complejidad. Se describe el proceso de derivación de la función característica inicial directa, que involucra un valor esperado adicional, junto con la importancia de permitir soluciones analíticas a la expectativa externa para uso práctico. A continuación, se aplica la función característica de arranque directo a los modelos Black-Scholes y Heston.
Además, la conferencia se enfoca en la función de moneda de inicio a plazo para el modelo de Black-Scholes. Señala que el precio solo debe depender del rendimiento a lo largo del tiempo y no del valor inicial de las existencias, lo que simplifica la solución en comparación con la función de moneda descontada. La presencia de la parte de la varianza en múltiples dimensiones requiere resolver una expectativa interna. Se muestra una representación exacta del modelo de Black-Scholes, que confirma que la distribución del cociente de dos acciones es independiente del valor inicial de las acciones. La distribución se simplifica en un movimiento browniano geométrico, que abarca un incremento desde p1 hasta t2.
Se explica el precio de las opciones de inicio anticipado bajo el modelo Black-Scholes, destacando el uso del movimiento browniano geométrico para la relación de dos acciones en momentos diferentes. La solución de fijación de precios para las opciones de compra y venta para las opciones de inicio anticipado se parece mucho a la de las opciones de compra y venta europeas, con ligeras diferencias en el ajuste de huelga y los tiempos de descuento. La conferencia destaca la importancia de utilizar las volatilidades implícitas de Black-Scholes al calcular los precios, incluso cuando se emplean otros modelos, ya que se alinea con los estándares del mercado. También subraya la recomendación del disertante de considerar los dos parámetros para las opciones de inicio anticipado y recuerda a los espectadores que los precios de Black-Scholes se conocen analíticamente bajo este modelo.
Continuando, el orador profundiza en el modelo Hassle, que aumenta la complejidad de la función característica para las opciones de inicio hacia adelante al introducir un segundo proceso estocástico que representa la varianza. Sin embargo, el orador explica que esta segunda dimensión no es necesaria para las opciones de precios, ya que el enfoque está únicamente en la distribución marginal para el proceso de acciones. Después de la simplificación y sustitución de la función característica, se obtiene la expresión de la función de divisas a plazo. El orador sugiere revisar las diapositivas del modelo Hassle para obtener más detalles sobre las funciones involucradas en la expresión.
La lección continúa con la discusión de la función generadora de momentos para un proceso de Cox-Ingersoll-Ross (CIR) y presenta la expresión de forma cerrada para la función característica directa en el modelo de Heston. El disertante señala que tener la función generadora de momentos en forma cerrada permite un cálculo más rápido. Al sustituir la función generadora de momentos en la función de divisas a plazo, se obtiene una expresión de forma cerrada para la función característica a plazo. Finalmente, el disertante presenta un experimento numérico para fijar el precio de las opciones de inicio anticipado utilizando el modelo de Heston y las expresiones derivadas.
A continuación, el orador cambia el enfoque a las opciones de inicio hacia adelante y al modelo Bates. Explican cómo dvt representa el proceso de varianza y analizan los parámetros de volatilidad y varianza. El orador realiza dos experimentos para observar el impacto de las volatilidades implícitas en los parámetros y el efecto de la distancia de tiempo en las opciones de inicio hacia adelante. Los experimentos demuestran que aunque la forma de la volatilidad implícita sigue siendo la misma, los niveles difieren. A medida que aumenta la distancia temporal, la volatilidad converge a la raíz cuadrada de la varianza a largo plazo. El orador explica la lógica detrás de las opciones de vencimiento más corto que tienen una densidad más concentrada alrededor de t1 y t2. Se realizan experimentos adicionales utilizando un código para comparar las volatilidades implícitas.
A continuación, el disertante aborda la implementación de la función característica de avance y los métodos de costo para fijar el precio de las opciones de inicio de avance. La función característica directa se define utilizando expresiones lambda y varios parámetros, incluido el modelo de Heston y la función generadora de momentos para el proceso CIR. El método de costo para fijar el precio de las opciones de inicio anticipado es similar al de las opciones europeas, pero incluye ajustes para manejar dos momentos diferentes. El disertante comparte un truco para obtener una buena suposición inicial para el algoritmo de Newton-Raphson al calcular las volatilidades implícitas a plazo, lo que implica definir una matriz de volatilidad e interpolar sobre el precio de mercado.
La conferencia continúa con una explicación del proceso para calcular las volatilidades implícitas a futuro utilizando el método de Newton-Raphson. Se discute la diferencia entre el precio de la opción del modelo y el precio de mercado, y el disertante demuestra cómo aplicar la función de optimización de SciPy para calcular el método de Newton-Raphson y obtener la volatilidad óptima, también conocida como volatilidad implícita. La sección confirma que la media a largo plazo y la varianza inicial son las mismas, y que el nivel de volatilidades implícitas y la volatilidad de entrada a plazo se alinean. También se presenta el modelo de Bates, una extensión del modelo de Heston que incorpora saltos adicionales impulsados por una variable aleatoria independiente j, que sigue una distribución de Poisson.
La conferencia destaca la diferencia entre el modelo Heston y el modelo Bates. Si bien el modelo de Heston es adecuado para calibrar la sonrisa y el sesgo de las opciones de acciones con vencimientos más largos, tiene problemas con las opciones que tienen vencimientos más cortos, como las que vencen dentro de una semana o dos. El modelo de Bates aborda este problema mediante la introducción de saltos independientes, lo que permite una mejor calibración de las opciones a corto plazo. Aunque el modelo de Bates involucra muchos parámetros, no es difícil extenderlo a partir del modelo de Heston. La transformación logarítmica es necesaria para derivar la función característica del modelo de Bates, y se observa que el modelo aún se puede calibrar bien incluso con la adición de saltos.
Luego, el orador analiza la modificación del modelo de Bates, centrándose específicamente en la intensidad estocástica. El orador expresa su opinión de que hacer que la intensidad sea estocástica es innecesario, ya que introduciría una complejidad innecesaria sin explorar los parámetros actuales. En cambio, la intensidad en el modelo se mantiene lineal en las variables de estado y se define como una deriva constante. El orador analiza el marco de difusión de salto afín e incluye detalles de las derivaciones en el libro. La única diferencia entre la función característica de los modelos de Heston y Bates radica en el término "a" del modelo de Bates. Además, dos términos de corrección contienen toda la información sobre los saltos. Se presentan resultados numéricos, proporcionando un análisis del impacto de la intensidad, la volatilidad de los saltos y mu j, que representa la distribución de j.
Se discute la extensión del modelo de Heston al modelo de Bates. El modelo de Bates se usa para calibrar el modelo con toda la información del mercado, lo que brinda una ventaja en comparación con otros modelos. El código para este modelo es simple y brinda flexibilidad adicional, especialmente para opciones de vencimiento corto donde la calibración con toda la información del mercado es crucial. La conferencia también cubre la fijación de precios de derivados más interesantes, como el swap de varianza, utilizando el conocimiento obtenido de la fijación de precios de opciones de inicio anticipado u opciones de rendimiento.
El orador presenta un tipo de derivado denominado swap de varianza, que permite a los inversores apostar por la volatilidad futura de un activo. El pago de un swap de varianza se define como la suma de los rendimientos bursátiles logarítmicos al cuadrado en una cuadrícula de fechas determinada, dividido por el rendimiento bursátil anterior. El disertante observa que la formulación inusual de este pago se vuelve más clara cuando se vincula a una ecuación diferencial estocástica. Al fijar el precio de este derivado, el valor del swap al inicio será cero si el precio de ejercicio es igual a la expectativa constante. Además, el ponente explica que la mayoría de los swaps se negocian a la par, lo que significa que el valor del contrato es cero cuando dos contrapartes acuerdan comprar o vender.
Luego, la conferencia analiza el marco dependiente del tiempo para el modelo de Bates y cómo conecta la volatilidad dependiente del tiempo integral con el rendimiento de un derivado a lo largo del tiempo. El pago se define como el rendimiento logarítmico al cuadrado, que es equivalente a la integral de volatilidad. El disertante explica cómo encontrar el tercer valor de un contrato usando el valor esperado de sigma v al cuadrado y las ecuaciones diferenciales estocásticas. Adicionalmente, se introduce el coeficiente de escala de 252 días hábiles como factor esencial en las finanzas.
Finalmente, el disertante cubre el valor razonable de un swap de varianza, que es un contrato derivado que permite a los inversionistas apostar sobre la volatilidad futura de un activo. El valor razonable del swap se puede expresar como un coeficiente de escala correspondiente a los períodos desde cero hasta el vencimiento del contrato, más un elemento correspondiente a las tasas de interés, menos el valor esperado de q log st dividido por st0. La evaluación de esta expectativa se puede hacer a través de una simulación de Monte Carlo o una distribución analítica de existencias. Es interesante notar que aunque los rendimientos de todos los intervalos pequeños están compuestos, es equivalente a la relación o logaritmo del valor de una acción al final dividido por el valor inicial.
La conferencia cubre una amplia gama de temas relacionados con las opciones de inicio anticipado, las opciones de rendimiento, el modelo de Heston, el modelo de Bates y los intercambios de varianza. Proporciona información sobre las técnicas de fijación de precios, la implementación en Python y la importancia de estos conceptos en los derivados financieros.
Finanzas computacionales: Conferencia 13/14 (Derivados exóticos)
Finanzas computacionales: Conferencia 13/14 (Derivados exóticos)
La conferencia se centra en la fijación de precios de derivados exóticos y la extensión de los modelos de fijación de precios a casos dependientes de la trayectoria. La principal motivación para extender la estructura de pago es ofrecer a los clientes precios más bajos y al mismo tiempo brindar exposición a las fluctuaciones del mercado de valores. El uso de características y barreras digitales se explora como un medio para reducir los costos derivados mientras se mantiene la exposición deseada. La conferencia profundiza en varios tipos de pagos, incluidos binarios y digitales, opciones de barrera y opciones asiáticas, y examina su impacto en los precios de los derivados. Además, la conferencia analiza el precio de las opciones de múltiples activos y las posibles extensiones del modelo para manejar canastas de cientos de acciones.
Se discute el procedimiento de fijación de precios de los productos financieros, comenzando con la especificación del producto y los factores de riesgo necesarios para el modelado y fijación de precios utilizando ecuaciones diferenciales estocásticas, como el modelo de Black-Scholes, saltos y modelos de volatilidad estocástica. Dependiendo de la complejidad del producto, un sistema de ecuaciones de una o dos dimensiones puede ser suficiente para una fijación de precios precisa. El proceso también implica calibración y cobertura, donde se elige un conjunto óptimo de parámetros para fijar el precio del producto y minimizar los costos de cobertura, asegurando un entorno libre de arbitraje.
Se definen diferentes tipos de opciones, con un enfoque en opciones europeas, opciones americanas y opciones de Bermudas. Las opciones europeas se consideran bloques de construcción fundamentales para los derivados exóticos, pero pueden ser difíciles de cronometrar y conllevan un riesgo significativo. Las opciones americanas ofrecen más flexibilidad, permitiendo el ejercicio en cualquier momento, mientras que las opciones de las Bermudas permiten el ejercicio solo en fechas específicas.
Se introducen derivados exóticos y opciones dependientes de la trayectoria, que dependen de la historia completa de una acción en lugar de solo la distribución marginal en un momento específico. Se muestra que el ajuste de la función de pago usando binarios y digitales reduce significativamente los valores derivados. La conferencia cubre varios tipos de derivados exóticos, incluidos activos o nada, efectivo o nada, acciones o nada, opciones compuestas y opciones de elección. Estas opciones implican limitar el contrato de alguna manera, como con máximos, mínimos u otras restricciones, para controlar los costos. También se analiza la popularidad de los derivados exóticos en el pasado, particularmente en tiempos de altas tasas de interés.
Se explica una estrategia para generar altas ganancias a través de un derivado exótico. La estrategia consiste en asignar la mayor parte de la inversión a una cuenta segura con un rendimiento garantizado y fijar el precio de un pago de opción potencial. Aunque esta estrategia no es popular actualmente, ha sido efectiva en el pasado. La conferencia también incluye ejemplos de código para valorar contratos y reducir su valor mediante el establecimiento de límites máximos en el crecimiento potencial de las existencias. La conferencia destaca cómo un pequeño ajuste en la estructura de pago puede reducir significativamente las valoraciones, haciendo que los derivados sean más atractivos para los clientes. Mediante la introducción de barreras y la dependencia de la ruta, se pueden reducir los costos. Se analizan varias opciones de barrera, como las opciones up-and-out, down-and-out, up-and-in, down-and-in, y su impacto en el precio de los derivados en función del comportamiento histórico de las acciones.
Se explora el concepto de opciones retrospectivas, donde el valor máximo o mínimo de una acción durante su vida determina el pago al vencimiento. Las opciones retrospectivas incorporan la dependencia de la trayectoria y pueden proporcionar pagos positivos incluso si la acción es más baja al vencimiento que el precio de ejercicio. La conferencia explica la implementación de opciones retrospectivas utilizando la simulación de Monte Carlo y ecuaciones diferenciales parciales (PDEs), enfatizando las condiciones de contorno especiales para las opciones de barrera y su extensión a otros derivados exóticos.
Las opciones de barrera se analizan en detalle, destacando su atractivo para los clientes de la contraparte y su uso en el mercado de divisas cruzadas. La conferencia explica las configuraciones y los beneficios de las opciones de barrera, incluidas las opciones hacia afuera, hacia adentro, hacia abajo y hacia arriba. El disertante enfatiza que las opciones de barrera pueden depender del tiempo, lo que agrega complejidad al contrato. La simulación de Monte Carlo y las PDE se presentan como métodos computacionales para la fijación de precios de opciones de barrera.
La conferencia compara las opciones up-and-out con las opciones europeas estándar, destacando la reducción significativa en el valor de las opciones up-and-out debido a su rentabilidad provocada por la barrera. Se introduce el concepto de opciones de barrera up-and-out, donde el pago solo ocurre si la acción no supera un cierto nivel durante su vida útil. La conferencia demuestra el impacto de una barrera en el precio de un derivado a través de un ejercicio de programación, mostrando que el precio de una opción de barrera ascendente y descendente es equivalente al precio de una opción digital con una estructura de pago similar.
Luego, el disertante procede a explicar la implementación de una barrera hacia arriba y hacia afuera utilizando la simulación de Monte Carlo. En contraste con el pago de una opción digital, que depende únicamente del valor de las acciones al vencimiento, una barrera ascendente y descendente también considera el historial del comportamiento de las acciones a lo largo de la vida útil del derivado. Se define una función para determinar si se ha alcanzado la barrera, utilizando una matriz booleana y una condición lógica. El "vector de impacto" resultante es un vector binario que indica si se ha alcanzado la barrera para cada ruta. El disertante demuestra cómo el cambio del valor de la barrera afecta el vector de aciertos, enfatizando que el pago es cero si se alcanza la barrera y uno si no se alcanza.
El concepto de introducir una barrera en los contratos de derivados se explica como una forma de reducir su valor, brindando una opción más asequible para los clientes que buscan exposición a un activo específico. La presencia de una barrera tiene un impacto significativo en el valor del derivado, lo que podría generar pérdidas si las acciones no superan el nivel especificado. Sin embargo, al incorporar barreras, los precios de los derivados pueden reducirse en aproximadamente un 30%, haciéndolos más atractivos para los inversores. No obstante, los derivados discontinuos con barreras pueden presentar desafíos en términos de costos de cobertura, que podrían llegar al infinito. Para mitigar este problema, el disertante sugiere replicar el pago utilizando métodos alternativos para reducir costos.
El video presenta el concepto de replicar la función digital de una opción mediante la compra y venta estratégica de opciones de compra con diferentes precios de ejercicio. A medida que los precios de ejercicio se acercan entre sí, el pago resultante se vuelve más similar a una opción digital. Sin embargo, el disertante reconoce las dificultades para replicar con precisión la discontinuidad de opciones debido a los cambios en las sensibilidades delta y gamma. Si bien se pueden usar aproximaciones para la cobertura, es fundamental cobrar primas para compensar las posibles pérdidas de cobertura causadas por la naturaleza digital de la opción. El video enfatiza el concepto de reducir los costos derivados mediante la introducción de limitaciones digitales o la alteración de la estructura de pagos.
Luego, la conferencia pasa a discutir las opciones asiáticas como un medio para reducir la volatilidad y la incertidumbre asociadas con un activo subyacente y, en consecuencia, reducir el precio de los derivados. Las opciones asiáticas se basan en el comportamiento promedio de una acción fluctuante, que tiende a ser más suave que la acción misma, lo que reduce la incertidumbre asociada. El disertante explora las diferentes variantes de las opciones asiáticas disponibles en el mercado, incluidas las opciones de compra y venta de huelgas fijas y flotantes. Las opciones flotantes de huelga, en particular, son populares en el comercio de materias primas debido a su capacidad para reducir la incertidumbre y mitigar los riesgos asociados con un nivel de activo subyacente específico.
El orador explica además los diversos métodos para calcular el promedio de una acción, destacando su importancia en el comercio. Se introducen dos tipos de promedios, aritméticos y geométricos, prefiriéndose el promedio geométrico para el análisis matemático debido a su expresión analítica. En la práctica, a menudo se utilizan sumas, lo que requiere técnicas de aproximación como la simulación de Monte Carlo o PDE. La conferencia también profundiza en el concepto de promedio continuo, que difiere del promedio aritmético debido a su representación integral, agregando una dimensión adicional al problema de la fijación de precios y haciéndolo más complejo de resolver.
Luego, el enfoque cambia a la fijación de precios de las opciones asiáticas, lo que implica alejarse de un problema unidimensional e involucrar consideraciones de mayor dimensión. Las opciones asiáticas introducen dos variables independientes: el precio de la acción y la integral de la acción. El pago de la opción depende de la integral observada o del camino desde cero hasta el vencimiento, con el pago realizado al vencimiento. La conferencia reconoce que la fijación de precios de contratos de derivados exóticos con cantidades dependientes de la parte final puede ser un desafío y requiere técnicas más avanzadas. Sin embargo, la cobertura delta sigue siendo efectiva para lograr coeficientes de cobertura adecuados a pesar de las complejidades introducidas por las opciones asiáticas. El disertante analiza el uso de la simulación de Monte Carlo para cotizar opciones asiáticas, destacando su flexibilidad en el manejo de problemas de alta dimensión. Al simular múltiples trayectorias del precio de las acciones y calcular el pago promedio, la simulación de Monte Carlo puede brindar una estimación del precio de la opción. La conferencia también menciona los desafíos potenciales de la simulación Monte Carlo, como los problemas de convergencia y la necesidad de un número suficiente de caminos para obtener resultados precisos.
Luego, el disertante pasa a discutir otro tipo de opción exótica conocida como opción de barrera con reembolso. Esta opción tiene una estructura similar a la opción de barrera discutida anteriormente, pero con un pago de reembolso adicional si se supera la barrera. La presencia del reembolso compensa al tenedor de la opción si se rompe la barrera, mitigando pérdidas potenciales. La conferencia explica que el pago del reembolso reduce el costo de la opción, haciéndola más atractiva para los inversores.
Para fijar el precio de las opciones de barrera con descuentos, el disertante introduce el concepto de una opción de eliminación inversa, que es lo contrario de una opción de eliminación. La opción de eliminación inversa paga un reembolso si no se golpea la barrera. Al fijar el precio de la opción de eliminación inversa y restar el pago del reembolso, se puede determinar el precio de la opción de barrera con reembolso. El video proporciona un ejemplo de la implementación de esta metodología de fijación de precios utilizando la simulación de Monte Carlo.
A lo largo de la conferencia, se enfatiza la importancia de comprender y valorar efectivamente los contratos de derivados exóticos. Las opciones exóticas brindan flexibilidad y soluciones personalizadas para los inversores, pero su fijación de precios y gestión de riesgos requieren modelos y técnicas sofisticados. La conferencia concluye destacando la necesidad de más investigación y desarrollo en este campo, así como la importancia de la colaboración entre la academia y la industria para mejorar las metodologías de fijación de precios de derivados y satisfacer las necesidades cambiantes de los participantes del mercado.
Finanzas Computacionales: Conferencia 14/14 (Resumen del Curso)
Finanzas Computacionales: Conferencia 14/14 (Resumen del Curso)
La serie sobre finanzas computacionales concluyó con un resumen completo de los temas importantes tratados en cada conferencia. El curso abarcó una amplia gama de temas, incluidas ecuaciones diferenciales estocásticas, volatilidades implícitas, difusiones de salto, clases afines de procesos de difusión, modelos de volatilidad estocástica y transformaciones de Fourier para la valoración de opciones. También profundizó en técnicas numéricas como simulaciones Monte Carlo y varias estrategias de cobertura.
En las conferencias posteriores, el enfoque se desplazó hacia las opciones de inicio anticipado y los derivados exóticos, donde se aplicó el conocimiento adquirido a lo largo del curso para estructurar estos productos financieros complejos. Las conferencias iniciales brindaron una introducción al curso y discutieron los principios fundamentales de la ingeniería financiera, los diferentes mercados y las clases de activos. La segunda lección cubrió específicamente varios tipos de opciones y estrategias de cobertura, con énfasis en materias primas, divisas y criptomonedas.
El precio de las opciones de compra y venta y su relación con la cobertura fue un tema central a lo largo del curso. El disertante enfatizó que el precio de una estrategia de cobertura siempre debe ser equivalente al precio de un derivado para evitar oportunidades de arbitraje. Se discutieron los aspectos matemáticos del modelado de diferentes clases de activos, incluidos los precios de los activos y la medición de la aleatoriedad. Los procesos estocásticos, las ecuaciones diferenciales estocásticas y el lema de Itô se destacaron como herramientas vitales para fijar el precio de los instrumentos financieros. También se demostraron simulaciones de Python, mostrando cómo las ecuaciones diferenciales estocásticas pueden simular el comportamiento real de los movimientos de las acciones con fines de fijación de precios. Se abordaron las ventajas y desventajas del modelo Black-Scholes, enfatizando la necesidad de una perspectiva holística para garantizar la coherencia en la gestión de carteras y las estrategias de cobertura.
Las martingalas se enfatizaron repetidamente como un concepto crítico en la valoración de opciones, y otros temas importantes cubiertos en el curso incluyeron el modelo Black-Scholes, la volatilidad implícita, la convergencia del algoritmo Newton-Raphson y las limitaciones de la volatilidad dependiente del tiempo. Se exploró la aplicación práctica de la codificación de Python para verificar si un proceso simulado es una martingala y el impacto de las medidas en la deriva. El curso proporcionó una visión profunda de la fijación de precios de opciones europeas simples, mostrando cómo se pueden emplear diferentes modelos y medidas para calcular sus precios.
Se discutieron las limitaciones del modelo Black-Scholes, particularmente en relación con la incorporación de saltos en el modelo. Si bien los saltos pueden mejorar la calibración de las superficies de volatilidad implícita y generar sesgo, también introducen complejidad y reducen la eficiencia de la cobertura. Se introdujeron modelos de volatilidad estocástica, como el modelo de Heston, para mejorar la flexibilidad del modelo en la calibración y fijación de precios de opciones exóticas. Además, se presentó como solución una técnica de tarificación rápida. La conferencia también detalló las condiciones que deben cumplir los modelos o ecuaciones diferenciales estocásticas para ser utilizados dentro de los modelos afines en las transformaciones de Fourier.
Se discutieron dos modelos importantes para fijar precios de acciones y acciones: la clase afín de procesos de difusión y el modelo de volatilidad estocástica, específicamente el modelo de Heston. La clase afín de los procesos de difusión permite una calibración rápida de las opciones europeas, mientras que el modelo de Heston ofrece flexibilidad para calibrar toda la superficie de volatilidades implícitas de las opciones europeas. La conferencia cubrió los impactos y las ventajas de la correlación en los modelos, la PDE de fijación de precios y el uso de transformaciones de Fourier para la fijación de precios cuando un modelo pertenece a la clase de procesos afines. La comprensión y el uso de estos modelos se destacaron como habilidades valiosas en finanzas computacionales.
La fijación de precios de las opciones europeas, con un enfoque en las opciones de compra y venta, fue el tema central de otra conferencia. Se enfatizó el uso de una función característica y la habilidad para resolver sistemas de EDO de valor complejo, así como la importancia de las técnicas numéricas para la obtención de soluciones. Se hizo hincapié en equilibrar un buen modelo con una calibración y evaluación eficientes para aplicaciones prácticas y aceptación en la industria. Se discutieron las ventajas del método cos de la transformada de Fourier para la fijación de precios, así como su implementación en Vital. También se recomendó una calibración eficiente y la utilización de simulaciones de Monte Carlo para la fijación de precios.
El muestreo de Monte Carlo en la fijación de precios de derivados exóticos se exploró ampliamente en otra conferencia. Se abordaron los desafíos que plantean las dimensiones múltiples, la complejidad del modelo y los costos computacionales en la fijación de precios precisa. La simulación de Monte Carlo se presentó como un enfoque de fijación de precios alternativo, con un enfoque en la reducción de errores y la mejora de la precisión. La conferencia abarcó varios aspectos del muestreo de Monte Carlo, incluida la integración, la integración estocástica y los métodos de calibración, como los esquemas de Euler y Milstein. La evaluación de la fluidez de las funciones de pago y la comprensión de los convertidores débiles y fuertes se destacaron como cruciales para garantizar una fijación de precios precisa.
La conferencia dedicada al modelo de Heston discutió su flexibilidad en la calibración, el modelado de superficie de volatilidad implícita y la simulación eficiente de Monte Carlo. La conferencia también se refirió a la simulación casi exacta del modelo de Heston, que está relacionado con la simulación exacta del proceso de Cox Ingersoll Ross (CIR) para el proceso de varianza. Si bien los métodos de discretización de Euler y Milstein pueden encontrar problemas con el proceso CIR, existen formas eficientes de realizar la simulación. La conferencia enfatizó la importancia de considerar un modelo realista para la simulación, particularmente cuando se trata de cobertura delta y contabilización de saltos de mercado.
El concepto de cobertura en finanzas se exploró a fondo en un video separado. La cobertura implica reducir la exposición al riesgo y las pérdidas potenciales mediante la gestión de una cartera y el mantenimiento activo del contrato después de que se haya negociado. El video subrayó la importancia de la cobertura, que se extiende más allá de la fijación de precios y abarca la gestión continua de riesgos hasta el vencimiento del contrato. Se discutieron la cobertura delta y el impacto de los saltos del mercado, enfatizando la importancia de emplear un modelo realista para una simulación precisa.
Las limitaciones de la cobertura delta se abordaron en otra conferencia, destacando la necesidad de considerar otros tipos de cobertura, como la cobertura gamma y vega, para derivados más complejos. Se cubrieron el cálculo de las sensibilidades y los métodos para mejorar su eficiencia, incluidas las diferencias finitas, las sensibilidades de ruta y los cocientes de probabilidad. La conferencia también profundizó en la fijación de precios de las opciones de inicio anticipado y los desafíos asociados con las opciones de fijación de precios con existencias iniciales inciertas. El valor de la opción se derivó utilizando funciones características y la conferencia concluyó con una discusión sobre las volatilidades implícitas y su implementación en Python.
La conferencia sobre saltos adicionales en los modelos financieros, particularmente el modelo Heston, exploró su impacto en la calibración de parámetros y estrategias de cobertura. También se discutieron los swaps de varianza y los productos de volatilidades, centrándose en la relación entre la representación extraña, los contratos de swap de varianza y las expectativas condicionales utilizando la dinámica de Black-Scholes. Además, la conferencia profundizó en la estructuración de productos utilizando diversas técnicas, como opciones binarias y digitales, opciones dependientes de la ruta, opciones de barrera y opciones asiáticas. También se refirió a la fijación de precios de los contratos que involucran múltiples activos. Esta lección sirvió como resumen de los conocimientos adquiridos a lo largo del curso, proporcionando una base para abordar derivados más avanzados en el futuro.
En la parte final, el orador felicitó a los espectadores por completar con éxito las 14 conferencias y adquirir conocimientos en finanzas computacionales, ingeniería financiera y precios de derivados. Se animó a los espectadores a aplicar su nueva experiencia en entornos prácticos o considerar cursos adicionales para ampliar sus conocimientos. El orador les deseó una exitosa carrera en finanzas, confiando en que estaban bien preparados para sus futuros emprendimientos.
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 1/14, (Introducción y descripción general del curso)
Curso de ingeniería financiera: Conferencia 1/14, (Introducción y descripción general del curso)
El instructor comienza presentando el curso de ingeniería financiera, destacando sus objetivos y áreas clave de enfoque. El curso tiene como objetivo profundizar en las tasas de interés y múltiples clases de activos, como el tipo de cambio y la inflación. El objetivo final es que los estudiantes construyan una cartera de activos múltiples que consista en productos lineales y adquieran competencia en la realización de xva y cálculos de valor en riesgo. El conocimiento previo de ecuaciones diferenciales estocásticas, simulación numérica y métodos numéricos es necesario para involucrarse completamente con el material del curso.
Se describe la estructura del curso, que comprende 14 conferencias acompañadas de tareas asignadas al final de cada sesión. El lenguaje de programación utilizado a lo largo del curso es Python, lo que permite la implementación y aplicación práctica de los conceptos tratados.
El ponente destaca el carácter práctico del curso de finanzas computacionales. Si bien se cubre el conocimiento teórico, hay un fuerte énfasis en la eficiencia de la implementación y en proporcionar ejemplos de código Python para cada lección. Los materiales del curso son independientes, aunque se basan en el libro "Un libro de modelado matemático y computación en finanzas". La conferencia también proporciona una descripción general de la hoja de ruta del curso, lo que brinda a los estudiantes una comprensión clara de los temas que se tratarán en cada una de las 14 conferencias.
La primera lección se enfoca en brindar una descripción general de todo el curso y resaltar la importancia de los conceptos cubiertos para lograr el objetivo final de realizar cálculos de xva y var.
El disertante procede a dar una amplia visión general de los temas que se cubrirán a lo largo del curso de Ingeniería Financiera. Estos incluyen varios modelos, como modelos full white y full white de dos factores, medidas, filtraciones y modelos estocásticos. La fijación de precios de productos de tasa de interés, incluidos productos lineales y no lineales como swaptions, es un enfoque clave. La conferencia cubre la construcción de la curva de rendimiento, la construcción de múltiples curvas, los puntos centrales y la selección de métodos de interpolación utilizando códigos Python. Otros temas cubiertos incluyen tasas de interés negativas, opciones, hipotecas y prepagos, divisas, inflación, simulación de Monte Carlo para múltiples activos, modelos de mercado, ajustes de convexidad, cálculos de exposición y medidas de ajuste de valor como cva, bcva y fva.
La gestión de riesgos se convierte en un punto central a medida que avanza el curso, y la lección 13 está dedicada a la medición de riesgos mediante la codificación y el análisis de datos históricos. La lección 14 sirve como resumen de todo lo aprendido a lo largo del curso.
La segunda lección se centra en las filtraciones y los cambios de medida, incluidas las expectativas condicionales y la simulación en Python. Los estudiantes participarán en ejercicios prácticos para simular expectativas condicionales y explorar los beneficios y la simplificación de los problemas de fijación de precios utilizando cambios de medida.
En conferencias posteriores, el instructor brinda una descripción general del marco del modelo Hijack, los modelos de equilibrio versus estructura temporal y la dinámica de la curva de rendimiento. Las conferencias cubren tarifas cortas y la simulación de modelos a través de simulaciones de Monte Carlo en Python. Se analiza la comparación entre los modelos de un factor y de dos factores, con una exploración de las extensiones multifactoriales. Se lleva a cabo un video experimento para analizar el índice S&P, la tasa corta implícita por la Fed y la dinámica de la curva de rendimiento.
Se explora la simulación de curvas de rendimiento para observar la evolución de las tasas de interés en el tiempo y compararlas con modelos estocásticos. Los temas cubiertos incluyen la afinidad de un modelo fulbright, simulación exacta, construcción y fijación de precios de productos de tasa de interés y el cálculo de flujos de efectivo inciertos en ejemplos de intercambio.
La conferencia sobre la construcción de una curva de rendimiento cubre la relación entre las curvas de rendimiento y los swaps de tasas de interés, los acuerdos de tasas a plazo y los precios de derivados. Se explican las diferentes formas de la curva de rendimiento y su relevancia para las situaciones del mercado. Se analizan las volatilidades implícitas y los cálculos del punto de columna, junto con las rutinas de interpolación y la extensión de curvas de rendimiento únicas a enfoques de curvas múltiples. Se enfatizan los aspectos prácticos de la construcción de curvas de rendimiento utilizando experimentos de Python y su conexión con instrumentos de mercado.
El disertante explora temas relacionados con la ingeniería financiera, incluida la fijación de precios de swaptions bajo el modelo Black-Scholes y las opciones que usan full white o cualquier modelo de tasa corta. Se explican el truco de Jamshidian y los experimentos de Python. La conferencia también cubre conceptos tales como tasas de interés negativas, volatilidades implícitas desplazadas logarítmicas normales desplazadas y el impacto de los parámetros de desplazamiento en las formas de volatilidad implícita. Además, la conferencia profundiza en el pago anticipado de hipotecas y su efecto sobre la posición y la cobertura desde la perspectiva de un banco.
Se introducen las hipotecas tipo bala y se explican los flujos de efectivo asociados y los determinantes del pago anticipado. La conferencia destaca el impacto de los pagos anticipados en las carteras hipotecarias y vincula el incentivo de refinanciamiento con las observables del mercado. Además, se discute el riesgo de tubería y su gestión por parte de las instituciones financieras.
El curso avanza hacia el modelado de múltiples clases de activos simultáneamente, lo que permite la simulación de posibles riesgos futuros que pueden afectar la cartera. Se examinan las correlaciones entre diferentes clases de activos y se enfatiza la importancia de los modelos híbridos para fines de gestión de riesgos, aunque puede haber un interés decreciente en derivados exóticos.
Se exploran modelos híbridos para los ajustes de valoración de precios (XVA) y el valor en riesgo, junto con extensiones que implican volatilidad estocástica. La conferencia cubre modelos híbridos adecuados para un entorno XVA, incluida la dinámica de acciones y las tasas de interés estocásticas. Los modelos de volatilidad estocástica, como el modelo de Heston, se analizan en el segundo bloque y abordan cómo incorporar tasas de interés estocásticas que están correlacionadas con el proceso de existencias. La conferencia también profundiza en el tipo de cambio y la inflación, analizando la historia y el desarrollo de las monedas flotantes, los contratos de divisas a plazo, los swaps de divisas cruzadas y las opciones de divisas. También se examina el impacto de los cambios de medida en la dinámica del proceso, con el objetivo final de cotizar contratos definidos bajo diferentes activos en varias clases de activos y calcular exposiciones y medidas de riesgo.
El instructor cubre temas adicionales relacionados con la ingeniería financiera, incluido el elemento de corrección cuántica presente en la volatilidad estocástica y el precio de las opciones de divisas con tasas de interés estocásticas. Se explora el concepto de inflación, rastreando su evolución desde definiciones basadas en dinero hasta definiciones basadas en bienes. Se analizan modelos de mercado como el modelo de mercado LIBOR y los ajustes de convexidad, lo que brinda una perspectiva histórica sobre el desarrollo de la tasa de interés y la motivación detrás de modelos de mercado como el modelo de mercado LIBOR dentro del marco HJM. La conferencia también profundiza en los modelos de mercado LIBOR logarítmicos normales, la volatilidad estocástica y la dinámica de sonrisa y sesgo en el modelo de mercado LIBOR.
Se abordan diversas técnicas utilizadas en la fijación de precios de productos financieros, con énfasis en la fijación de precios neutral al riesgo y el modelo Black-Scholes. El disertante advierte contra el mal uso de técnicas riesgosas, como la técnica de congelación, y enfatiza la importancia de la corrección de la convexidad en los marcos de precios. Los estudiantes aprenderán cómo reconocer la necesidad de una corrección de convexidad y cómo incorporar los movimientos de las tasas de interés o la sonrisa y el sesgo del mercado en los problemas de fijación de precios. La sección concluye cubriendo las simulaciones XVA, incluidos CVA, BCVA, VA y FVA, y el cálculo de las exposiciones esperadas, las exposiciones futuras potenciales y los controles de cordura mediante simulaciones de Python.
El instructor repasa los temas tratados en el curso de ingeniería financiera, incluidos los derivados de precios, la importancia del descubrimiento de precios, los aspectos prácticos de las atribuciones comerciales y las medidas de gestión de riesgos, como el valor en riesgo y el déficit esperado. El enfoque permanece en las aplicaciones prácticas, como la creación de una cartera de intercambio de tasas de interés y el uso del conocimiento de la construcción de la curva de rendimiento para estimar el VAR y el déficit esperado a través de los resultados de la simulación. La conferencia también aborda los desafíos relacionados con los datos faltantes, el arbitraje y la reclasificación en el cálculo del VAR mediante la simulación de Monte Carlo.
En la conferencia final, el disertante analiza las pruebas retrospectivas y las pruebas del motor VAR. Si bien reconoce que el curso se extenderá más allá de las 14 semanas iniciales, el instructor expresa su confianza en el viaje de aprendizaje completo y agradable. Las conferencias grabadas guiarán a los estudiantes hacia la cima de la comprensión de los ajustes de valoración (XVA) y el cálculo del valor en riesgo.
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 2/14, parte 1/3, (Comprensión de Filtraciones y Medidas)
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 2/14, parte 1/3, (Comprensión de Filtraciones y Medidas)
En la conferencia, el instructor profundiza en el modelo Black-Scholes con saltos estocásticos, mostrando su aplicación en la fijación de precios de derivados. Se destaca la incorporación de expectativas condicionales como un medio para mejorar la precisión del modelo. Además, se explora el concepto de numerarios y cambios de medida, lo que demuestra cómo cambiar entre diferentes numerarios puede mejorar los resultados de la fijación de precios. Esta sección subraya la importancia de la filtración, las expectativas y los cambios de medida, particularmente en el ámbito de las tasas de interés.
Ampliando el tema, el profesor enfatiza el papel fundamental de las medidas, las filtraciones y las expectativas en la fijación de precios. Ilustran cómo las medidas, como las acciones, se pueden emplear de manera efectiva en los procesos de fijación de precios, mientras que los cambios de medida ayudan a reducir la complejidad de los problemas de fijación de precios. La conferencia investiga más a fondo la noción de una medida a futuro, comúnmente asociada con el descuento estocástico. Las filtraciones se aclaran como principios fundamentales para comprender el tiempo, los perfiles de exposición y los perfiles de riesgo. Además, se introduce la definición de un proceso estocástico y la importancia de la filtración en la interpretación de datos de mercado y la anticipación de realizaciones futuras.
Avanzando, se examina a fondo el concepto de filtraciones y medidas. Las filtraciones pueden pertenecer al presente o extenderse al futuro, lo que requiere una distinción clara cuando se trata de procesos estocásticos. El pasado representa una trayectoria singular de la historia de una acción, mientras que la estocasticidad del futuro se puede modelar a través de simulaciones y ecuaciones diferenciales estocásticas. Aunque el curso se enfoca predominantemente en las filtraciones hasta el presente (t0), luego profundiza en el aprovechamiento de las filtraciones futuras para mejorar la eficiencia computacional. Se hace posible simular escenarios futuros y desarrollar diversos resultados. Sin embargo, dada la incertidumbre inherente, determinar el escenario más realista sigue siendo un desafío. Estimar la distribución de los resultados implica utilizar datos históricos y técnicas de calibración asociadas con la medida p.
Luego, la conferencia profundiza en las medidas y las filtraciones, destacando los distintos roles de la medida Q en la fijación de precios y la gestión de riesgos, y la medida P principalmente en la gestión de riesgos. Cuando se emplean ambas medidas, la generación de escenarios futuros para los perfiles de riesgo se vuelve imperativa debido a la falta de unicidad de la adecuación de cualquiera de las métricas. Además, a medida que avanza el tiempo, la acumulación de conocimiento histórico conduce a filtraciones más amplias. Sin embargo, también es esencial mantener una comprensión de la mensurabilidad y reconocer la incertidumbre de las cantidades estocásticas en tiempos futuros específicos.
El disertante procede a discutir las filtraciones y medidas dentro del contexto de la ingeniería financiera. En particular, enfatizan que la mensurabilidad no implica constancia; más bien, denota una cantidad estocástica. Las filtraciones aclaran la extensión del conocimiento disponible en cada momento dado, ampliándose a medida que uno avanza en el tiempo debido al conocimiento acumulado. Si bien las filtraciones y los cambios de medidas pueden ser herramientas poderosas en el modelado financiero, su uso inapropiado puede generar problemas importantes. Por lo tanto, es crucial comprender cómo emplear estas herramientas de manera efectiva y navegar a través del tiempo para evitar errores de modelado. La sección concluye con una descripción general del proceso de calibración en el modelado financiero, que puede deducirse de datos históricos o instrumentos de mercado.
Se introduce el concepto de procesos adaptados, refiriéndose a procesos que se basan únicamente en la información disponible hasta un momento dado, sin considerar realizaciones futuras. Los ejemplos de procesos adaptados abarcan el movimiento browniano y la determinación del valor máximo de un proceso dentro de un período de tiempo específico. Por el contrario, los procesos no adaptados se basan en realizaciones futuras. La conferencia también presenta la propiedad de la torre, una herramienta poderosa en la fijación de precios, que establece una relación entre los campos sigma, las filtraciones y las expectativas.
La expectativa condicional se analiza como una herramienta potente en la ingeniería financiera, particularmente cuando se trata de funciones que involucran dos variables. La propiedad de la torre de la expectativa se utiliza para condicionar las expectativas y calcular las expectativas externas e internas anidadas. Esta propiedad encuentra aplicación en simulaciones, lo que permite el cálculo analítico de ciertos componentes del problema que se pueden aplicar a los modelos de precios de opciones de blockchain, particularmente empleando ecuaciones diferenciales estocásticas y filtraciones específicas. Se explora la definición de expectativa condicional, incorporando una ecuación integral.
El disertante enfatiza la importancia de las expectativas condicionales y las filtraciones en la ingeniería financiera. Destacan que si una variable aleatoria se puede condicionar y su respuesta se conoce analíticamente, la expectativa externa se puede calcular mediante el muestreo de la expectativa interna. Sin embargo, en finanzas, es poco común poseer conocimiento analítico de densidades condicionales o densidades bidimensionales. El disertante destaca la importancia de utilizar correctamente las expectativas condicionales en la codificación, ya que siguen siendo cantidades estocásticas desde la perspectiva del presente. Además, discuten los beneficios de incorporar una solución analítica para una parte del modelo en un contexto de simulación, ya que puede resultar en una convergencia mejorada. Para ilustrar estos conceptos, el disertante proporciona un ejemplo de cómo calcular la expectativa exterior de un movimiento browniano.
Avanzando, el disertante profundiza en la expectativa de un punto futuro en el tiempo, destacando su complejidad en comparación con los casos en que la expectativa es en el tiempo cero. Explican que este escenario requiere múltiples rutas y simulaciones de Monte Carlo anidadas para cada ruta, lo que implica subsimulaciones para expectativas condicionales. Esta complejidad surge debido a la propiedad de los incrementos independientes, donde el movimiento browniano siempre se puede expresar como la diferencia entre sus valores en dos tiempos diferentes, t y s.
Cambiando el enfoque a las simulaciones de Monte Carlo, el orador analiza la construcción del movimiento browniano para simular el valor de opción de una acción. Exploran dos tipos de martingalas e introducen el método Monte Carlo anidado para calcular la expectativa condicional de una opción sobre acciones. La simulación implica generar un camino hasta el tiempo s y realizar subsimulaciones para cada camino para evaluar la expectativa en ese momento. Este proceso implica calcular la expectativa condicional de una realización específica en el tiempo s para cada camino. Luego, el error se mide como la diferencia entre la expectativa condicional y el valor del camino en el tiempo s. La estandarización del movimiento browniano garantiza que se construya utilizando incrementos independientes, lo que facilita la aplicación de las propiedades deseadas dentro de una simulación de Monte Carlo.
Por último, el ponente subraya que, si bien la simulación del movimiento browniano puede parecer sencilla y rentable, la incorporación de una expectativa condicional requiere un enfoque de Monte Carlo anidado, que implica realizar múltiples simulaciones del movimiento browniano para cada trayectoria. En consecuencia, este proceso puede llevar mucho tiempo.
En conclusión, la conferencia cubre ampliamente temas relacionados con medidas, filtraciones, expectativas condicionales y simulaciones de Monte Carlo en ingeniería financiera. La importancia de estos conceptos en la fijación de precios de derivados, la gestión de riesgos y la calibración de modelos se enfatiza en todo momento. Al comprender los principios que subyacen a estas herramientas y técnicas, los profesionales financieros pueden mejorar la precisión de sus modelos y navegar con eficacia los problemas complejos de fijación de precios.
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 2/14, parte 2/3, (Comprensión de Filtraciones y Medidas)
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 2/14, parte 2/3, (Comprensión de Filtraciones y Medidas)
Bienvenidos todos a la sesión posterior al descanso. Hoy continuaremos con el segundo bloque de la cátedra 2 de la carrera de Ingeniería Financiera. En este bloque profundizaremos en la fijación de precios y tipos de interés de XVA, centrándonos en conceptos avanzados.
Previamente, discutimos el concepto de filtración y expectativas condicionales, junto con un ejercicio y simulación en Python. Ahora, exploraremos expectativas adicionales que son más avanzadas que los experimentos que realizamos anteriormente. Específicamente, nos concentraremos en la fijación de precios de opciones y las herramientas de apalancamiento de la expectativa condicional para mejorar la convergencia en las simulaciones de Monte Carlo. Además, le presentaré el concepto de numerario y su utilidad en la fijación de precios de derivados.
En este bloque, no solo usaremos el concepto de numerario sino también el teorema de Girsanov para transformar la dinámica del modelo de Black-Scholes de la medida neutral al riesgo (medida P) a la medida Q. Esta transformación implica cambiar el proceso subyacente al movimiento browniano geométrico. Es importante tener en cuenta que la medida P está asociada con observaciones históricas, mientras que la medida Q generalmente está vinculada a la fijación de precios de derivados.
Pasando al tercer bloque, nos centraremos en los cambios de medida detallados. Demostraré múltiples ventajas y trucos para usar cambios de medida para reducir dimensiones y obtener beneficios significativos. Sin embargo, por ahora, concentrémonos en los siguientes cuatro elementos de la conferencia de hoy y disfrutemos la sesión.
En primer lugar, utilizaremos nuestro conocimiento de la expectativa condicional y la filtración para abordar la fijación de precios de opciones reales. Específicamente, consideraremos una opción europea y exploraremos cómo las expectativas condicionales pueden ayudar a determinar su precio. Trabajaremos con una ecuación diferencial estocástica más compleja, parecida al modelo de Black-Scholes pero con volatilidad estocástica. Si bien Black-Scholes asume una volatilidad constante (sigma), generalizaremos el modelo para incluir la volatilidad estocástica y dependiente del tiempo.
Al aprovechar la propiedad de la torre de las expectativas, podemos resolver este problema y mejorar nuestras simulaciones de Monte Carlo. En lugar de simular caminos directamente y muestrear aleatoriamente la volatilidad estocástica (j), podemos lograr una mejor convergencia utilizando expectativas condicionales. Al condicionar la realización de j, podemos aplicar la fórmula de fijación de precios de Black-Scholes para cada j. Este enfoque reduce significativamente la incertidumbre y los problemas relacionados con la correlación en las simulaciones de Monte Carlo.
En la siguiente sección, presentaré una representación exacta para fijar el precio de las opciones europeas en función de las expectativas condicionales y la fórmula de Black-Scholes. Esto implicará expectativas internas y externas, donde la expectativa interna condiciona una realización específica de j y aplica la fórmula de Black-Scholes. La expectativa externa requiere tomar muestras de j y usar la fórmula de Black-Scholes para cada muestra.
Para cuantificar el impacto de aplicar la propiedad de la torre para las expectativas en las simulaciones de Monte Carlo, compararemos dos enfoques. El primer enfoque es una simulación Monte Carlo de fuerza bruta, donde muestreamos directamente la expectativa sin utilizar información del modelo Black-Scholes. El segundo enfoque incorpora expectativas condicionales y la fórmula de Black-Scholes. Al comparar la convergencia y la estabilidad, podemos observar la ganancia significativa lograda a través del enfoque de expectativa condicional.
Espero que esta información te sea útil. Si está interesado en explorar más los aspectos prácticos de las expectativas condicionales, le recomiendo consultar el Capítulo 3 (Volatilidad estocástica) y el Capítulo 12 (Precio de las tabletas) del libro. Ahora, procedamos a la demostración práctica de este enfoque utilizando el código de Python.
Después de generar las muestras de Monte Carlo para las acciones y la volatilidad, pasamos a la siguiente parte del código, que consiste en calcular los pagos de opciones para cada muestra. En este caso, consideramos una opción de compra europea con un precio de ejercicio de 18. Podemos calcular el pago de la opción usando la siguiente ecuación:
pago = np.maximum(stock_samples[-1] - strike, 0)
A continuación, calculamos la expectativa condicional utilizando la fórmula de Black-Scholes. Para cada muestra de volatilidad, calculamos el precio de la opción utilizando el modelo Black-Scholes con el valor de volatilidad correspondiente:
volatilidad_muestras = np.exp(j_muestras / 2)
d1 = (np.log(stock_samples[0] / strike) + (0.5 * (volatility_samples ** 2)) * vencimiento) / (volatility_samples * np.sqrt(vencimiento))
d2 = d1 - (volatility_samples * np.sqrt(vencimiento))
expectativa_condicional = np.mean(np.exp(-r * vencimiento) * (stock_samples[0] * norm.cdf(d1) - strike * norm.cdf(d2)))
Finalmente, calculamos el precio general de la opción tomando el promedio de las expectativas condicionales sobre todas las muestras de volatilidad:
precio_opción = np.mean(expectativa_condicional)
Al utilizar el enfoque de expectativa condicional, aprovechamos la información del modelo Black-Scholes para mejorar la convergencia de la simulación de Monte Carlo. Esto conduce a precios de opciones más precisos y reduce el número de rutas de Monte Carlo necesarias para una convergencia satisfactoria.
Es importante tener en cuenta que el código proporcionado aquí es un ejemplo simplificado para ilustrar el concepto. En la práctica, puede haber consideraciones y mejoras adicionales para tener en cuenta factores como la volatilidad estocástica, los intervalos de tiempo y otras suposiciones del modelo.
En general, la aplicación de expectativas condicionales en la valoración de opciones puede mejorar la eficiencia y la precisión de las simulaciones de Monte Carlo, especialmente cuando se trata de modelos complejos que se desvían de los supuestos del marco de Black-Scholes.
Ahora, cambiemos nuestro enfoque al tema de los cambios de medida en la ingeniería financiera. Cuando se trata de la dinámica del sistema, a veces es posible simplificar la complejidad del problema de fijación de precios a través de transformaciones de medidas apropiadas. Esto es especialmente relevante en el mundo de los tipos de interés, donde existen múltiples subyacentes con distintas frecuencias. Para establecer un marco coherente, nos basamos en transformaciones de medidas que traen procesos estocásticos de diferentes medidas a una medida subyacente.
En el campo de las finanzas matemáticas, los numerarios juegan un papel importante como entidades negociables utilizadas para expresar los precios de todos los activos negociables. Un numerario es la unidad en la que se expresan los valores de los activos, como manzanas, bonos, acciones o cuentas de ahorro de dinero. Al expresar los precios en términos de un numerario, establecemos un marco consistente para transferir bienes y servicios entre diferentes contrapartes.
En el pasado, los activos a menudo se expresaban en términos de oro u otros numerarios. La elección de un numerario adecuado puede simplificar y mejorar significativamente la complejidad de los problemas de ingeniería financiera. Trabajar con martingalas, que son procesos sin deriva, es particularmente favorable en finanzas ya que son más fáciles de manejar que los procesos con deriva.
Diferentes medidas están asociadas con dinámicas específicas de procesos y activos negociables. Los casos comunes incluyen la medida neutral al riesgo asociada con cuentas de ahorro de dinero, la medida T-forward asociada con bonos de cupón cero y la medida asociada con acciones como numerarios. Los cambios de medida proporcionan una forma de cambiar entre medidas y beneficiarse de las propiedades de diferentes procesos. El teorema de Girsanov es una herramienta crucial para las transformaciones de medidas, ya que nos permite cambiar de una medida a otra bajo ciertas condiciones.
Si bien los aspectos teóricos de los cambios de medida pueden ser complejos, este curso se enfoca en aplicaciones prácticas y cómo aplicar la teoría a problemas reales. La conclusión principal es comprender cómo los cambios de medida y las martingalas se pueden usar como herramientas para simplificar y resolver problemas de ingeniería financiera de manera efectiva.
Es importante tener en cuenta que los cambios de medidas son herramientas poderosas que pueden ayudarnos a manejar los procesos sin desviaciones, conocidas como martingalas. Cambiando apropiadamente la medida, podemos eliminar la deriva de un proceso y simplificar el problema en cuestión. Esto es particularmente útil cuando se trata de tasas de interés estocásticas y dinámicas bursátiles.
Sin embargo, vale la pena mencionar que es posible que los cambios de medida no siempre sean factibles o que den lugar a problemas más simples. A veces, incluso después de eliminar la deriva, la dinámica de ciertas variables, como la varianza, puede seguir siendo compleja. Sin embargo,
en general, eliminar la deriva a través de cambios de medida simplifica el problema.
Trabajar con martingalas es favorable porque las ecuaciones diferenciales estocásticas sin deriva son más fáciles de manejar que aquellas con deriva. Al identificar numerarios apropiados y realizar cambios de medida, podemos reducir la complejidad de manera efectiva y mejorar nuestras técnicas de simulación.
Los cambios de medida nos permiten cambiar entre medidas y beneficiarnos de las propiedades de las martingalas. Comprender y aplicar los cambios de medida es una habilidad valiosa que puede simplificar en gran medida la fijación de precios y el análisis de los instrumentos financieros.
Ahora, profundicemos en el concepto de cambio de medida y su aplicación práctica en finanzas matemáticas. La fórmula de transformación de medida que discutimos anteriormente se puede escribir de la siguiente manera:
dQb/dQa = exp(-1/2 * ∫₀ᵗ yₛ² ds + ∫₀ᵗ yₛ dWₛ)
Esta fórmula nos permite cambiar de una medida, Qa, a otra medida, Qb. Implica el uso de un proceso específico llamado "proceso numerario" denotado por yₛ y el proceso de Wiener Wₛ.
El teorema de Girsanov establece que bajo ciertas condiciones, como la condición de integrabilidad en el término exponencial, esta transformación de medida es válida. Al aplicar esta transformación, podemos cambiar la medida de Qa a Qb y viceversa.
En aplicaciones prácticas, los cambios de medida se utilizan para simplificar y resolver problemas del mundo real en finanzas matemáticas. Nos permiten transformar la dinámica de los procesos estocásticos y aprovechar las propiedades de las martingalas.
Al seleccionar adecuadamente los numerarios y realizar cambios de medida, podemos eliminar la deriva de un proceso y simplificar el problema en cuestión. Esta simplificación es particularmente beneficiosa cuando se trata de modelos complejos que involucran tasas de interés estocásticas y dinámica bursátil.
Es importante tener en cuenta que es posible que los cambios de medida no siempre den lugar a problemas más sencillos. A veces, incluso después de eliminar la deriva, ciertas variables, como la varianza, aún pueden exhibir dinámicas complejas. Sin embargo, en general, los cambios de medida proporcionan una herramienta poderosa para simplificar y resolver problemas de ingeniería financiera.
En este curso, nuestro enfoque estará en la aplicación práctica de los cambios de medida en escenarios del mundo real. Exploraremos cómo extraer los beneficios de los cambios de medida y las martingalas para simplificar problemas complejos en finanzas matemáticas.
Para resumir, los cambios de medida juegan un papel crucial en las finanzas matemáticas al permitirnos cambiar entre medidas y aprovechar las propiedades de las martingalas. Al comprender y aplicar cambios en las medidas, podemos simplificar la fijación de precios y el análisis de instrumentos financieros, mejorar nuestras técnicas de simulación y abordar modelos complejos de manera más eficaz.
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 2/14, parte 3/3, (Comprensión de Filtraciones y Medidas)
Curso de Ingeniería Financiera: Conferencia 2/14, parte 3/3, (Comprensión de Filtraciones y Medidas)
Continuando con la conferencia, el instructor profundiza en el tema de los cambios de medida y sus aplicaciones prácticas en las finanzas. Comienzan brindando un repaso sobre el teorema de Girizanov y el concepto de medida de existencias. Al establecer una base, el instructor sienta las bases para explorar cómo los cambios en las medidas pueden reducir efectivamente la dimensionalidad en los modelos financieros.
La conferencia se centra en la transición de una medida neutral al riesgo a una medida de cuenta de ahorro de dinero impulsada por el activo de acciones. Esta transición se logra utilizando la proporción de las dos medidas, y el proceso se explica en términos simples. Se enfatiza la importancia de expresar el activo elegido en la misma unidad que otros activos en la cartera, lo que se puede lograr a través de cambios de medida. Además, la conferencia profundiza en la discusión de la función de pago, donde la expectativa bajo la medida asociada se expresa como la integral sobre uno dividida por la medida. Este resultado proporciona un medio para encontrar la consulta deseada. La conferencia concluye mostrando el método de sustitución empleado para obtener el término final, ilustrando aún más la practicidad de los cambios de medida.
Avanzando, el orador explora la simplificación del pago y profundiza en la dinámica de las acciones bajo la nueva medida. El valor de t0 se proporciona como la expectativa bajo medidas de máximo st menos k 0, introduciendo un nuevo método de martingala. Se aclara el concepto del enfoque de martingala, enfatizando la importancia de dividir todo por el proceso de stock para satisfacer las condiciones de una martingala. Se destaca el proceso de descuento, con énfasis en sus beneficios en la simplificación de la dinámica bajo la nueva medida. La dinámica se puede derivar de la proporción de mtst como martingala. Además, el orador subraya la necesidad de determinar la varianza y la transformación medida bajo la nueva medida para aprovechar las ventajas del enfoque martingala de manera efectiva.
Ampliando la conferencia, el disertante explica cómo el mismo procedimiento utilizado para el caso de Black-Scholes se puede aplicar a procesos que no son martingala. Siguiendo un conjunto de condiciones necesarias, se pueden utilizar transformaciones de medida para derivar la dinámica de un nuevo proceso y determinar las expectativas bajo una nueva medida. La importancia de contabilizar las correcciones de la deriva y la volatilidad resultantes de esta transformación se enfatiza al implementar ambos procesos bajo la medida original y la nueva. En última instancia, el cálculo se simplifica a una expresión elegante que involucra un solo proceso logarítmico normal bajo la nueva medida.
Además, el disertante presenta un sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales estocásticas, S1 y S2, junto con un valor de pago asociado con una cuenta de ahorro de dinero que paga solo si S2 alcanza un cierto nivel. Para calcular esta expectativa compleja se hace necesaria la distribución conjunta entre los dos stocks. Se emplea la transformación de medida, aprovechando el teorema de Girsanov para encontrar la expectativa en una forma elegante. El disertante explica el proceso, con S1 elegido como el numerador y la derivada del numerario aleatorio identificada. La conferencia también destaca la importancia de derivar todos los cambios de medida necesarios y explora el impacto potencial en las relaciones entre los movimientos brownianos en diferentes medidas. El disertante enfatiza la importancia de la transformación de la medida en la fijación de precios de instrumentos financieros complejos de manera elegante y poderosa.
Continuando con la conferencia, el disertante aclara la transformación medida para el derivado aleatorio de nicotina y enfatiza la importancia de simplificar el pago. Se explica la fórmula de la ecuación, junto con la medida correspondiente que se debe encontrar para cancelar términos. La dinámica del bono de ahorro monetario y sus coeficientes de deriva y volatilidad se discuten después de aplicar el lema ethos. En esta transformación, se encuentra que el elemento de correlación es despreciable. El ponente también destaca la importancia de la relación entre S2 y S1 en relación con la tabla ethos.
Cambiando de enfoque, el orador analiza la dinámica de dos procesos de existencias bajo la transformación de medida S1, que implica la sustitución de una nueva medida.
Bajo la transformación de medida S1, el orador explica que el primer proceso de existencias aún sigue una distribución logarítmica normal pero con un término adicional en la deriva. De manera similar, el segundo proceso de stock exhibe un término adicional debido a la correlación entre los dos procesos. El disertante enfatiza la importancia de ordenar las variables de la más simple a la más avanzada y recomienda utilizar la descomposición de Cholesky como técnica para simplificar las ecuaciones diferenciales estocásticas. Al aprovechar las propiedades logarítmicas normales, la probabilidad de evaluación se puede resolver de manera efectiva.
Ampliando el alcance de la conferencia, el disertante pasa a discutir los bonos de cupón cero, que son derivados fundamentales en el dominio de la tasa de interés. Los bonos de cupón cero tienen un pago simple, un valor único recibido en el momento del vencimiento, lo que los hace fáciles de entender y usar. Además, sirven como elementos fundamentales para la fijación de precios de derivados más complejos. Cabe señalar que, en ciertos casos, el valor de un bono al inicio puede ser mayor que uno, lo que indica tasas de interés negativas. Las tasas negativas pueden ser el resultado de intervenciones del banco central destinadas a aumentar la liquidez, aunque su efectividad para estimular el gasto sigue siendo un tema de debate. El disertante enfatiza que los bonos cupón cero juegan un papel crucial en el proceso de medir los cambios en el mundo de las tasas de interés.
Además, el disertante profundiza en la importancia de cambiar la medida a la medida forward cuando se consideran bonos cupón cero. Al emplear el teorema fundamental de fijación de precios y la ecuación genérica de fijación de precios, se puede derivar el valor actual de un bono de cupón cero. La ecuación de precios implica la expectativa de un pago descontado, que es igual a uno para un bono de cupón cero. El disertante enfatiza que las tasas de interés son estocásticas y explica cómo se puede eliminar el descuento estocástico de la ecuación cambiando la medida a la medida T forward. La sección concluye con una explicación de cómo se puede modelar un derivado de código de rublo y cómo la ecuación de precios cambia de la medida neutral al riesgo a la medida T forward.
Además, el profesor enfatiza la importancia de cambiar las medidas y reducir la dimensionalidad en los modelos de precios dentro de las finanzas. Al hacer la transición a precios bajo la medida T forward y eliminar la especificidad del factor de descuento, los profesionales pueden utilizar técnicas de cambio de medida como herramientas poderosas en sus operaciones diarias. La conferencia resume el concepto de filtraciones y su relación con las expectativas condicionales, enfatizando cómo estas herramientas pueden simplificar problemas complejos en finanzas.
Para involucrar a los estudiantes y reforzar su comprensión, el instructor presenta tres ejercicios. El primer ejercicio implica implementar una solución analítica para fijar el precio de las opciones de venta, asegurando que el código incorpore las tasas de interés en Python. El segundo ejercicio extiende la fijación de precios a las opciones de venta, brindando la oportunidad de evaluar su efectividad. Finalmente, los estudiantes tienen la tarea de comparar la expresión analítica con el resultado de la simulación de Monte Carlo para la expresión de stock al cuadrado en la diapositiva 24. Este ejercicio destaca los beneficios y las diferencias sustanciales en la aplicación de transformaciones de medida.
La conferencia proporciona una exploración integral de los cambios de medida y sus aplicaciones en las finanzas. Abarca temas como el cambio de medidas, la simplificación de pagos, la dinámica bajo nuevas medidas, la transformación de procesos y la importancia de los bonos cupón cero y las tasas de interés. Al aprovechar las transformaciones de medidas, los profesionales pueden mejorar sus modelos de fijación de precios, simplificar los cálculos y obtener información valiosa sobre instrumentos financieros complejos.