Negociação quantitativa - página 15

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Palestra 3/14, parte 1/2, (The HJM Framework)

Curso de Engenharia Financeira: Palestra 3/14, parte 1/2, (The HJM Framework)

O palestrante mergulha no tópico de condições livres de arbitragem em modelos de taxa de juros, focando especificamente na estrutura de Heat, Jarrow e Morton (HJM). Eles definem a agenda da palestra e esclarecem a distinção entre modelos de equilíbrio e modelos de estrutura a termo. Ao enfatizar o poder e a importância dos modelos de estrutura a termo, que geram curvas de rendimento sem exigir calibração, o palestrante explica a derivação de condições livres de arbitragem dentro da estrutura HJM. O próximo bloco envolverá simulações de Monte Carlo para dois modelos, Julie e Hull-White, juntamente com uma tarefa de casa fornecida. Vale a pena notar que a estrutura HJM serve como uma estrutura genérica e livre de arbitragem para todos os modelos de taxa de juros.

Adiante, introduz-se o conceito de taxas curtas e taxas de juros, enfatizando que as taxas curtas estão associadas a períodos infinitesimais de tempo. O primeiro modelo de taxa curta, o processo Ornstein-Uhlenbeck (OU), é discutido como um exemplo de um modelo endógeno que requer calibração para a curva de juros, resultando potencialmente em graus limitados de liberdade e má calibração. Por outro lado, os modelos exógenos tomam a curva de juros como entrada, evitando o problema de calibração. A palestra também fornece insights sobre o desenvolvimento de habilidades de modelagem e proficiência em programação para modelagem de taxas de juros.

A estrutura HJM é explorada, com foco na transformação de modelos endógenos em modelos exógenos. Essa transformação garante que, independentemente dos parâmetros do modelo escolhido, a curva de juros permaneça a mesma. O palestrante destaca o poder excepcional da estrutura AJM, que fornece um caminho claro dos modelos de equilíbrio aos modelos de estrutura a termo. A palestra menciona que existem inúmeros modelos na literatura, sendo discutidos dois modelos populares. Um desses modelos é o modelo de taxa curta de Vasicek, que enfrentou críticas por sua limitação em acomodar taxas de juros negativas.

A questão das taxas de juros negativas é abordada, e o palestrante explica como os engenheiros financeiros lidam com esse problema empregando o processo Cox-Ingersoll-Ross (CIR), que não permite taxas negativas, mas permite que as taxas cheguem a zero. Para deslocar este processo, introduz-se um parâmetro que permite que a distribuição se desloque de zero para valores negativos, normalmente em torno de dois ou três por cento. A importância do ajuste à curva de rendimento e os desafios da calibração também são discutidos. O palestrante enfatiza que se a curva de juros não puder ser ajustada, não adianta tentar ajustar outros aspectos do modelo. Exemplos de simulação são fornecidos para ilustrar o impacto de parâmetros variados, como velocidade de reversão à média e coeficiente de volatilidade.

O impacto do coeficiente de volatilidade nas trajetórias de diferentes modelos, incluindo os modelos HJM e CIR, é discutido. Coeficientes de volatilidade maiores resultam em picos maiores nos caminhos e maior incerteza, enquanto coeficientes menores levam a distribuições mais estreitas. O palestrante também explica como a reversão à média e as taxas de juros afetam o comportamento desses modelos. O código Python é utilizado para simular caminhos usando a discretização e padronização de Euler, impondo condições para evitar que os caminhos se tornem negativos.

O apresentador fornece uma discussão aprofundada da estrutura HJM (Heath-Jarrow-Morton), que serve como uma estrutura global que abrange todos os modelos de taxa de juros. A dinâmica das taxas a termo instantâneas, representando taxas sobre períodos futuros a partir da perspectiva de hoje, é modelada dentro da estrutura HJM. A estrutura AJM é apresentada como base fundamental para modelos de taxa de juros devido à sua relação explícita entre a volatilidade das taxas a termo instantâneas e o drift livre de arbitragem, garantindo que o modelo esteja sempre livre de arbitragem. A estrutura é explorada no contexto dos modelos de mercado de taxa curta e LIBOR, que são casos especiais da estrutura AJM.

A relação entre liberdade de arbitragem e drift é discutida, particularmente em relação à volatilidade das taxas a termo instantâneas. Ajustar a volatilidade permite alternar entre diferentes modelos. Embora a estrutura HJM acomode diferentes estruturas de volatilidade, é um desafio obter expressões analíticas para taxas curtas ou modelos de mercado LIBOR. No entanto, para certos casos, a estrutura HJM fornece expressões analíticas para títulos de cupom zero com base na volatilidade especificada. Essa estrutura desempenha um papel crucial na transição de modelos de equilíbrio para modelos de estrutura a termo, pois permite o uso de rendimentos observáveis como entrada para o modelo. Uma comparação é feita com outros modelos, como modelos de taxa curta sob a estrutura HJM, que são comparados a Ferraris em termos de calibração rápida, mas carecem de flexibilidade na calibração e implementação de vários instrumentos de mercado. O principal objetivo de um modelo de taxa curta para taxas de juros é garantir a precisão da curva de rendimento e títulos de cupom zero.

As limitações de vários modelos de estrutura a termo empregados na engenharia financeira são discutidas pelo palestrante. Embora a estrutura HJM ofereça mais flexibilidade na calibração para a curva de rendimento, sua simplicidade com apenas dois parâmetros dificulta a calibração de opções exóticas complexas avaliadas por períodos prolongados. O modelo de mercado com volatilidade estocástica, apesar de seus altos custos de manutenção e desafios de calibração, é considerado ideal para precificar exóticos e volatilidade. O palestrante passa a definir taxas futuras instantâneas usando títulos de cupom zero e ilustra como construir uma taxa futura durante um período específico usando uma estratégia de refinanciamento, extraindo assim uma taxa efetiva.

O palestrante aprofunda o conceito de uma estratégia de refinanciamento livre de arbitragem e explica como implicar taxas de componentes zero. Eles introduzem uma forma funcional para a taxa a termo e impõem uma estrutura que garante que ela assuma uma forma exponencial com uma taxa de acréscimo. Ao pegar o logaritmo da expressão e multiplicá-lo por um sinal negativo, eles identificam a taxa que satisfaz a equação tanto para a taxa curta quanto para a taxa futura. A taxa a termo instantânea é definida como f dt, e o locutor enfatiza que é sempre em relação ao vencimento.

Em seguida, a palestra introduz a noção de taxa a termo instantânea, definida como a derivada do logaritmo do título de cupom zero em relação ao vencimento. Isso serve como um bloco de construção fundamental dentro da estrutura HJM, já que todas as quantidades são expressas em termos de taxas instantâneas de avanço. Ressalta-se a importância da diferenciação entre títulos de cupom zero e cadernetas de poupança, sendo o primeiro um valor determinístico e o segundo uma quantidade estocástica. A dinâmica da taxa a termo instantânea é um ponto focal dentro do framework HJM, visando entender e modelar a dinâmica das taxas de juros.

O professor passa a descrever a dinâmica da taxa de avanço instantânea sob a medida p e o objetivo de determinar a dinâmica ao mudar a medida de p para q. O framework HJM engloba a dinâmica da taxa instantânea a termo, a conta poupança monetária (integral da taxa curta) e a relação dos títulos de cupom zero. Para definir a dinâmica da taxa de avanço instantânea sob a medida q, quantidades específicas devem funcionar como martingales. A relação entre a taxa curta e a taxa instantânea direta é explicada, enfatizando a interdependência entre diferentes taxas instantâneas e as conexões entre vários parâmetros.

Dando continuidade à palestra, o palestrante enfatiza a importância de entender a relação entre arbitragem-freeness e drift em modelos de taxas de juros, principalmente no que diz respeito à volatilidade da taxa instantânea a termo. Ao ajustar a volatilidade, pode-se alternar entre diferentes modelos dentro da estrutura HJM. Essa estrutura permite várias estruturas de volatilidade, embora a obtenção de expressões analíticas para taxas curtas ou um modelo de mercado LIBOR possa ser um desafio. No entanto, em alguns casos, a estrutura HJM fornece expressões analíticas para títulos de cupom zero com base na volatilidade especificada.

O palestrante destaca que o framework HJM é um framework genérico e livre de arbitragem para todos os modelos de taxa de juros. Ele oferece um caminho claro de modelos de equilíbrio para modelos de estrutura a termo, tornando-se uma ferramenta poderosa no campo. Existem inúmeros modelos disponíveis na literatura, mas dois populares são discutidos em detalhes.

Primeiro, o modelo de taxa curta de Vasicek é examinado. O palestrante reconhece que esse modelo tem enfrentado críticas por não permitir taxas de juros negativas. Para resolver esse problema, alguns engenheiros financeiros adotam o processo Cox-Ingersoll-Ross (CIR), que não permite taxas negativas, mas permite que as taxas atinjam o nível zero. No entanto, o palestrante menciona que é possível introduzir um parâmetro de deslocamento no processo CIR, deslocando efetivamente a distribuição de zero para um valor negativo, como dois ou três por cento negativos. O ajuste do modelo à curva de juros é enfatizado como aspecto crítico, e a questão da calibração é discutida. O palestrante afirma que se a curva de juros não puder ser ajustada com precisão, não adianta ajustar nenhum outro parâmetro.

Em seguida, o palestrante apresenta as simulações de Monte Carlo para dois modelos: Julie e Hull-White. As simulações visam fornecer exemplos práticos e ilustrar o impacto de parâmetros variáveis, como velocidade de reversão à média e coeficiente de volatilidade, nas trajetórias do modelo. O código Python, utilizando discretização e padronização de Euler, é usado para simular esses caminhos. Condições são impostas para impedir que os caminhos se tornem negativos.

A palestra passa a discutir o impacto do coeficiente de volatilidade nas trajetórias de vários modelos, incluindo os modelos HJM e CIR. Coeficientes de volatilidade maiores resultam em picos mais significativos nos caminhos e maior incerteza, enquanto coeficientes menores levam a distribuições mais estreitas. A influência da reversão à média e das taxas de juros no comportamento desses modelos também é explicada.

O palestrante conclui resumindo os principais pontos abordados, reiterando o poder e a importância dos modelos de estrutura a termo na estrutura do HJM. A capacidade de autogerar curvas de rendimento sem exigir calibração para a curva de rendimento é enfatizada. Finalmente, uma tarefa de casa é fornecida, incentivando os alunos a explorar e aplicar os conceitos e técnicas discutidos na palestra.

A palestra fornece uma exploração aprofundada das condições livres de arbitragem em modelos de taxa de juros, especificamente dentro da estrutura HJM. Abrange as diferenças entre modelos de equilíbrio e modelos de estrutura a termo, a derivação de condições livres de arbitragem e exemplos práticos por meio de simulações de Monte Carlo. A importância de se ajustar à curva de rendimento, os desafios de calibração e o impacto de parâmetros variados são amplamente discutidos, fornecendo aos alunos informações valiosas sobre modelagem de taxas de juros e habilidades de programação.

• 00:00:00 Nesta seção, o palestrante discute condições livres de arbitragem em modelos de taxa de juros, especificamente no contexto da estrutura de Heat, Jarrow e Morton (HJM). Ele descreve a agenda da palestra e explica a diferença entre modelos de equilíbrio e modelos de estrutura a termo. O palestrante enfatiza o poder e a importância dos modelos de estrutura a termo, que autogeram curvas de juros e não requerem calibração para a curva de juros. Ele também explica como derivar as condições livres de arbitragem sob a estrutura HJM. No próximo bloco, o palestrante realizará simulações de Monte Carlo para dois modelos, Julie e Hull-White, e fornecerá uma tarefa de casa. A estrutura HJM é uma estrutura genérica e livre de arbitragem para todos os modelos de taxa de juros.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção da palestra, o conceito de taxas curtas e taxas de juros é introduzido, com ênfase na taxa curta sendo associada a um período infinitesimal de tempo. As taxas curtas são quantidades estocásticas, e o primeiro modelo de taxa curta, o processador OU, foi desenvolvido em 1977. No entanto, modelos endógenos como este requerem calibração para a curva de rendimento, o que pode levar à perda de graus de liberdade e má calibração, enquanto os modelos exógenos tomam a curva de juros como entrada, evitando o problema de calibração. A palestra também fornece insights sobre como desenvolver habilidades de modelagem e programação para modelagem de taxas de juros.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção é discutido o framework HJM, onde os modelos endógenos são transformados em modelos exógenos. Isso significa que quaisquer que sejam os parâmetros escolhidos para o modelo, a curva de juros sempre será retornada sem nenhuma diferença. Também é mencionado que a estrutura AJM é extremamente poderosa e fornece um caminho claro do equilíbrio para os modelos de estrutura a termo. Existem muitos modelos diferentes disponíveis na literatura, e dois populares são discutidos, incluindo o modelo de taxa curta de Vasicek, que tem sido criticado por não permitir taxas de juros negativas.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante discute a questão das taxas de juros negativas e como alguns engenheiros financeiros abordam isso por meio do processo de tomada do processo CIR, que não permite taxas de juros negativas, mas permite que as taxas fiquem no mesmo nível zero. Ele explica que é possível corrigir esse processo deslocando-o, e esse parâmetro de deslocamento pode mover a distribuição de zero para dois ou três por cento negativos. O palestrante também aborda a importância do ajuste na curva de juros e a questão da calibração, afirmando que se não conseguirmos ajustar a curva de juros, não adianta encaixar mais nada. Por fim, ele fornece exemplos de simulação do impacto de parâmetros variados, como velocidade de reversão à média e coeficiente de volatilidade.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o instrutor discute o impacto do coeficiente de volatilidade nos caminhos de vários modelos, como os modelos HJM e CIR. Ele demonstra como coeficientes de volatilidade maiores levam a picos maiores nos caminhos e mais incerteza, enquanto coeficientes menores resultam em uma distribuição mais estreita. O instrutor também explica como a reversão à média e as taxas de juros impactam o comportamento desses modelos. No código python, ele usa discretização e padronização euler para simular os caminhos e impõe condições para impedir que os caminhos se tornem negativos.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da palestra no YouTube sobre engenharia financeira, o apresentador discute a estrutura HJM (Heath-Jarrow-Morton), que fornece uma estrutura global para todos os modelos de taxas de juros. O apresentador explica que a estrutura modela a dinâmica das taxas a termo instantâneas, que são taxas ao longo de um período futuro a partir da perspectiva de hoje. A estrutura AJM constitui uma base fundamental para modelos de taxa de juros, pois fornece uma relação explícita entre a volatilidade das taxas a termo instantâneas e o drift livre de arbitragem, garantindo que o modelo seja sempre livre de arbitragem. A estrutura é discutida no contexto dos modelos de mercado de taxa curta e LIBOR, que são casos especiais da estrutura AJM.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, a relação entre a liberdade de arbitragem e o drift é discutida em relação à volatilidade da taxa de forward instantânea, que pode ser alterada para alternar entre diferentes modelos. A estrutura HJM permite diferentes estruturas de volatilidade, mas é difícil obter expressões analíticas para taxas curtas ou um modelo de mercado LIBOR. No entanto, para alguns casos, o modelo fornece expressões analíticas para títulos de cupom zero com base na volatilidade especificada pela estrutura HJM. Essa estrutura é essencial na passagem de modelos de equilíbrio para modelos de estrutura a termo e permite que rendimentos observáveis sejam usados como entrada para o modelo. Isso é comparado com diferentes modelos, como os modelos de taxa curta sob a estrutura HJM, que podem ser considerados semelhantes a uma Ferrari em termos de calibração rápida, mas carecem de flexibilidade na calibração e implementação para vários instrumentos de mercado. O objetivo fundamental de um modelo de taxa curta para taxas de juros é garantir a curva de rendimento e os títulos de cupom zero.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute as limitações dos diferentes modelos de estrutura a termo usados na engenharia financeira. Embora a estrutura HJM ofereça mais flexibilidade na calibração da curva de rendimento, sua simplicidade de dois parâmetros dificulta a calibração de um exótico de vários calibres avaliado ao longo de vários anos. Ele explica que o modelo de mercado com volatilidade estocástica tem altos custos de manutenção e desafios de calibração, mas é ideal para precificar exóticos e volatilidade. O palestrante define taxas futuras instantâneas usando títulos de cupom zero e demonstra como construir uma taxa futura ao longo de um período de tempo por meio de uma estratégia de refinanciamento, extraindo assim uma taxa efetiva.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante fala sobre a estratégia de refinanciamento sem arbitragem e como implicar taxa de componentes zero. Eles definem uma forma funcional para a taxa a termo e impõem uma estrutura tal que seja de forma exponencial e haja alguma taxa de acréscimo de tempo. Tomando um logaritmo da expressão e multiplicando-o por um sinal de menos, eles encontram a taxa que satisfaz a equação para a taxa curta e a taxa futura. A taxa a termo instantânea é definida como f dt, e eles a diferenciam em relação ao vencimento. O palestrante destaca a importância de se ter em mente que isso sempre se dá em relação à maturidade.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção da palestra, é introduzido o conceito de taxa a termo instantânea, que é definida como a derivada do logaritmo do título de cupom zero em relação ao vencimento. Este é um bloco de construção fundamental para a estrutura HJM, pois tudo é expresso em termos de taxas futuras instantâneas. A palestra destaca a importância de distinguir entre títulos de cupom zero e contas de poupança, já que o último é uma quantidade estocástica enquanto o primeiro é um valor determinístico. A dinâmica da taxa a termo instantânea é enfocada no framework HJM, onde o objetivo é entender e modelar a dinâmica das taxas de juros.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção da palestra, o professor descreve a dinâmica da taxa de avanço instantânea sob a medida p e o objetivo de encontrar a dinâmica desse processo quando mudamos a medida de p para q. A estrutura HJM consiste na dinâmica da taxa instantânea a termo, da conta de poupança monetária, que é a integral da taxa curta, e da relação de cupom zero. Para definir a dinâmica da taxa de avanço instantânea sob a medida q, certas quantidades precisam ser martingales. O professor também explica a relação entre a taxa curta e a taxa instantânea de encaminhamento e destaca a dependência entre diferentes taxas instantâneas e as relações entre diferentes parâmetros.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Palestra 3/14, parte 2/2, (The HJM Framework)

Curso de Engenharia Financeira: Palestra 3/14, parte 2/2, (The HJM Framework)

Na palestra, o foco está na estrutura HJM e suas premissas para modelagem de taxa de juros. O palestrante começa discutindo as condições livres de arbitragem na estrutura HJM, que são cruciais para qualquer modelo de taxa de juros dentro dessa estrutura. Essas condições garantem que todo ativo descontado com a conta poupança se comporte como um martingale. Aplicando a fórmula de Itō aos títulos de cupom zero e à caderneta de poupança, obtém-se a dinâmica do ativo dividido pela caderneta de poupança, levando ao famoso lema de HJM sobre condições livres de arbitragem para taxas a termo instantâneas.

Em seguida, o palestrante explora como o desvio das taxas instantâneas a termo é determinado dentro da estrutura HJM. A volatilidade da taxa a termo instantânea desempenha um papel fundamental na definição da deriva se alguém quiser estar no mundo neutro ao risco e livre de arbitragem. O palestrante explica que para modelar taxas curtas ou taxas a termo instantâneas é fundamental especificar a volatilidade para a taxa a termo instantânea. Uma vez definido, a dinâmica da taxa de encaminhamento instantânea é conhecida, garantindo um ambiente livre de arbitragem. A palestra também aborda o cálculo da dinâmica da taxa curta, que envolve a curva de maturidade, uma função determinística constante e uma integral em relação à derivada parcial da volatilidade.

A palestra aprofunda ainda mais os aspectos práticos da estrutura HJM. O palestrante discute como diferentes modelos de taxa curta podem ser gerados especificando a volatilidade dentro da estrutura. Uma volatilidade constante é apresentada como a forma mais simples, permitindo o cálculo da função alfa sob a condição HJM. A dinâmica da taxa curta pode então ser derivada substituindo o sigma e o alfa especificados na estrutura, usando a curva de bônus de cupom zero como uma entrada. A importância da curva de juros, que é estimada a partir de instrumentos de mercado, é enfatizada como um componente chave na precificação de derivativos de taxa de juros.

Atenção especial é dada ao modelo Uli, que pertence à classe afim de processos e oferece deriva dependente do tempo e parâmetros sigma. O palestrante explica como esse modelo permite o cálculo de títulos de cupom zero de forma exponencial sem a necessidade de simulações de Monte Carlo aninhadas, economizando poder computacional. A relação entre as taxas curtas e as funções determinísticas conhecidas em b é explicitamente expressa, e o uso potencial do algoritmo de Longstaff Schwarz para estimar expectativas é mencionado.

A palestra também destaca a importância de representar modelos de forma elegante e zero-composta. A estrutura HJM é reconhecida como uma ferramenta poderosa para atingir esse objetivo. Um experimento Python é conduzido para demonstrar como caminhos simulados podem ser usados para calcular títulos de cupom zero, comparando-os com os rendimentos de entrada. Enfatiza-se que a estrutura HJM garante que os caminhos simulados sempre rendem os mesmos títulos de cupom zero daqueles incorporados na entrada de rendimento.

Métodos de simulação de Monte Carlo dentro da estrutura HJM são discutidos como um meio para gerar curvas de rendimento. O palestrante apresenta uma abordagem que envolve a especificação de uma curva de rendimento, estimando a curva de componente zero e calculando os parâmetros teta e sigma. Simulações de Monte Carlo são então realizadas e os fatores de desconto resultantes são usados para plotar as curvas de títulos de cupom zero do modelo e do mercado. O palestrante mostra a flexibilidade da abordagem em lidar com mudanças nos valores dos parâmetros e destaca a combinação perfeita entre os rendimentos de entrada e saída.

A calibração de modelos dentro da estrutura HJM também é abordada, com foco na vantagem de calibrar para produtos relevantes sem a necessidade de calibração separada para a curva de rendimento. As dificuldades frequentemente encontradas na calibração da curva de rendimento são discutidas, destacando os benefícios da estrutura HJM a esse respeito. A derivação do modelo de volatilidade constante em modelos de taxa curta usando as hipóteses HJM é explicada, apresentando uma forma simplificada da dinâmica da taxa curta que facilita a avaliação do modelo.

A palestra termina resumindo os principais pontos abordados e fornecendo três exercícios para os alunos aplicarem os conceitos e cálculos aprendidos. Os exercícios envolvem o cálculo da dinâmica de Ito,

• 00:00:00 Nesta seção da palestra, o foco está na estrutura HJM e suas suposições para modelagem de taxa de juros. As condições arbitrárias sob o modelo HJM são discutidas, as quais definem o principal direcionador para qualquer modelo de taxa de juros que pertença à estrutura HJM. Além disso, os modelos Pulley e Full-Wyte são apresentados como casos especiais da estrutura HJM, e simulações de Monte Carlo são usadas para ilustrar como os modelos de estrutura a termo podem recuperar a curva de juros. A palestra termina com um resumo dos pontos principais, juntamente com três exercícios perspicazes e úteis para os alunos concluírem.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute as condições livres de arbitragem para as taxas a termo instantâneas na estrutura HJM. A condição livre arbitrária afirma que todo ativo na economia descontado com a conta de poupança precisa ser um martingale. O palestrante então aplica a fórmula de Itō aos títulos de cupom zero e à caderneta de poupança para obter a dinâmica do ativo dividido pela caderneta de poupança, que é expressa como um expoente e uma função das taxas a termo instantâneas. A derivada resultante é bastante complicada e envolve integrais e dois argumentos, mas, em última análise, leva ao famoso lema HJM sobre condições livres de arbitragem para taxas a termo instantâneas.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção da palestra, a estrutura HJM é usada para determinar a deriva das taxas futuras instantâneas, que é totalmente determinada pela volatilidade se alguém quiser estar sob o mundo livre de arbitrário e neutro ao risco. Isso significa que, se alguém quiser modelar taxas curtas ou taxas a termo instantâneas, deve definir a volatilidade para a taxa a termo instantânea. Uma vez que isso é definido, a dinâmica para a taxa de avanço instantânea é conhecida e a arbitragem é livre de arbitrária. A prova e as derivações são deixadas de fora, mas a dinâmica da taxa curta é calculada usando a definição da taxa direta instantânea e equações diferenciais estocásticas. A dinâmica da taxa curta inclui a curva de vencimento, uma função determinística constante e uma integral de 0 a t da derivada parcial da volatilidade em relação ao movimento browniano.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o professor discute a estrutura HJM e como gerar diferentes modelos de taxa curta especificando a volatilidade dentro da estrutura. A volatilidade mais simples possível é uma constante e, ao especificá-la, podemos calcular a função para alfa sob a condição HJM. A dinâmica para a taxa curta pode ser derivada substituindo sigma e alfa na estrutura e usando a curva de bônus de cupom zero como uma entrada. O professor explica que a curva de rendimentos, associada à curva de cupom zero, é um dos blocos de construção mais importantes usados no financiamento de derivativos de taxa de juros e que é estimada a partir de instrumentos de mercado. Uma vez que temos um número de swaps, outros derivativos de taxa de juros e instrumentos de mercado, podemos construir a curva de bônus de cupom zero interpolando entre os pontos.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção da palestra, o modelo uli é discutido, que pertence à classe afim de processos e possui um desvio dependente do tempo e um parâmetro sigma. O modelo permite encontrar a opção dinâmica e a função de cupom zero de forma exponencial, facilitando o cálculo dos títulos de cupom zero do tempo t1 ao tempo t2 sem a necessidade de uma simulação de monte carlo aninhada, o que economiza poder computacional. Em vez disso, a relação entre as taxas curtas e as funções determinísticas em b, que são conhecidas de forma aproximada, são explicitamente expressas. O algoritmo de Longstaff Schwarz também pode ser usado para estimar expectativas, o que será discutido em um curso de acompanhamento.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, é discutida a importância de ser capaz de representar um modelo na forma de uma forma elegante de composição zero. A estrutura HJM oferece uma ferramenta poderosa para esse propósito, como visto em um experimento Python onde uma curva de bônus de cupom zero é especificada e um modelo Hul Lee é obtido com algum parâmetro sigma. Caminhos simulados são usados para calcular títulos de cupom zero, e a expectativa de E para a integral negativa é comparada com a entrada. A estrutura AJM exige que qualquer que seja o parâmetro escolhido para sigma, o título de cupom zero dos caminhos simulados sempre será o mesmo que foi incorporado como entrada dos rendimentos.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante discute o método de simulação de Monte Carlo na estrutura HJM para criar uma curva de juros. A abordagem que ele usa envolve especificar uma curva de rendimento, estimar a curva de componente zero e calcular os parâmetros teta e sigma. Em seguida, ele realiza a simulação de Monte Carlo e armazena o fator de desconto, usando a saída da simulação de Monte Carlo para plotar o título de cupom zero do modelo e do mercado. O palestrante demonstra como a abordagem pode lidar com mudanças nos valores dos parâmetros, e sempre há uma correspondência perfeita entre o rendimento como entrada e saída.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute como a estrutura HJM permite a calibração de modelos para produtos relevantes sem a necessidade de calibrar a curva de rendimento separadamente. O palestrante observa que a calibração para a curva de juros geralmente apresenta dificuldades, o que não é o caso dessa estrutura. Além disso, o palestrante explica como o modelo de volatilidade constante em modelos de taxa curta pode ser derivado usando a especificação de volatilidade sob as suposições HJM. A substituição é utilizada para obter uma forma simplificada da dinâmica da taxa de curto prazo, que permite avaliar a fórmula para o modelo.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute o HJM Framework e a dinâmica da taxa curta. O parâmetro lambda é uma função dependente do tempo, dada em termos de instrumentos de mercado, e a taxa a termo instantânea é um elemento chave do HJM Framework. A função theta garante que os títulos de cupom zero obtidos pela integração de atalho, tomando um expoente e tendo uma expectativa disso, correspondam à entrada. Para o HJM Framework, o palestrante menciona que temos dois parâmetros, lambda e sigma, que podem ser usados para calibração. O parâmetro lambda seria corrigido e recalibrado semanalmente ou mensalmente. O parâmetro sigma seria calibrado frequentemente usando swaptions. O palestrante enfatiza a importância de calibrar o modelo aos instrumentos que serão utilizados para hedge, devendo os instrumentos de calibração limitar-se aos instrumentos utilizados em precificação e hedging.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o foco está na simulação da função theta t, que é crucial na estrutura HJM. A diferenciação da função theta t é realizada e existem maneiras de otimizar a implementação para melhorar a eficiência. O código apresentado é para fins educacionais e um gráfico ilustra o impacto de diferentes parâmetros de inversão e volatilidade nos caminhos. A seção segue para definir títulos de cupom zero de mercado e simular trajetórias de Monte Carlo para eles. A curva de rendimento é comparada com a obtida a partir do modelo Hull-White, e há dois parâmetros na estrutura HJM, o que fornece mais flexibilidade na calibração para derivados exóticos. Um código Python é gerado para calcular a expectativa de um sobre MT e comparar com a curva de rendimento. Os parâmetros podem ser alterados, observando-se seu impacto na curva de juros.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute a estrutura HJM e seu uso na modelagem de taxas de juros. A curva de juros é uma entrada importante nesses modelos, e a construção do modelo garante que a curva de juros esteja sempre perfeitamente calibrada para se adequar ao mercado. O uso de interpolação e calibração com graus extras de liberdade é crucial para a precificação de derivativos. A palestra também cobre as especificações para as condições livres de arbitragem no mundo das taxas de juros e discute as diferenças entre vários modelos, incluindo os modelos Hull-White e Full-White. Em conclusão, o professor fornece três exercícios para os alunos aplicarem esses conceitos e cálculos ao modelo exponencial de Vasicek.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, aprendemos sobre o hedge de um título e como encontrar pesos que igualam as incertezas entre os instrumentos de hedge, tudo feito usando um modelo vascular com parâmetros constantes. O processo é estocástico e não determinístico, mas escolher os pesos de forma que sejam iguais ajuda a redistribuir o dinheiro entre diferentes títulos e garantir que você tenha um bom portfólio. Em seguida, examinamos o problema das taxas de juros negativas e como corrigi-lo usando uma prática de mercado chamada deslocamento, que introduz um parâmetro positivo para deslocar todos os caminhos de R em um determinado valor. Os exercícios ajudam a calcular a dinâmica de Ito para um determinado sistema de equações, calcular expectativas e abordar o problema de taxas de juros negativas.

[MetaQuotes]

Financial Engineering Course: Lecture 4/14, part 1/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

Financial Engineering Course: Lecture 4/14, part 1/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

The presenter delivers an informative lecture on short rate models and their connection to yield curve dynamics. They begin by introducing the concept of short rate models and discussing their relevance. To enhance the understanding, they extend the discussion from a single-factor cool white model to a more comprehensive multi-factor model, conducting several simulations along the way.

A comprehensive introduction to yield curves follows, with an exploration of different yield curve shapes and their relation to short rate dynamics. The presenter establishes a connection between these concepts and real market experiments, shedding light on their practical applications. While exploring the single-factor model's limitations, the presenter also presents potential solutions, including the construction and simulation of a two-factor model.

In the subsequent segment, the instructor focuses on mean-reverting processes and demonstrates how to generate paths for these processes. They present a 3D plot showcasing the distribution of interest rates over time. Introducing a transformation called "yt," the instructor explains how this process extracts the mean-reverting part from the whole white model. By applying the Ito lemma to yt and substituting the dynamics for the whole white model, they derive the solution for the white model's distribution.

The dynamics of yt take the center stage as the lecturer highlights its stochastic component independence, effectively removing the dependence on rt and yt. They proceed to find the solution for the process rt through integration. The solution for the whole rate model encompasses a scaling constant, a time-dependent drift function, a volatility component with an exponent, and a decay coefficient. The deterministic nature of the expression makes integrating time-dependent functions easy, and the resulting integral is normally distributed. Consequently, rt follows a normal distribution with an expectation and variance, where the long-term expectation converges to the theta t function. The class of affine diffusion processes is also briefly discussed.

Moving on to jump diffusion processes, the lecturer delves into the characteristics specific to the Hull-White model and interest rate models. They emphasize that the Hull-White model belongs to the class of affine jump diffusion processes, enabling the derivation of the characteristic function for this process and analytical expressions for zero coupon bonds. The derivation of the characteristic function and the application of the Hull-White model's decomposition are explained in detail. Time-dependent parameters are identified as significant factors impacting the model's functions, with the possibility of taking them outside the expectation.

The professor proceeds to discuss the solution to the model and highlights the importance of the Dupey-Duffy-Singleton theorem. They explain that the solution takes the form of a Riccati-type equation, and the theorem facilitates the derivation of functions A and B. This theorem's significance lies in expressing the conditional expectation solely in terms of dependence at the specific point of Rt paths, thus improving simulation. This feature proves particularly valuable for portfolio evaluations requiring multiple nested Monte Carlo simulations. Furthermore, the closed-form nature and ease of implementation of functions A and B make them highly adopted models in the industry, avoiding the need for costly recalibration while effectively calibrating to yield curve dynamics.

The instructor emphasizes a powerful expression that allows for the evaluation of zero coupon bonds without resorting to nested Monte Carlo simulations. This expression eliminates the need for additional simulations, significantly enhancing the efficiency of pricing swaps with long-term maturities. Functions A and B, which depend on maturity, play a pivotal role in this process and can be directly evaluated. The lecturer provides closed-form relations between zero coupon bonds and functions A and B, involving a theta function, volatility, and a minimum speedometer version. Moreover, they demonstrate two approaches to evaluating zero coupon bonds from the model: using the analytical expression or avoiding integrations.

Continuing the lecture, the instructor explains how to calculate zero coupon bonds within the full white model, employing a faster and more efficient method than nested Monte Carlo simulation. They present the expression for the zero coupon bond as a function of variables a and b, as well as the shortest instantaneously forward rate, r0. This method proves advantageous in terms of speed and efficiency compared to the previous nested Monte Carlo simulation approach. The importance of the yield curve in determining present values of future cash flows is also emphasized. The yield curve serves as a crucial tool for mapping quotes of liquid instruments to a unified curve, with different maturities of zero coupon bonds being utilized to construct forward rates. The primary objective of the yield curve is to provide an expectation of future rates under various scenarios.

The lecture further explores the significance of selecting the most liquid instruments when constructing a yield curve. These instruments are chosen due to their frequent usage in hedging and pricing exotic derivatives. The interpolation of points on the yield curve is discussed, as it can have a substantial impact on the overall discount curve used in calculations. Additionally, the yield curve is viewed as a leading indicator of a country's economic direction and can be influenced by the monetary policies of central banks. The mapping of zero coupon bonds to yield is explained, with yields typically expressed as effective rates in units of years. It is noted that the yield curve reflects not only interest rate expectations but also investors' risk attitudes and their preference for bonds with different maturities.

Continuing with the lecture, the lecturer explains the mechanics of yield curves and their dependence on the demand for short-term bonds. Yield curves are represented by a set of nodes, each associated with a corresponding pair. These pairs are used to define spine points on the curve, and the curve itself is a function that maps a set of zero rates to real numbers. The determination of spine points involves calibration instruments, and the interpolation method between these points can vary based on market conventions or individual trader preferences. This interpolation is necessary for obtaining bond values between spine points. The mapping of zero coupon bonds to the yield curve and the construction of the yield curve are also discussed in detail.

The speaker highlights the crucial role of interpolation in calculating bond values and emphasizes its impact on hedging performance. The choice of interpolation method significantly influences sensitivities and risks associated with the yield curves. Furthermore, the construction of the yield curve has a profound impact on hedging strategies. The lecture delves into the conventions regarding the naming of yield curves and yields, with specific examples, such as a five percent yield over five years being related to zero coupon bonds and spine points on the yield curve. The session concludes by foreshadowing the next segment, which will explore yield curve construction in more depth, addressing the sensitivity of instruments, the impact of different interpolation techniques, and the influence of interpolation on hedging performance.

In the subsequent part of the lecture, the speaker emphasizes the importance of accurately calculating yields and stresses the need to employ the full expression instead of solely relying on the expectation of a single term. This is due to the fact that integral and exponent functions do not possess equivalent expectations. Yield curve dynamics are introduced and various shapes of yield curves are explored, including the normal yield curve, which indicates a healthy economy. The speaker further explains how central banks utilize quantitative easing to drive short-term rates low, consequently impacting the shape of the yield curve.

The instructor discusses different shapes of yield curves, including the flat curve and the inverted yield curve. The latter is typically associated with market crises or impending crises. It represents a transition from a normal curve to an inverted curve and may result in banks being hesitant to issue more loans, leading to limited stimulation of the overall economy. The lecture showcases a graph from the US Treasury displaying yield curve dynamics over time, providing insights into future economic trends. The parallel shift of yield curves and its impact on positions in the interest rate realm are also covered.

Shifting the focus to yield curve dynamics under short rates, the lecturer presents a video demonstration that showcases the dynamics of the yield curve. In the video, the blue line represents the effective fed funds rate, which can be considered a short rate since it reflects overnight rates. The green line corresponds to the yield implied by the market, representing market expectations. The video illustrates various crises, such as the 2008 financial crisis, where the yield curve flattened and inverted, leading investors to move from the stock market to Treasury bonds.

The lecturer provides a link to the video, encouraging viewers to explore the dynamics of the yield curve themselves. Understanding the relationship between short rates and yield curve movements is essential for effective risk management. By simulating short rates and constructing yield curves for each path using formulas that incorporate zero coupon bonds, one can gain insights into the dynamics and behavior of yield curves.

Building upon this understanding, the subsequent part of the lecture will delve into more realistic yield curve dynamics derived from short rates. This exploration aims to provide a comprehensive understanding of the interplay between short rates and yield curves, enabling better risk assessment and management in financial markets.

• 00:00:00 In this section of the financial engineering course, the presenter discusses the concept of short rate models and their relation to yield curve dynamics. They cover the extension of a single factor cool white model to a multi-factor model and perform several simulations. Additionally, they provide an introduction to yield curves and discuss different shapes of yield curves and short rate dynamics, connecting these concepts to real market experiments. The discussion includes the limitations of the single factor model and solutions for them, including the construction and simulation of a two-factor model. The presenter concludes the lecture with a summary and two exercises for homework.
  
  
• 00:05:00 In this section of the lecture, the instructor explains how to generate paths for mean reverting processes and presents a 3D plot of these paths showing the distribution of interest rates over time. The instructor then introduces a transformation for the whole white model that allows the derivation of the solution for the white model's distribution. This transformation is defined as a process called yt, which extracts the mean-reverting part from the whole white model. By applying the Ito lemma to yt and substituting the dynamics for the whole white model, the instructor shows how to derive the solution for the white model's distribution.
  
  
• 00:10:00 In this section of the lecture, the focus is on the dynamics of yt, which does not depend on a stochastic component, removing the dependence on rt and yt. The solution for the process rt is found through integration. The solution for the whole rate model consists of a scaling constant, a drift which is a time-dependent function, a volatility component with an exponent, and a decay coefficient. The expression is deterministic which means integrating time-dependent functions is easy, and the integral is normally distributed so that rt is normally distributed with an expectation and variance, where the long-term expectation converges to the theta t function. The class of affine diffusion processes is briefly discussed as well.
  
  
• 00:15:00 In this section, the lecturer discusses the characteristics of jump diffusion processes, particularly for the Hull-White model and interest rate models. He notes that this model belongs to the class of affine jump diffusion processes, which enables finding the characteristic function for this process and analytical expressions for zero coupon bonds. He further explains the derivation of the characteristic function and the application of decomposition of the Hull-White model. Lastly, he emphasizes that time-dependent parameters affect the model's functions, and they can be taken outside the expectation.
  
  
• 00:20:00 In this section of the lecture, the professor discusses the solution to the model and the importance of the Dupey-Duffy-Singleton theorem. The solution is in the form of a Riccati type of equation, and functions A and B can be derived using the Dupey-Duffy-Singleton theorem. This theorem is important because it allows for the expression of the expectation conditional in terms of dependence only at the particular point of Rt paths, which improves simulation. This is especially helpful for portfolio evaluations that require multiple evaluations of nested Monte Carlo simulations. Additionally, the functions A and B are closed form and easy to implement, making them well-adopted models in the industry that efficiently calibrate to yield curve and do not require costly recalibration.
  
  
• 00:25:00 In this section of the Financial Engineering Course, the instructor discusses the powerful expression that zero coupon bonds can be evaluated through, which eliminates the need for nested Monte Carlo simulations, making pricing swaps with long-term maturities much more efficient. This expression depends on functions A and B that are determined by maturity and can be directly evaluated without the need for additional simulations. The instructor also provides the closed form relations between zero coupon bonds and functions A and B, which involve a theta function, volatility, and a minimum speedometer version. Additionally, the instructor shows how to evaluate zero coupon bonds from the model using the analytical expression or through avoiding integrations.
  
  
• 00:30:00 this section, the lecturer explains how to calculate zero coupon bonds under the full white model without using Monte Carlo simulation. The expression for the zero coupon bond is given by function a and b, and r0, which is the shortest instantaneously forward rate. This method is faster and more efficient than the previous nested Monte Carlo simulation. The yield curve, which is important in determining present values of future cash flows, is also discussed, as well as their usage in different asset classes. The limitations of the one-dimensional white model in risk management are also mentioned.
  
  
• 00:35:00 In this section of the lecture, the importance of the yield curve as a means of discounting future cash flows is discussed. The yield curve represents market expectations of future rates and is used to map quotes of liquid instruments to a unified curve. Different maturities of zero components are used to construct forward rates and the main concept of the yield curve is to provide an expectation of future rates with different scenarios. The lecture also covers how to simulate the yield curve and how to extend models from single-factor to two-factor. Interest rate products are an expectation of the future value, and stock values are discounted future cash flows.
  
  
• 00:40:00 In this section, the importance of selecting the most liquid instruments when constructing a yield curve is discussed. These liquid instruments are chosen because they are the most commonly used for hedging and are used for the pricing of exotic derivatives. The interpolation of points on the yield curve is also discussed as it can have a significant impact on the overall discount curve used in calculations. The yield curve is viewed as a leading indicator of the direction of the country's economy and can be affected by the monetary policy of central banks. Finally, the mapping of zero coupon bonds to yield is explained, with yields typically being expressed as an effective rate in units of years. The yield curve reflects not only interest rate expectations, but also investors' attitudes towards risk and their need for different maturities of bonds.
  
  
• 00:45:00 this section, the lecturer explains how yield curves work and how they change depending on demand for short-term bonds. Yield curves can be represented by a set of nodes, where each node has a corresponding pair associated with it. These pairs are used to define spine points on the curve, and the curve itself is a function that maps a set of zero rates to real numbers. Spine points are determined through calibration instruments, and the interpolation used between them can change depending on market conventions or trader's choices. This interpolation is necessary to get bonds in between spine points. The lecturer also discusses how to map zero coupon bonds to the yield curve and how to construct the yield curve.
  
  
• 00:50:00 In this section of the lecture, the speaker emphasizes the importance of interpolation in calculating bond values and discussing its hedging performance. The choice of interpolation plays a significant role in determining sensitivities and risks associated with the curves. The speaker also talks about how the construction of the yield curve impacts hedging and discusses the conventions regarding the naming of yield curves and yields. A five percent yield over five years, for example, relates to zero coupon bonds and spine points on the yield curve. The lecture concludes by pointing out that the following session will delve into yield curve construction in more detail, where attendees will see how curve construction affects an instrument's sensitivity, the impact of different interpolation routines, and how an interpolation can affect hedging performance.
  
  
• 00:55:00 In this section, the speaker discusses the importance of properly calculating yields and emphasizes the need to use the full expression rather than just taking the expectation of a single term. They explain that this is because the integral and exponent functions do not have equivalent expectations. The speaker also introduces the idea of yield curve dynamics and explores different possible shapes of the yield curve, including the normal yield curve which indicates a healthy economy. The discussion concludes with an explanation of how central banks use quantitative easing to push short-term rates low and how this affects the yield curve.
  
  
• 01:00:00 In this section, the instructor discusses the different shapes of yield curves, including the flat curve and the inverted yield curve, which is typically associated with a market crisis or an oncoming crisis. This is a transition between a normal curve and an inverted curve, and banks may not issue more loans, which may not stimulate the entire economy. The instructor also presents a graph from the US Treasury that shows yield curve dynamics in time, indicating what will happen in the economy. Furthermore, the discussion covers the parallel shift of a yield curve and the impact on positions that someone has in the interest rate world.
  
  
• 01:05:00 In this section, the lecturer discusses yield curve dynamics under short rate. The focus is on a video that demonstrates the dynamics of the yield curve, where the blue line represents the effective fed funds rate, which can be considered a short rate since it is an overnight rate. The green line corresponds to the yield implied by the market, which is a market expectation. The video shows various crises such as the 2008 financial crisis where the curve flattened and inverted, leading to investors leaving the stock market for the treasury. The lecturer provides the video link so that viewers can learn about the dynamics of the yield curve.
  
  
• 01:10:00 In this section, the video explains how to simulate short rates and construct a yield curve for each path using formulas that take into account zero bonds. By observing the different dynamics of the yield curve in each path, it is possible to understand the relation between short rates and yield curves, which is useful for risk management purposes. In the next block, the lecture will focus on more realistic yield curve dynamics implied from short rates.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Aula 4/14, parte 2/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 4/14, parte 2/2, (Yield Curve Dynamics under Short Rate)

O instrutor mergulha no tópico de simulação de modelos de taxa curta e sua aplicação na medição da dinâmica das curvas de juros. As curvas de rendimento representam as expectativas do mercado quanto aos rendimentos futuros e são influenciadas pelas percepções e expectativas do mercado. Para analisar essas dinâmicas, o instrutor apresenta um experimento que consiste em observar a taxa composta continuamente para cada realização da taxa curta e gerar curvas de rendimento para cada cenário. Esta simulação ajuda a avaliar o realismo do modelo de taxa curta e a função motriz theta t. Dados de mercado reais são utilizados neste experimento para aumentar a precisão.

O palestrante destaca a utilidade das simulações de taxa curta para análise de risco. Gerando curvas de juros para diferentes cenários, torna-se possível avaliar o valor presente de uma carteira composta por produtos de taxa de juros. Para demonstrar isso, o palestrante simula vários caminhos para taxas curtas e calcula os títulos de cupom zero para cada caminho. Curiosamente, a palestra aponta que as curvas de rendimento geradas usando o modelo full white apresentam um deslocamento paralelo, o que é irreal na prática. A palestra termina apresentando o código Python usado para gerar as curvas de rendimento.

Continuando a discussão, enfatiza-se a importância de se ter um continuum em títulos de cupom zero para o cálculo da função teta. A palestra enfatiza a importância da interpolação, particularmente interpolando na própria taxa em vez do expoente, para garantir a estabilidade numérica. Várias opções de interpolação e o número de pontos para cálculo de títulos são explorados. Além disso, a palestra se aprofunda na simulação e geração de títulos e rendimentos de cupom zero, ressaltando a importância de implementar esses processos de forma consistente e robusta. Por fim, a palestra apresenta a curva de juros gerada a partir de dados de mercado e as trajetórias de Monte Carlo simuladas do modelo mundial, revelando uma taxa saudável, mas notavelmente baixa.

A palestra prossegue abordando as limitações do modelo totalmente branco. Embora o modelo permita calibrar toda a curva de juros, ele fica aquém da calibração de toda a curva futura, o que é uma limitação comum na maioria dos modelos de juros curtos. Para superar essa limitação, o palestrante apresenta o Modelo do Mercado de Trabalho, que é adequado para abordar a curva futura e a calibração da curva de juros. Além disso, o modelo totalmente branco encontra problemas com componentes zero perfeitamente correlacionados, reduzindo ainda mais sua eficácia.

Seguindo em frente, as limitações do modelo de Hull-White de fator único são discutidas. Essas limitações incluem alta correlação entre títulos com vencimentos próximos, mas baixa correlação para títulos com vencimentos distantes, impossibilitando a calibração do modelo para toda a estrutura a termo de diferentes taxas de juros. O modelo também é considerado inadequado para fins de gerenciamento de risco, pois assume uma correlação de um entre títulos de cupom zero e dinâmica de taxa curta. Para resolver esses problemas, uma extensão para o modelo Hull-White de dois fatores é introduzida. No entanto, essa extensão é usada principalmente para gerenciamento de risco e análise de cenário, em vez de precificação. A dinâmica do modelo de dois fatores é explicada, com o primeiro fator representando o nível da curva de rendimentos e o segundo fator representando a assimetria da curva de rendimentos.

O palestrante passa a discutir o modelo gaussiano de Hull-White de dois fatores, que é uma variação do modelo de fator único. Uma comparação entre os dois modelos é apresentada, enfatizando que os significados dos parâmetros podem diferir ao alternar entre eles. A palestra destaca as vantagens do modelo gaussiano de Hull-White de dois fatores em termos de simulação de processos e sua implementação eficiente em simulações de Monte Carlo. A palestra explora a função integral do modelo e sua aplicação na precificação de títulos de cupom zero.

A simulação de curvas de rendimento para determinadas realizações usando o modelo de dois fatores totalmente branco é explicada. A ligação de cupom zero para este modelo tem uma forma analítica fechada e envolve um sistema de processo gaussiano. Simular o modelo gaussiano de dois fatores implica simular dois processos de reversão à média que correspondem à estrutura a termo, empregando expressões para volatilidades e coeficientes de correlação. A palestra diferencia entre os processos X e Y, onde X representa o nível da curva de rendimento e Y representa a inclinação ou inclinação da curva. A correlação entre os dois movimentos brownianos associados a esses processos é negativa, indicando um efeito de rigidez na curva.

A palestra também aprofunda a correlação entre títulos ao aplicar a mesma técnica ao modelo de dois fatores. Ao contrário do modelo de fator único, a correlação entre os rendimentos correspondentes não é igual a um no modelo de dois fatores. Essa descoberta confirma que adicionar um fator adicional ao modelo leva a uma forma de volatilidade implícita mais realista, principalmente ao precificar limites. No entanto, é importante observar que aumentar o número de fatores no modelo adiciona complexidade e dificuldades de calibração. Apesar disso, o modelo de dois fatores gera consistentemente a mesma curva de rendimento, tornando-o uma estrutura AJM (arbitrage-free joint model).

A palestra discute ainda as limitações de incorporar mais fatores no modelo gaussiano. Explica-se que mesmo com um grande número de parâmetros, a flexibilidade em termos de volatilidades implícitas permanece limitada devido à ausência de volatilidade estocástica. A palestra passa a simular caminhos para o modelo de dois fatores, examinando os rendimentos da curva de rendimento implícitos no modelo de dois fatores branco completo com coeficientes de correlação adicionais. Os rendimentos resultantes exibem não apenas uma mudança paralela, mas também refletem o impacto de correlações e dinâmicas. Esse recurso é valioso para fins de gerenciamento de risco. O palestrante conclui esta seção compartilhando o código Python usado para a simulação.

Enfatizando a importância da escolha de técnicas de interpolação adequadas ao modelar curvas de juros, o palestrante destaca que a seleção do método de interpolação pode influenciar significativamente os resultados. As próximas palestras abordarão tópicos como reconstrução de rendimento, o impacto de diferentes interpolações, armadilhas comuns a serem evitadas e métodos para garantir interpolação realista. Além disso, a palestra apresenta o conceito de grade para títulos de cupom zero. É feita uma comparação entre os títulos de cupom zero gerados no mercado e os calculados pelo modelo de Hull-White. Uma simulação de Monte Carlo é realizada, gerando curvas de rendimento para os modelos de fator único e de dois fatores ao longo de um período de dez anos. A palestra termina com uma comparação dos cálculos de rendimento obtidos a partir desses dois modelos.

Em seguida, a palestra se concentra na apresentação dos resultados da simulação para o modelo de dois fatores da dinâmica da curva de juros. Esses resultados são comparados com os do modelo de um fator, bem como com os resultados analíticos derivados do mercado. Fica evidente que o modelo de dois fatores fornece uma representação mais realista e abrangente da dinâmica da curva de juros. Embora a volatilidade geral no modelo de dois fatores seja maior devido ao fator de volatilidade adicional, ela não altera significativamente o quadro geral. A principal conclusão é que a incorporação de um fator extra no modelo gaussiano de dois fatores leva a uma representação muito mais realista da dinâmica do rendimento na simulação de Monte Carlo. Por fim, o palestrante resume os principais aprendizados da palestra, incluindo a resolução do modelo de Hull-White e a relação dos títulos de cupom zero com a função característica, e apresenta brevemente a construção da curva de juros e suas limitações.

Finalizando a palestra, são discutidas as limitações do modelo Cool White. Essas limitações giram principalmente em torno das correlações entre títulos com vencimentos diferentes e a incapacidade do modelo de se calibrar para uma ampla gama de instrumentos no mercado devido ao seu conjunto limitado de parâmetros. Para abordar essas questões, a palestra sugere estender o modelo para uma estrutura de dois fatores, permitindo o relaxamento da hipótese de correlação perfeita entre títulos de cupom zero. A palestra termina com dois exercícios de lição de casa: um envolvendo expectativas sob a medida t forward e outro utilizando transformadas de Laplace para demonstrar certas expectativas.

Ao longo da palestra, fica evidente a importância de entender e selecionar modelos adequados para análise de risco e dinâmica da curva de juros. Embora o modelo Hull-White e suas variações ofereçam insights e ferramentas valiosas, é essencial reconhecer suas limitações e explorar modelos alternativos para enfrentar desafios específicos.

Um desses modelos alternativos introduzidos na palestra é o Modelo do Mercado de Trabalho, que fornece uma solução para a limitação do modelo Hull-White em calibrar toda a curva direta. O Modelo do Mercado de Trabalho permite uma calibração mais abrangente da curva futura e da curva de rendimentos, tornando-o uma escolha adequada para certas aplicações de gerenciamento de risco.

Além disso, a palestra destaca a importância das técnicas de interpolação na modelagem da curva de rendimento. Escolher o método de interpolação correto é crucial para capturar com precisão o comportamento e a forma da curva de rendimento. O palestrante enfatiza que a interpolação não é apenas um detalhe técnico, mas uma arte que requer consideração cuidadosa e compreensão da dinâmica subjacente. Para ilustrar o impacto da interpolação, a palestra oferece uma comparação entre as curvas de juros geradas a partir de dados de mercado e aquelas calculadas pelo modelo Hull-White. O palestrante demonstra como diferentes opções de interpolação podem resultar em formatos e valores variáveis da curva de rendimento. Essa análise ressalta a importância de selecionar um método de interpolação que se alinhe com as características desejadas e o realismo da curva de juros.

À medida que a palestra avança, surge o tópico de simulação de curvas de juros para diferentes cenários. As simulações de Monte Carlo provam ser uma ferramenta valiosa para gerar curvas de rendimento e avaliar os riscos potenciais associados a produtos de taxa de juros. Ao simular vários caminhos para taxas curtas e calcular os títulos de cupom zero para cada caminho, os analistas podem avaliar o valor presente de uma carteira de produtos de taxa de juros em diferentes cenários de mercado.

A palestra termina com uma demonstração do código Python usado para gerar curvas de rendimento. O código mostra a implementação prática dos conceitos discutidos ao longo da palestra, oferecendo aos alunos uma experiência prática e reforçando sua compreensão do assunto.

Em resumo, a palestra fornece uma exploração aprofundada dos modelos de taxa curta, dinâmica da curva de rendimento e suas implicações para a análise de risco. Ele discute as limitações do modelo Hull-White e apresenta modelos alternativos, como o modelo do mercado de trabalho e o modelo gaussiano de dois fatores Hull-White. A importância de selecionar técnicas de interpolação apropriadas e conduzir simulações de Monte Carlo é enfatizada. Por meio de exemplos e demonstrações práticas, a palestra fornece aos alunos o conhecimento e as ferramentas necessárias para modelar e analisar curvas de rendimento de forma eficaz em vários contextos financeiros.

• 00:00:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute a simulação de modelos de taxa curta e sua utilização para medir a dinâmica de uma curva de juros obtida a partir dos modelos. A curva de rendimento é essencialmente uma expectativa de um possível rendimento futuro e se move dinamicamente dependendo das expectativas e percepções do mercado. O experimento envolve observar a dinâmica da taxa composta continuamente para cada realização da taxa curta e gerar curvas de rendimento para cada cenário. Essa simulação pode ajudar a determinar se o modelo de taxa curta é realista ou não, e a curva de juros é guiada pela função theta t. O experimento usa dados de mercado reais para maior precisão.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção da palestra, o palestrante explica como as simulações de taxa de juros podem ser usadas para análise de risco. Gerando curvas de juros para diferentes cenários, pode-se avaliar o valor presente de uma carteira de produtos de taxa de juros. O palestrante demonstra isso por meio de um experimento em que simula vários caminhos para taxas curtas e calcula os títulos de cupom zero para cada caminho. Eles também mostram como as curvas de rendimento geradas usando o modelo full white são, na verdade, apenas um deslocamento paralelo uma da outra, o que é considerado irreal na prática. A palestra termina com uma demonstração do código Python usado para gerar as curvas de rendimento.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute a importância de ter continuum em títulos de cupom zero para o cálculo da função theta. A interpolação também é vital, e o palestrante prefere interpolar na própria taxa em vez do expoente para garantir a estabilidade numérica. A palestra então se aprofunda nas diferentes escolhas para as interpolações e no número de títulos de pontos a serem calculados. Além disso, ele falou sobre a simulação e geração de títulos e rendimentos de cupom zero, enfatizando a importância de garantir que a implementação seja consistente e à prova de balas. Por fim, ele mostra a curva de juros gerada a partir dos dados de mercado e as trajetórias de monte carlo simuladas do modelo mundial, demonstrando uma taxa saudável, mas extremamente baixa.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da aula de Engenharia Financeira, são discutidas as limitações do modelo full white. Embora o modelo seja elegante e permita a calibração de toda a curva de juros, ele não permite a calibração de toda a curva futura, o que é uma limitação para a maioria dos modelos de juros curtos. Para abordar esta questão, a palestra apresenta o Modelo do Mercado de Trabalho, que é adequado para ajudar a abordar a curva futura e a curva de rendimento. Além disso, todo o modelo branco tem problemas com componentes zero perfeitamente correlacionados, o que limita ainda mais sua eficácia.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção da palestra, são discutidas as limitações do modelo de Hull-White de fator único, como a alta correlação entre títulos com vencimentos próximos entre si, mas menor para títulos com vencimentos distantes, impossibilitando para calibrar para toda a estrutura a termo de diferentes taxas de juros. O modelo também é desvantajoso para fins de gerenciamento de risco, pois assume a correlação de um entre títulos de cupom zero e a dinâmica das taxas curtas. Para resolver esses problemas, uma extensão para o modelo Hull-White de dois fatores é apresentada. No entanto, essa extensão não seria usada para precificação, mas sim para gerenciamento de riscos e cenários. A dinâmica do modelo de dois fatores é descrita, onde o primeiro fator representa o nível da curva de rendimento e o segundo fator representa a assimetria do rendimento.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante explica um modelo de dois fatores chamado modelo gaussiano de Hull-White de dois fatores, que é uma variação do modelo de Hull-White de fator único. O palestrante compara os dois modelos e destaca a importância de ter em mente que o significado dos parâmetros pode diferir ao alternar entre os dois modelos. A palestra também discute as vantagens do modelo gaussiano de Hull-White de dois fatores em termos de simulação de processos e sua implementação eficiente em simulações de Monte Carlo. O palestrante então explora a função integral do modelo e como realizar a precificação de títulos de cupom zero.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o palestrante explica como simular curvas de rendimento para determinadas realizações usando o modelo de dois fatores totalmente branco. A ligação de cupom zero para o modelo branco inteiro de dois fatores tem uma forma analítica fechada e envolve um sistema de processo gaussiano. A simulação do modelo gaussiano de dois fatores envolve a simulação de dois processos de reversão à média que correspondem à estrutura a termo, usando algumas expressões para volatilidades e coeficientes de correlação. O processo X está associado ao nível da curva de rendimento, enquanto o processo Y corresponde à inclinação da assimetria da curva. A correlação entre os dois movimentos brownianos é negativa, indicando um enrijecimento da curva.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute a correlação entre títulos ao aplicar a mesma técnica usada na seção anterior ao modelo de dois fatores branco inteiro. A correlação entre os rendimentos correspondentes não é mais igual a um porque estamos lidando com funções diferentes, confirmando que ao adicionar um fator adicional ao modelo, obtemos uma forma de volatilidade implícita mais realista, especialmente ao precificar limites. Além disso, adicionando mais fatores ao modelo, aumentamos sua complexidade e dificuldade de calibração. No entanto, esse modelo sempre gera a mesma curva de juros, tornando-se um framework AJM.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante discute as limitações de adicionar mais fatores ao modelo gaussiano, afirmando que mesmo que existam centenas de parâmetros, a flexibilidade em termos de volatilidades implícitas é limitada devido à falta de volatilidade estocástica. O palestrante então passa a simular caminhos para o modelo de dois fatores, onde eles observam os rendimentos da curva de rendimentos implícitos em um modelo de dois fatores totalmente branco com coeficientes de correlação adicionais. Os rendimentos não são apenas uma mudança paralela, mas mostram o impacto de correlações e dinâmicas, o que é útil para fins de gerenciamento de risco. O palestrante então discute o código Python usado para esta simulação.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, é enfatizada a importância de escolher a interpolação apropriada ao modelar uma curva de juros. O palestrante informa aos alunos que escolher a técnica de interpolação apropriada é uma arte e pode afetar significativamente os resultados. Nas próximas duas palestras, haverá uma discussão sobre reconstrução de rendimento, o impacto de diferentes interpolações, armadilhas a serem evitadas e como garantir que a interpolação seja próxima/realista em algum sentido. A palestra continua com a definição de uma grade para títulos de cupom zero. O palestrante mostra uma comparação entre títulos de cupom zero gerados no mercado e os calculados a partir do modelo de Hull-White. É realizada uma simulação de Monte Carlo de caminhos até dez anos, e uma curva de rentabilidade é gerada por mais quarenta anos no modelo de dois fatores. Uma comparação é feita entre modelos de fator único e modelos de dois fatores em termos de cálculos de rendimento.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante discute os resultados da simulação para um modelo de dois fatores da dinâmica da curva de juros e os compara com um modelo de um fator e os resultados analíticos do mercado. Os resultados mostram que o modelo de dois fatores produz uma representação mais realista e mais rica da dinâmica da curva de juros. O palestrante também observa que a volatilidade geral no modelo de dois fatores é maior devido ao fator de volatilidade extra, mas não altera o quadro geral. A conclusão mais importante é que adicionar um fator extra no modelo gaussiano de dois fatores pode resultar em uma dinâmica muito mais realista dos rendimentos gerados pela simulação de Monte Carlo. Por fim, o palestrante resume os principais aprendizados da palestra, incluindo encontrar soluções para o modelo Hull-White e relacionar títulos de cupom zero à função característica, e apresenta brevemente a construção da curva de rendimento e suas limitações.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção da palestra, são discutidas as limitações do modelo Cool White, especificamente as correlações entre títulos com vencimentos diferentes e o fato de o modelo possuir poucos parâmetros que permitem apenas calibrar alguns poucos instrumentos do mercado . A solução discutida é a extensão para um modelo de dois fatores, que permite a liberação da hipótese de correlação perfeita entre títulos de cupom zero. Dois exercícios são dados como dever de casa, um envolvendo encontrar expectativas sob a medida t forward e outro usando transformadas de Laplace para mostrar certas expectativas.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Aula 5/14, parte 1/2, (Produtos de Taxa de Juros)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 5/14, parte 1/2, (Produtos de Taxa de Juros)

A palestra começa apresentando vários produtos de taxas de juros, como swaps de taxas de juros, contratos de taxas a termo e notas de taxas flutuantes. Esses produtos dependem de volatilidades como floorlets e dísticos para precificação. O palestrante destaca que a taxa a termo LIBOR é um componente fundamental em todos os contratos de taxa de juros.

São discutidos produtos lineares e não lineares, e a palestra aprofunda o conceito da taxa LIBOR a termo composta simples, amplamente utilizada em diversos produtos de taxa de juros, incluindo swaps e derivativos. Essa taxa a termo ajuda a estabelecer expectativas em relação ao período da taxa de juros. É importante notar que até a data de reset, a taxa de juros permanece uma variável aleatória estocástica, mas após a data de reset, ela se torna fixa sem nenhuma incerteza.

O palestrante explora a troca de taxas a termo entre duas contrapartes, levando a acordos de taxas a termo. Os fluxos de caixa nesses contratos são divididos por um mais tau vezes a taxa LIBOR para fins de desconto. A taxa LIBOR a termo é definida em um período específico, e sua definição pode estar relacionada a títulos de cupom zero. A precificação do contrato envolve o uso de uma medida de risco neutro e descontos, com uma taxa fixa e um período de acumulação desempenhando papéis importantes.

É explicado o conceito de ativos negociáveis sob a medida neutra ao risco, incluindo a conta de poupança de dinheiro, sendo martingales. O palestrante demonstra que o valor de um forward pode ser representado pela diferença entre dois títulos e destaca que os forwards são negociados a valor zero, o que implica que a taxa prefixada deve ser igual a esse valor. A palestra também abrange notas de taxa flutuante, que são produtos de taxa de juros fortemente negociados. Inicialmente, os pagamentos para tais contratos são fixados em zero e posteriormente ajustados para levar em conta a conveniência de não precisar pagar nada no início do contrato.

A palestra enfoca as notas de taxa flutuante (FRNs), que são definidas com base nas taxas LIBOR e envolvem cupons como frações do valor nocional multiplicado por períodos acumulados. Como a taxa LIBOR é estocástica, o FRN recebe uma taxa flutuante. O valor do contrato é determinado pela soma de todos os pagamentos, que são individualmente descontados a valor presente usando expectativas na medida neutra ao risco. A medida para FRNs muda para a medida TK a termo, e determinar as expectativas requer encontrar a distribuição conjunta entre a taxa vazia e a taxa LIBOR, o que é crucial para os cálculos de pagamento.

A palestra começa apresentando vários produtos de taxas de juros, como swaps de taxas de juros, contratos de taxas a termo e notas de taxas flutuantes. Esses produtos dependem de volatilidades como floorlets e dísticos para precificação. O palestrante destaca que a taxa a termo LIBOR é um componente fundamental em todos os contratos de taxa de juros.

São discutidos produtos lineares e não lineares, e a palestra aprofunda o conceito da taxa LIBOR a termo composta simples, amplamente utilizada em diversos produtos de taxa de juros, incluindo swaps e derivativos. Essa taxa a termo ajuda a estabelecer expectativas em relação ao período da taxa de juros. É importante notar que até a data de reset, a taxa de juros permanece uma variável aleatória estocástica, mas após a data de reset, ela se torna fixa sem nenhuma incerteza.

O palestrante explora a troca de taxas a termo entre duas contrapartes, levando a acordos de taxas a termo. Os fluxos de caixa nesses contratos são divididos por um mais tau vezes a taxa LIBOR para fins de desconto. A taxa LIBOR a termo é definida em um período específico, e sua definição pode estar relacionada a títulos de cupom zero. A precificação do contrato envolve o uso de uma medida de risco neutro e descontos, com uma taxa fixa e um período de acumulação desempenhando papéis importantes.

É explicado o conceito de ativos negociáveis sob a medida neutra ao risco, incluindo a conta de poupança de dinheiro, sendo martingales. O palestrante demonstra que o valor de um forward pode ser representado pela diferença entre dois títulos e destaca que os forwards são negociados a valor zero, o que implica que a taxa prefixada deve ser igual a esse valor. A palestra também abrange notas de taxa flutuante, que são produtos de taxa de juros fortemente negociados. Inicialmente, os pagamentos para tais contratos são fixados em zero e posteriormente ajustados para levar em conta a conveniência de não precisar pagar nada no início do contrato.

A palestra enfoca as notas de taxa flutuante (FRNs), que são definidas com base nas taxas LIBOR e envolvem cupons como frações do valor nocional multiplicado por períodos acumulados. Como a taxa LIBOR é estocástica, o FRN recebe uma taxa flutuante. O valor do contrato é determinado pela soma de todos os pagamentos, que são individualmente descontados a valor presente usando expectativas na medida neutra ao risco. A medida para FRNs muda para a medida TK a termo, e determinar as expectativas requer encontrar a distribuição conjunta entre a taxa vazia e a taxa LIBOR, o que é crucial para os cálculos de pagamento.

A palestra aborda o desalinhamento entre datas de pagamento e datas de medição e destaca a necessidade de avaliação correta. A medida corresponde ao numerador em uma programação de pagamento e quaisquer correções ou ajustes são necessários se não alinhar corretamente. A Libor com pagamento no tempo tk sob a medida a termo tk é uma martingale, permitindo a precificação de notas flutuantes. A equação de precificação envolve a expectativa da taxa Libor em um determinado período, e o contrato é denominado swap, onde uma parte recebe o pagamento enquanto a outra paga com base em taxas pré-fixadas.

Os contratos de swap são discutidos em detalhes, envolvendo a troca de fluxos de caixa durante um período especificado. Swaps são comumente usados para cobrir riscos no mercado de hipotecas. Existem duas opções: pagador de swap, onde um indivíduo paga uma taxa fixa e recebe uma taxa flutuante, e receptor de swap, onde um indivíduo recebe uma taxa fixa e paga uma taxa flutuante. O valor nocional pode ser determinístico, estocástico ou progressivo, e a frequência de pagamento pode variar. A parte fixa permanece constante, enquanto a parte flutuante carrega incerteza relacionada à dinâmica da taxa LIBOR.

A palestra enfatiza a importância do hedging na engenharia financeira, principalmente em contratos com pagamentos estocásticos. A cobertura é crucial para compensar perdas potenciais devido a flutuações nos ativos subjacentes quando uma instituição financeira tem obrigações de receber pagamentos de taxas fixas ou flutuantes.

O palestrante continua explicando como o valor de um contrato de swap pode ser calculado utilizando a soma dos períodos acumulados sobre títulos de cupom zero e estabelecendo uma relação linear entre a taxa Libor e o preço de exercício. Esse cálculo fornece informações sobre o valor de um swap e destaca o papel dos títulos de cupom zero no hedge.

A palestra enfatiza ainda que o valor de um swap depende do primeiro e do último pagamento do título e pode ser efetivamente protegido com o primeiro e o último título de cupom zero. O fator de anuidade é um componente crucial ao lidar com swaps, pois atua como um ativo negociável. Os swaps de taxa de juros são considerados instrumentos perfeitos que permitem que duas partes protejam suas exposições específicas, e os bancos podem utilizá-los para proteger empréstimos de indivíduos, resultando em noções de valor significativamente grandes.

A palestra muda seu foco especificamente para swaps de taxa de juros, observando que eles são frequentemente considerados em nível de portfólio, e o valor inicial é normalmente definido como zero, permitindo um acordo gratuito. A taxa de swap, que é o strike que torna o valor do swap igual a zero, pode ser expressa como uma soma ponderada das taxas Libor. Os swaps básicos de taxa de juros podem ser precificados sem fazer suposições de modelo subjacentes, utilizando instrumentos de taxa de juros disponíveis no mercado e mapeando-os para uma curva de rendimento. A construção de uma curva de juros com base em instrumentos de mercado será discutida em uma próxima palestra.

O palestrante aprofunda os diferentes tipos de nocionais em um swap, que podem ser dependentes do tempo, determinados por instrumentos de mercado ou aleatórios. Além disso, são explicadas as condições necessárias para um martingale, que incluem o uso de ativos negociados ou combinações lineares deles. Ressalta-se que se for empregada uma fórmula não linear, como o quadrado do ativo, a relação entre a medida e o ativo não pode ser considerada um martingale. A aplicação do lema de Ito à Libor ao quadrado demonstra que L ao quadrado não é um martingale sob a medida D forward devido à presença de um efeito de deriva.

A palestra avança para explicar como avaliar um swap usando uma curva de rendimento e o modelo Hulument. Uma especificação da curva de rendimento é fornecida, e swaps para diferentes strikes são gerados usando este modelo. O valor de um swap muda linearmente com o strike, e a taxa de swap é determinada usando o algoritmo de Newton-Raphson. A palestra conclui observando que se o par swap for igual a 0,03808, então o valor do swap está próximo de zero, indicando que o preço de exercício para o qual o valor do swap é zero foi encontrado.

Esta seção da palestra fornece uma visão abrangente dos produtos de taxas de juros, com foco em swaps de taxas de juros. Abrange vários tópicos, incluindo a precificação de swaps, estratégias de hedge, o papel dos títulos de cupom zero e a avaliação de swaps usando curvas de rendimento. Ao compreender esses conceitos, os alunos obtêm informações valiosas sobre engenharia financeira e cálculo de valores de contratos de swap.

• 00:00:00 Nesta seção do curso de engenharia financeira, o palestrante apresenta produtos de taxas de juros, como swaps de taxas de juros, contratos de taxas a termo e nós de taxas flutuantes. A palestra também discute a precificação desses produtos que dependem de volatilidades como floorlets e dísticos. A palestra começa com a definição da taxa a termo LIBOR que será utilizada em todos os contratos do mundo das taxas de juros. A palestra também fala sobre produtos lineares e não lineares. Discutindo ainda mais a taxa a termo composta simples e como ela fornece motivação para a precificação de um acordo de taxa a termo. O palestrante termina a seção com a introdução de exercícios que darão mais informações sobre os materiais abordados na palestra.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante discute como calcular o valor atual de uma transação de fluxo de caixa e explica que o valor é obtido descontando todos os fluxos de caixa para a data de hoje. A taxa de exercício justa ou taxa justa para empréstimos interbancários com data de negociação é definida como uma taxa a termo, que é uma taxa durante um determinado período de tempo, relacionada a um fluxo de caixa específico. O palestrante destaca a importância de entender essa construção, pois ela é fundamental na engenharia financeira. O palestrante explica que a taxa de exercício justa ou taxa justa k é escolhida de forma que o valor atual do contrato seja igual a zero.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, aprendemos sobre o instrumento fundamental, a taxa LIBOR composta simples. É um bloco de construção amplamente utilizado em todos os tipos de produtos de taxas de juros diferentes, uma vez que falamos de swaps e derivativos de taxas de juros. Essa taxa a termo ajuda a definir as expectativas ao longo do período da taxa de juros. É importante observar que até o momento da redefinição (a data de pagamento), a taxa de juros ainda é uma variável aleatória estocástica, mas após a data da redefinição ela é fixa e não há incerteza.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante discute o conceito de troca de taxas a termo entre duas contrapartes. Eles podem concordar em trocar uma taxa flutuante por uma taxa de exercício fixa no futuro, levando a acordos de taxa futura. O contrato especifica os fluxos de caixa divididos por um mais tau k libor tk menos um tk menos um dk, o que representa um desconto do fluxo de caixa. A taxa libor a termo é definida no período tk menos um a tk, e essa definição pode ser relacionada a títulos de cupom zero. Para precificar o acordo, eles usam uma medida de risco neutro e desconto, levando a um título de cupom um menos zero tk menos um tk dividido pela conta de poupança dk menos um, bem como uma taxa fixa k e o período acumulado.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante explica como os ativos negociáveis sob a medida de risco neutro, incluindo a conta de poupança, são martingale. Mostram que o valor de um forward equivale à diferença entre dois títulos e como as fraudes são negociadas a valor zero, implicando que a taxa prefixada deve ser igual a esse valor. Eles também discutem o conceito de uma nota de taxa flutuante, que é outro produto de taxa de juros fortemente negociado. Por fim, o palestrante fala sobre como, inicialmente, os pagamentos de tais contratos seriam fixados em zero, mas posteriormente seriam ajustados para compensar a conveniência de não precisar pagar nada no início do contrato.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, aprendemos sobre o FRN (floating rate note), que é definido com base nas taxas LIBOR e é um instrumento em que cada cupom é definido como uma fração do valor nocional vezes os períodos acumulados. O FRN recebe uma taxa flutuante porque a taxa LIBOR é estocástica e não fixa. O valor do contrato é definido como a soma de todos esses pagamentos para cada data, e cada pagamento individual é descontado a valor presente e determinado por uma expectativa na medida neutra ao risco. A medida para o FRN muda para a medida TK forward, e precisamos encontrar a distribuição conjunta entre a taxa vazia e a LIBOR para determinar as expectativas, mas corresponde ao pagamento da biblioteca, que é crucial.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção da palestra, é abordado o tema do desalinhamento entre a data de pagamento e a data de medição, com implicações que precisam ser levadas em consideração na hora de avaliar corretamente. A medida corresponde ao numerador em um cronograma de pagamento e, caso não corresponda, podem ser necessárias correções e ajustes. A Libor com pagamento no tempo tk sob a medida a termo tk é uma martingale, o que significa que pode ser aplicada para precificar notas de taxa flutuante. A equação de precificação pode ser representada como a expectativa da taxa Libor ao longo de um período de tempo, e o contrato é referido como um swap em que uma parte recebe o pagamento enquanto a outra paga com base em taxas fixas.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, aprendemos sobre os contratos de swap, que envolvem a troca de fluxos de caixa durante um período de tempo e são comumente usados na cobertura de riscos no mercado de hipotecas. Os contratos de swap têm duas opções: pagador de swap, onde o indivíduo paga uma taxa fixa e recebe uma taxa flutuante, e receptor de swap, onde o indivíduo recebe uma taxa fixa e paga uma taxa flutuante. O valor nocional pode ser determinístico, estocástico ou decair no tempo, e a frequência dos pagamentos também pode variar. A parte fixa é sempre a mesma e a parte flutuante envolve alguma incerteza relacionada à dinâmica da taxa da biblioteca.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o palestrante aborda a importância do hedging na engenharia financeira, principalmente em contratos com pagamentos estocásticos. Ele explica que, se uma instituição financeira tem obrigação de receber pagamentos com taxas fixas ou flutuantes, é fundamental contrabalançar a outra parte dos pagamentos com um hedge no mercado para compensar eventuais perdas decorrentes de flutuações nos ativos subjacentes. Adicionalmente, o conferencista refere que os bancos podem obter lucro através de um encargo adicional sobre o justo valor de um contrato de swap, que compensa os custos associados à extinção da hipoteca e à cobertura dos riscos. O palestrante também explica como o valor de um contrato de swap pode ser calculado a partir da soma dos prazos acumulados sobre títulos de cupom zero e uma relação linear entre a taxa Libor e o preço de exercício. No geral, a seção enfatiza a importância do hedge na engenharia financeira e fornece informações sobre o cálculo dos valores dos contratos de swap.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, a palestra explica o valor de um swap e como ele é acessível através do valor de títulos de cupom zero. O valor de um swap depende do primeiro e do último pagamento do título e pode ser significativamente coberto com o primeiro e o último título de cupom zero. O fator de anuidade é uma unidade essencial a ser lembrada ao lidar com swaps porque atua como um ativo negociável. Além disso, os swaps de taxa de juros são considerados instrumentos perfeitos que podem ajudar duas partes a proteger sua exposição específica, e os bancos podem usá-los para proteger empréstimos de indivíduos que, quando coletados, criam noções de valor significativamente grandes.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, a palestra se concentra em produtos de taxa de juros, especificamente swaps. Ele explica que os swaps são frequentemente considerados em um nível de portfólio maior, e o valor inicial é normalmente escolhido para ser zero, permitindo uma negociação gratuita. Uma taxa de swap é definida como o strike que torna o valor do swap igual a zero, e isso pode ser expresso como uma soma ponderada das taxas Libor. A precificação de swaps básicos de taxa de juros pode ser feita sem pressupostos de modelo subjacentes, usando instrumentos de taxa de juros disponíveis no mercado e mapeando-os para uma curva de rendimento. A palestra termina observando que a construção de uma curva de rendimentos dados instrumentos de mercado será discutida mais adiante em uma palestra de acompanhamento.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante discute os diferentes tipos de nocionais em um swap, que podem ser dependentes do tempo, determinados por instrumentos de mercado, ou aleatórios. Ele também fala sobre as condições necessárias para martingale, que incluem o uso de ativos negociados ou combinações lineares deles. Se o quadrado de um ativo ou outra fórmula não linear for usado, a relação entre a medida e o ativo não pode ser considerada um martingale. Adicionalmente, a aplicação do lema de Ito à Libor ao quadrado demonstra que L ao quadrado não é um martingale sob a medida D forward devido à existência de um efeito de deriva.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, discutimos como avaliar um swap usando uma curva de rendimento e o modelo Hulument. O código inclui a especificação de uma curva de juros e gera swaps para diferentes strikes. O valor de um swap muda linearmente no strike, e a taxa de swap é encontrada usando o algoritmo de Newton-Raphson. O resultado mostra que se o par swap for igual a 0,038 08, então o valor do swap é próximo de zero, o que significa que encontramos o strike para o qual o valor do swap é zero.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Aula 5/14, parte 2/2, (Produtos de Taxa de Juros)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 5/14, parte 2/2, (Produtos de Taxa de Juros)

Nesta palestra, o foco é a precificação de derivativos que envolvem volatilidade. O palestrante começa abordando o conceito de mudanças de medida para taxas de juros, particularmente no contexto do modelo Hull-White. Eles derivam a derivada de Rhodom/Nichodemus e aplicam o teorema de Girsanov para calcular as mudanças de medida. Essa compreensão das mudanças de medida é crucial para precificar as opções de produtos de taxa de juros.

Em seguida, a palestra explora a dinâmica dos títulos de cupom zero sob diferentes medidas usando a estrutura AJM. O palestrante discute como essas dinâmicas se relacionam com a precificação das opções desses títulos. Eles destacam a substituição da taxa a termo instantânea pela integral e dz na expressão da dinâmica de um título de cupom zero, fornecendo uma expressão final derivada. A palestra também aprofunda a dinâmica dos títulos de cupom zero sob o modelo Hull-White e a medida T-forward. A importância de alterar a medida, particularmente no desconto estocástico, é enfatizada para evitar cálculos complexos.

O palestrante apresenta os derivados Kirizanov, Loefler e Radon-Nikodym como ferramentas para alternar entre diferentes medidas. Eles explicam como encontrar a dinâmica do título e da conta de poupança aplicando o lema de Ito à derivada Radon-Nikodym. Isso leva ao teorema de Girsanov, que estabelece a relação entre a medida T-forward e a medida neutra ao risco e destaca o desvio adicional ao alternar entre as medidas. Substituindo o movimento browniano sob a medida neutra ao risco pela medida T-forward, a dinâmica do modelo Hull-White é derivada.

A palestra então apresenta um modelo de medida de taxa curta representado por lambda e uma função teta dependente da maturidade. Eles definem mu theta com dois argumentos, small t e capital mt, e aplicam o teorema de Girsanov para mudar a medida de risco neutro para medida T-forward. O foco muda para opções de precificação em títulos de cupom zero, exigindo uma mudança de medida de risco neutro para medida zero a termo. O palestrante discute a dinâmica do título de cupom zero e sua distribuição sob a medida T-forward, fornecendo uma expressão para o título e ajustando o preço de exercício a uma função constante dependente do tempo. Eles também discutem a distribuição do processo r sob esta medida.

Seguindo em frente, a palestra explica como a distribuição de r sob a medida T-forward pode ser resolvida usando o modelo Black-Scholes com parâmetros ajustados. A alteração da medida permite a precificação analítica de títulos de cupom zero usando funções de distribuição cumulativa normal e soluções de forma fechada. O palestrante realiza um experimento para precificar um título de cupom zero e compara a expressão analítica com uma simulação de Monte Carlo usando a discretização de Euler padrão. O código para a simulação é fornecido e o cálculo dos preços das opções para diferentes exercícios é discutido.

A palestra enfatiza a precificação de opções do tipo europeu sobre títulos de cupom zero, destacando sua importância, pois estão intimamente ligadas à precificação de opções sobre uma taxa LIBOR a termo. Duas abordagens para precificar essas opções são explicadas: uma baseada no modelo full light e outra impondo diretamente uma distribuição ou processo estocástico na taxa LIBOR. A fórmula para precificar as opções de compra europeias ou dísticos é fornecida, e o método para alterar a medida de risco neutro para a medida T-forward é explicado. O foco permanece nas opções de compra, com a menção de que uma opção de venda ou piso sobre ela será dado como um exercício de casa.

Além disso, a dinâmica e precificação das taxas LIBOR são discutidas. A palestra reconhece que a taxa LIBOR é um martingale sob a medida dada, permitindo a suposição de dinâmica sem deriva. No entanto, usar uma distribuição log-normal para representar as taxas LIBOR apresenta desafios, como a possibilidade de taxas negativas, especialmente na precificação de derivativos exóticos. A calibração para dados de mercado, particularmente usando taxas de teto e piso, é considerada necessária, e o teto da taxa de juros é descrito como um meio de fornecer seguro para um detentor de um empréstimo com taxa flutuante.

A palestra prossegue discutindo a precificação dos caplets, que podem ser decompostos em contratos básicos conhecidos como dísticos. O palestrante observa que o preço dos caplets usando uma distribuição log-normal apresenta problemas devido ao potencial de taxas de juros negativas. Para resolver isso, um parâmetro de deslocamento é introduzido para impor a distribuição. A precificação de um caplet usando um modelo subjacente é então explicada, que está intimamente relacionada à precificação de uma opção sobre um título de cupom zero. Ao substituir a definição de uma taxa LIBOR em termos de componentes zero, a equação de precificação é simplificada, resultando na precificação de uma opção de compra em um título de cupom zero com um preço de exercício ligeiramente diferente. A palestra termina com uma breve apresentação do código de precificação, que envolve uma curva de juros simplificada.

Além disso, o palestrante se aprofunda na precificação de opções de venda sobre títulos de cupom zero, também conhecidos como "couplets", e enfatiza a importância de ajustar não apenas o preço de exercício, mas também o nocional na precificação. Eles reconhecem a estreita correspondência entre a simulação de Monte Carlo e a precificação teórica de opções sobre títulos de cupom zero e curvas de rendimento. No entanto, eles destacam a importância dos parâmetros do modelo de mercado, como reversão à média e volatilidade, na formação de superfícies de volatilidade implícita. Eles observam que, embora esses parâmetros possam ter um impacto limitado no modelo Hull-White, eles não podem gerar um sorriso de volatilidade implícita, apenas uma inclinação. Por fim, o palestrante resume os dois principais blocos abordados na palestra, que incluem produtos de taxa de juros simples e precificação de opções simples no contexto do modelo Hull-White.

No final da palestra, o instrutor informa aos alunos que o curso se concentrará exclusivamente em retornos do tipo europeu, enquanto derivativos mais exóticos serão abordados em um curso subsequente. O dever de casa é atribuído, incluindo o preço de uma opção mínima e a derivação da fórmula de Black para uma nova variante da distribuição log-normal deslocada. Os alunos são instruídos a comparar os resultados obtidos da fórmula de Black com seus resultados numéricos e introduzir um deslocamento na equação diferencial estocástica log-normal para refletir os ajustes necessários.

A palestra fornece uma exploração aprofundada de derivativos de preços envolvendo volatilidade, focando especificamente na dinâmica e precificação de títulos de cupom zero, opções sobre esses títulos e taxas LIBOR. O conceito de mudanças de medida, o uso de derivados de Radon-Nikodym e a aplicação do teorema de Girsanov são abordados para facilitar esses cálculos de preços. A palestra enfatiza a importância de ajustar medidas, preços de exercício e valores nocionais, destacando o impacto dos parâmetros do modelo de mercado nas superfícies de volatilidade implícita.

• 00:00:00 Nesta seção do curso de engenharia financeira, o foco está na precificação de derivativos que envolvem volatilidade. A palestra aborda o conceito de mudanças de medida para taxas de juros, particularmente para o modelo de Hull-White, onde a derivada de Rhodom/Nichodemus é derivada, e o teorema de Girsanov é aplicado para calcular as mudanças de medida. A palestra passa a discutir títulos de cupom zero e sua dinâmica sob diferentes medidas, usando a estrutura AJM, e como isso se relaciona com a precificação de opções sobre esses títulos. A palestra termina discutindo produtos lineares e não lineares e seus observáveis.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, a dinâmica de um título de cupom zero é discutida, que é expressa como o rd. A taxa de avanço instantânea é substituída pela integral e pelo dz, e a expressão final é derivada. A dinâmica do título de cupom zero sob o modelo Hull-White é então calculada. A dinâmica do título de cupom zero sob a medida T-forward também é discutida, com ênfase na importância de alterar a medida, especialmente no desconto estocástico. Ao alterar a medida, a integral dupla sobre a densidade conjunta da integral e st pode ser evitada ao encontrar a expressão para a expectativa.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute o uso da derivada de Kirizanov, Loefler e Radon-Nikodym para alternar entre diferentes medidas. A derivada aleatória de Nikodym é usada para encontrar a dinâmica do título e da conta de poupança de dinheiro. Aplicando o lema de Ito, a dinâmica da derivada aleatória de Nikodym é encontrada, levando ao teorema de Girsanov, que nos diz a relação entre a medida T forward e a medida neutra ao risco e o desvio extra que temos se alternarmos entre as medidas . Por fim, o falante substitui o movimento browniano sob a medida neutra ao risco pela medida T direta, levando à dinâmica do modelo Hull-White.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da palestra sobre produtos de taxa de juros em um curso de engenharia financeira, o palestrante apresenta um modelo de taxa de curto prazo dado por lambda e uma função teta que depende do vencimento. Eles definem mu theta com dois argumentos, small t e capital mt, e aplicam um teorema de Girizan para mudar a medida de risco neutro para a medida t forward. O foco então se volta para a precificação de uma opção em um título de cupom zero, o que envolve a mudança da medida de risco neutro para a medida a termo zero. O palestrante discute a dinâmica do título de cupom zero e sua distribuição sob a medida t forward, apresentando uma expressão para o título de cupom zero e ajustando k a uma função constante dependente do tempo. A distribuição para o processo r sob esta medida também é discutida.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a distribuição de "r" sob a medida t forward e como ela pode ser resolvida usando o modelo de Black-Scholes com parâmetros ajustados. Eles explicam que, alterando a medida, a precificação de um título de cupom zero pode ser realizada analiticamente usando funções de distribuição cumulativa normal com soluções de forma fechada. O palestrante também realiza um experimento para precificar um título de cupom zero e verifica sua expressão analítica em relação à simulação de Monte Carlo usando a discretização padrão de Euler. Eles fornecem o código para a simulação e discutem o cálculo do preço da opção para diferentes exercícios.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o palestrante discute a precificação de opções do tipo europeu em títulos de cupom zero e a importância de entender sua precificação, pois estão intimamente ligadas à precificação de opções em uma taxa a termo Libor. O palestrante explica as duas abordagens de precificação dessas opções, uma baseada no modelo full light e a outra impondo diretamente uma distribuição ou um processo estocástico sobre a taxa passível. A fórmula para precificar as opções de compra europeias ou dísticos é fornecida e o método para alterar a medida da medida neutra ao risco para a medida t forward é explicado. O palestrante se concentra nas opções de compra e menciona que uma opção de venda ou piso sobre ela será dado como um exercício de casa.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção da palestra, o foco está na dinâmica e precificação das taxas LIBOR. Como a taxa LIBOR é um martingale sob a medida dada, pode-se supor uma dinâmica sem deriva para o processo. A distribuição log normal é utilizada para representar as taxas LIBOR, que apresenta alguns problemas como a possibilidade de taxas negativas, principalmente na precificação de derivativos exóticos que dependem das taxas LIBOR. A calibração para dados de mercado também é necessária, o que pode ser feito usando taxas de teto e piso como uma combinação linear de dísticos individuais. O limite da taxa de juros é projetado para fornecer seguro para um titular com um empréstimo a uma taxa flutuante.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute a precificação de cápsulas, que podem ser decompostas em contratos básicos chamados dísticos. O palestrante explica que, em vez de usar uma distribuição log-normal para caplets de preços, o que é problemático para taxas de juros negativas, um parâmetro de deslocamento deve ser imposto à distribuição. O palestrante então discute como precificar um caplet usando um modelo subjacente, que está relacionado ao preço de uma opção sobre um título de cupom zero. A equação de precificação é simplificada pela substituição da definição de uma taxa libor em termos de componentes zero, resultando na precificação de uma opção de compra em um título de cupom zero com um preço de exercício ligeiramente diferente. O palestrante conclui com uma breve apresentação do código de precificação, que envolve uma curva de juros simplificada.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a precificação de uma opção de venda sobre um título de cupom zero, também conhecido como "couplet", e enfatiza a importância de ajustar não apenas o preço de exercício, mas também o nocional quando preços. O palestrante observa que, embora haja uma correspondência perfeita entre a simulação de Monte Carlo e a precificação teórica de opções sobre títulos de cupom zero e curva de rendimento, é importante ter em mente o impacto dos parâmetros do modelo de mercado, como reversão à média e volatilidade na forma implícita superfícies de volatilidade. No entanto, o palestrante observa que quando se trata de todo o modelo branco, o impacto desses parâmetros pode ser limitado e não pode gerar um sorriso de volatilidade implícita, apenas enviesado. Por fim, o palestrante resume os dois blocos abordados na palestra, que incluem produtos de taxa de juros simples e precificação de opções simples no contexto do modelo todo branco.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o instrutor explica que o curso abordará apenas pagamentos do tipo europeu, enquanto derivativos mais exóticos serão discutidos em um curso de acompanhamento. O dever de casa é atribuído, o que inclui o preço de uma opção mínima e a derivação da fórmula de Black para uma nova variante da distribuição normal de logaritmo deslocado. Os alunos devem comparar os resultados obtidos da fórmula de Black com seus resultados numéricos e introduzir um deslocamento na equação diferencial estocástica log normal.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Aula 6/14, parte 1/3, (Construção da Curva de Rendimento e Multi-Curvas)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 6/14, parte 1/3, (Construção da Curva de Rendimento e Multi-Curvas)

Continuando com o tópico de curvas de rendimento, a palestra enfatiza a importância de construir uma curva de rendimento precisa, que serve como um componente vital na avaliação de derivativos de taxas de juros e análises financeiras. O instrutor explica que as curvas de rendimento são essenciais para descontar fluxos de caixa futuros, determinar valores presentes de pagamentos, avaliar empresas, entre outras aplicações. A construção de uma curva de rendimento normalmente depende de instrumentos líquidos, que introduzem menos incerteza no processo de avaliação. Do ponto de vista matemático, as curvas de rendimento mapeiam as cotações de mercado desses instrumentos líquidos.

Seguindo em frente, o instrutor fornece mais informações sobre a natureza das curvas de rendimento. Eles explicam que as curvas de rendimento conectam vários instrumentos de mercado no mundo das taxas de juros e representam expectativas de taxas futuras. Embora a curva de rendimentos possa parecer estocástica quando observada no dia a dia, seu preço é determinístico na perspectiva de hoje com base nas expectativas. A construção de uma curva de rendimento envolve a seleção de um conjunto discreto de instrumentos líquidos e a interpolação para conectar os pontos da espinha. O instrutor enfatiza a importância de escolher instrumentos de qualidade semelhante e observa que o número de instrumentos pode mudar com o tempo. Eles destacam que a curva de rendimento serve não apenas como uma ferramenta matemática, mas também oferece informações econômicas valiosas, atuando como um barômetro das condições atuais do mercado.

A palestra se aprofunda na construção e interpretação das curvas de juros. O instrutor discute como as curvas de rendimento refletem a alocação do dinheiro no mercado, se ele é investido em ações ou títulos, e se os títulos são preferidos, se são de longo ou curto prazo. As curvas de rendimento fornecem informações sobre as expectativas dos investidores sobre as taxas de juros futuras e suas atitudes em relação ao risco. No entanto, o instrutor adverte que as curvas de rendimento têm limitações para prever com precisão o futuro devido a fatores como intervenções de bancos centrais e investimentos externos. Portanto, construir uma curva de juros meticulosamente e considerar as mudanças que ocorrem ao longo de muitos anos é crucial para garantir sua precisão.

A estrutura a termo das taxas de juros também é explicada em relação às curvas de juros. O instrutor destaca que as curvas de rentabilidade representam a relação temporal entre rentabilidades de diferentes vencimentos e dependem da economia local. Eles mencionam que a curva de títulos do Tesouro dos EUA tem uma importância significativa como um indicador econômico global devido à posição dos EUA como uma das maiores economias e ao uso do dólar como moeda de reserva. Os títulos do governo, como os títulos do Tesouro dos EUA, são normalmente considerados livres de inadimplência quando emitidos na moeda local, enquanto os títulos emitidos em moedas estrangeiras apresentam um risco maior de inadimplência. O conceito de prêmio de risco também é discutido como um fator que influencia o rendimento ou as taxas de juros.

A palestra explora várias formas de curvas de rendimento e suas implicações para a economia. Uma forma normal padrão indica que os rendimentos de longo prazo são significativamente maiores do que os rendimentos de curto prazo, refletindo uma situação econômica normal. Em contraste, uma curva de rendimento invertida, onde os rendimentos de longo prazo diminuem enquanto os rendimentos de curto prazo permanecem estáveis, pode significar um cenário prejudicial que pode criar desafios para bancos e pensões. O instrutor fornece exemplos de diferentes formas de curva de rendimento e explica como elas podem afetar o mercado.

O impacto da inflação nos rendimentos é discutido, destacando que um aumento nas expectativas de inflação leva a rendimentos mais altos, pois os investidores exigem compensação pelo retorno real negativo de seus investimentos. A palestra também aborda os conceitos de inclinação e achatamento da curva de juros devido a mudanças na economia. O spread entre um swap de vencimento constante de 10 anos e um swap de 2 anos pode indicar a direção de uma curva de inclinação, enquanto a inversão da curva de rendimento significa uma curva de achatamento. Exemplos gráficos são usados para demonstrar como essas diferentes curvas e spreads influenciaram a economia no passado.

A palestra apresenta o conceito de controle de rendimento e sua influência nas taxas de juros. O controle de rendimento refere-se à capacidade do banco central de influenciar a curva de rendimento ajustando as taxas de juros para atingir metas relacionadas à inflação e ao emprego. Os bancos centrais podem comprar ou vender títulos para influenciar a demanda e estimular a economia. No entanto, essas ações também trazem riscos e limitações, especialmente se as pressões inflacionárias aumentarem. O instrutor explica que a curva de juros é definida matematicamente por pontos spline e correspondentes fatores de desconto, que representam expectativas de taxas curtas.

Seguindo em frente, o instrutor se aprofunda na construção da curva de rendimento e multicurvas na engenharia financeira. Eles explicam que a curva é construída combinando pontos espinhosos obtidos no mercado com uma rotina de interpolação. Vários requisitos devem ser atendidos para uma curva de rendimento bem construída, incluindo precificar a curva usando os instrumentos selecionados, garantindo taxas futuras contínuas e empregando um método de interpolação local para cobertura precisa. A construção da curva também envolve a definição de um problema de otimização e a determinação do vetor de títulos de cupom zero como pontos espinhosos em diferentes vencimentos.

O professor fornece uma explicação passo a passo de como construir uma curva de juros e multicurvas. O processo envolve encontrar um vetor de Valor Presente de um contrato (PVI) que depende de todos os pontos espinhosos da curva. O objetivo é garantir que a cotação de mercado corresponda ao preço da curva para todos os instrumentos utilizados na construção da curva. Para resolver este problema, uma técnica de otimização usando a norma L é empregada. O professor ilustra como resolver o problema em casos unidimensionais usando o algoritmo de Newton-Raphson, que minimiza a diferença absoluta para chegar a uma solução ótima. Em seguida, o palestrante discute o processo de iteração usado para encontrar o sigma ideal para um modelo de Black-Scholes. Ele explica os critérios de parada do modelo e os requisitos para alcançar a convergência. O palestrante enfatiza a interdependência dos pontos da espinha na curva e destaca a necessidade de iterar para vários golpes para construir um sorriso ou inclinação de volatilidade implícita. A construção das técnicas de interpolação e otimização necessárias para este processo, incluindo a construção de um jacobiano, também são explicadas.

A importância da interpolação na construção de várias curvas, particularmente a curva de rendimento e o sorriso de volatilidade implícita, é enfatizada pelo palestrante. Eles observam que, embora a interpolação nas curvas de rendimento seja relativamente direta devido às condições de continuidade e diferenciabilidade, selecionar o método de interpolação apropriado é ainda mais crítico para o sorriso de volatilidade implícita, pois uma escolha incorreta pode introduzir arbitragem de preço significativa. O palestrante destaca que a interpolação desempenha um papel crucial em todos os casos, e atenção cuidadosa aos detalhes é necessária ao escolher a rotina de interpolação apropriada.

A palestra fornece uma cobertura abrangente da construção e interpretação das curvas de rendimento. Ele destaca sua importância na avaliação de derivativos de taxas de juros e na compreensão da dinâmica do mercado. A palestra também explora a formulação matemática, o impacto de diferentes formas de curva na economia e o papel do controle de rendimento. Além disso, ele se aprofunda na construção de curvas de rendimento e multicurvas, discutindo técnicas de otimização, opções de interpolação e suas implicações na engenharia financeira.

• 00:00:00 Nesta seção do Curso de Engenharia Financeira, o foco está na construção de uma curva de rendimento, que é um dos elementos mais significativos nas avaliações de derivativos de taxas de juros e em finanças em geral, usadas em descontos, precificação e avaliação fluxos de caixa futuros. A seção cobre a explicação econômica das curvas de rendimento, como interpretar suas formas e sua relação com diferentes status econômicos. Em seguida, o curso passa para a formulação matemática, que é crucial na construção e calibração de curvas com base nas cotações de mercado de swaps. A rotina de otimização é definida com base no Newton Raphson, e é implementada em Python. A seção também aborda o impacto de diferentes interpolações nas estratégias de hedge e a extensão da construção de curvas múltiplas que podem incluir informações sobre a possibilidade de inadimplência da contraparte e não pagamento de suas obrigações.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, são discutidas a importância e a construção das curvas de juros. As curvas de rendimento são usadas para descontar fluxos de caixa futuros, com os fatores de desconto calculados usando a curva sendo usados para determinar o valor presente de pagamentos futuros, avaliações de empresas e muito mais. A construção de uma curva de rendimento é tipicamente baseada em instrumentos líquidos, que introduzem menos incerteza. Finalmente, do ponto de vista matemático, as curvas de rendimento mapeiam cotações de mercado de instrumentos líquidos.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o instrutor explica que a curva de juros conecta os diferentes instrumentos de mercado no mundo das taxas de juros e a solução representa expectativas de taxas futuras. A curva de rendimento não é baixa e parece estocástica porque é observada dia a dia, mas da perspectiva de hoje, o preço é determinístico com base nas expectativas. A curva de rendimento é construída a partir de um conjunto discreto de instrumentos líquidos e interpolada para conectar os pontos da espinha. O instrutor enfatiza a importância de escolher os instrumentos certos com base na qualidade semelhante e observa que o número de instrumentos muda com o tempo. A curva de rendimentos não é apenas uma ferramenta matemática, mas também possui informações econômicas importantes e é considerada um barômetro dos mercados atuais.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute a construção da curva de rendimentos e sua importância para refletir onde está o dinheiro no mercado, e se ele está investido em ações ou títulos, e se títulos, se comprados - prazo ou curto prazo. A curva de rendimento mostra as expectativas dos investidores sobre as taxas de juros futuras e as formas da curva refletem as atitudes dos investidores em relação ao risco. No entanto, a curva de rendimento não é totalmente confiável para prever o futuro, pois há várias limitações, incluindo intervenções de bancos centrais e investimentos externos. Assim, sua precisão depende de construí-lo bem e avaliar as mudanças ocorridas ao longo de muitos anos.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção da palestra, o professor explica a estrutura a termo das taxas de juros e como ela se relaciona com a curva de juros. A curva de rendimentos é uma relação temporal entre rendimentos de diferentes vencimentos e depende da economia local. A curva de títulos do Tesouro dos EUA é considerada o indicador mais importante da economia global devido à posição dos EUA como uma das maiores economias e ao uso do dólar como moeda de reserva. Os títulos do governo, como os títulos do Tesouro dos EUA, são considerados livres de inadimplência porque o governo não pode inadimplir suas obrigações, mas isso só é válido se os títulos forem emitidos na moeda local. Os títulos emitidos em moedas estrangeiras apresentam maior risco de inadimplência. O prêmio de risco também é discutido como um fator que afeta o rendimento ou as taxas de juros.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção, o instrutor explica o seguro de títulos e os prêmios de risco, que são a diferença de rendimentos entre títulos governamentais e de empresas para contabilizar a chance de inadimplência. Ele também discute formas de curva de rendimento e suas implicações para a economia. Uma forma normal padrão para uma curva de rendimento é quando o rendimento para um vencimento mais longo é significativamente maior do que um vencimento de prazo mais curto, refletindo uma situação normal na economia. Uma curva de rendimento invertida, em que os rendimentos de longo prazo caem e os rendimentos de curto prazo permanecem os mesmos, pode indicar um cenário prejudicial e causar problemas para bancos e pensões. O instrutor fornece exemplos de diferentes formas de curva de rendimento e seus efeitos potenciais no mercado.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o vídeo discute o impacto da inflação nos rendimentos e como isso pode fazer com que os rendimentos se movam na direção oposta. Se as expectativas de inflação aumentarem, os rendimentos aumentarão porque os investidores precisarão ser compensados pelo retorno real negativo de seus investimentos. O vídeo também explica como a inclinação e o achatamento da curva de rendimento podem ocorrer devido a mudanças na economia. O spread entre um swap de vencimento constante de 10 anos e um swap de 2 anos pode indicar a direção de uma curva de inclinação, enquanto a inversão da curva de rendimento significa uma curva de achatamento. O vídeo usa gráficos para mostrar exemplos de como as diferentes curvas e spreads afetaram a economia no passado.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção da palestra, o professor discute a curva de juros e o controle de juros, que são fatores importantes que podem influenciar as taxas de juros. A curva de juros indica a situação do mercado e pode ser influenciada pelo banco central, que controla as taxas de juros para cumprir metas de inflação e emprego. O controle de rendimento permite que os bancos centrais comprem ou vendam títulos para influenciar a demanda e estimular a economia, mas isso também pode levar a riscos e limitações se as pressões inflacionárias aumentarem. A curva de juros é matematicamente definida por pontos spline e correspondentes fatores de desconto, que são expectativas de taxas curtas.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute a construção da curva de rendimento e multicurvas na engenharia financeira. A curva é construída usando uma combinação de pontos espinhosos, que vêm do mercado, e uma rotina de interpolação. A curva de juros deve atender a alguns requisitos, como ser precificada pelos instrumentos, ter taxas futuras contínuas e ter interpolação o mais local possível, para garantir um bom hedge. A construção da curva também requer a definição de um problema de otimização e a determinação do vetor de títulos de cupom zero como pontos espinhosos em diferentes vencimentos.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção do curso de engenharia financeira, o professor explica como construir uma curva de juros e multicurvas. Trata-se de encontrar um vetor de PVI (valor presente de um contrato) que dependa possivelmente de todos os pontos espinhosos da curva. A condição a satisfazer é que a cotação de mercado e o preço da curva sejam iguais a todos os instrumentos usados para construir uma curva. A solução final do problema requer a otimização da diferença usando a norma L. O professor então ilustra como resolver o problema em casos unidimensionais usando um algoritmo de Newton-Raphson para chegar a uma solução para minimizar a diferença absoluta.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção, o palestrante explica o processo de iteração usado para encontrar o sigma ideal para um modelo de Black-Scholes, incluindo os critérios de parada do modelo e os requisitos de convergência. Eles observam a importância de ter em mente como cada ponto da espinha impacta outros instrumentos na curva e a necessidade de iterar para golpes múltiplos para construir um sorriso ou inclinação de volatilidade implícita. Eles também discutem como construir a interpolação e otimização necessárias para este processo, incluindo a construção de um Jacobiano.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a importância da interpolação na construção de diferentes curvas, particularmente a curva de rendimento e o sorriso de volatilidade implícita. O palestrante observa que, embora a interpolação no caso de curvas de rendimento seja facilmente manipulada devido às condições de continuidade e diferenciabilidade, a escolha da rotina de interpolação correta é ainda mais crucial no caso do sorriso de volatilidade implícita, pois uma escolha de interpolação incorreta ou inadequada pode gerar muitos problemas arbitragem na fixação de preços. O palestrante sugere que a interpolação é importante em todos os casos, e a escolha da rotina de interpolação apropriada deve ser feita com grande atenção aos detalhes.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Aula 6/14, parte 2/3, (Construção da Curva de Rendimento e Multi-Curvas)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 6/14, parte 2/3, (Construção da Curva de Rendimento e Multi-Curvas)

Na palestra, o palestrante aprofunda os aspectos práticos da construção de um algoritmo para construção de curvas de juros. Eles enfatizam a importância da calibração da curva e analisam o código Python usado para construir a curva de rendimento usando instrumentos de mercado como swaps. O impacto de diferentes métodos de interpolação na cobertura também é explorado. O palestrante explica a rotina de iteração para a construção de uma curva de juros, que envolve cálculos algébricos com vetores e matrizes. Eles demonstram como otimizar a curva definindo a próxima iteração como zero.

Seguindo em frente, o instrutor explica o processo de encontrar os pontos ideais da coluna para construir uma matriz. Esse processo envolve o ajuste iterativo dos fatores de desconto do vetor (dfs) até que a convergência seja alcançada. Os ajustes são baseados em uma matriz jacobiana, e o inverso da jacobiana determina o ajuste para o delta do dfs. A palestra enfatiza a importância de especificar grades (pares de ti e fatores de desconto) para construir a curva antes de encontrar as ligações zero ideais. Um exemplo prático de construção de uma curva de rendimento para um swap de taxa de juros de dois e cinco anos é fornecido, destacando o desafio de resolver um sistema com mais incógnitas do que equações.

Os desafios de construir uma curva de rendimento usando pagamentos de swap para pontos de espinha são discutidos devido a um sistema subdeterminado. A solução é considerar apenas o pagamento final como o ponto da espinha e interpolar os pontos intermediários. Ressalta-se que o número de instrumentos deve ser igual ao número de pontos da lombada para evitar confusão. O processo de construção de uma curva de juros usando um contrato de taxa a termo e um swap é explicado, com ênfase na implementação numérica.

A palestra enfatiza a importância da construção de uma curva de juros e o impacto das cotações de mercado, que normalmente são zero. A definição da taxa LIDOR é discutida, juntamente com a expressão do Valor Presente de um contrato (PV1) em termos da taxa LIDOR. O PV1 depende apenas do fator de desconto (df1), que pode ser calculado usando o primeiro conjunto de equações. O segundo conjunto de equações envolve o swap com duas datas de pagamento. A palestra explica o uso de uma matriz triangular inferior e inversão eficiente para construção de curvas quando apenas swaps são usados.

O processo de construção de uma curva de rendimento usando dados de mercado do Departamento do Tesouro dos EUA é explorado. Cotações para taxas LIBOR e swaps com vencimentos variados são usadas para construir a curva de rendimento. A palestra apresenta a função multidimensional de Newton-Raphson usada para calibrar a curva e enfatiza a importância de selecionar o método de interpolação correto. A função para avaliar um instrumento de troca em um vetor de pontos de coluna também é apresentada.

A palestra foca na construção de curvas de juros e multicurvas. O processo começa com a definição de um swap e depois passa para a construção de uma curva de rendimento usando uma variedade de instrumentos e vencimentos. Um método de Newton multivariado é empregado para otimizar a curva de rendimento durante o processo de construção. A importância de escolher um valor de tolerância é enfatizada e o desafio da otimização com uma tolerância de 10 à potência de 10 é destacado. A palestra termina enfatizando a rápida convergência alcançada com este método de otimização.

A avaliação de instrumentos usando pontos de espinha e métodos de interpolação é explicada. A curva de rendimento é construída usando pontos de espinha e um método de interpolação, seguido pela avaliação de cada swap em função dos títulos de cupom zero com base no estado atual do ponto de espinha. Um jacobiano, representando a sensibilidade de cada Valor Presente (PV) individual para todos os pontos da espinha, é calculado numericamente realizando um choque em cada ponto da espinha individual e avaliando todas as trocas. A palestra destaca a função compacta e eficiente para o cálculo do jacobiano.

A palestra discute o processo de construção da curva de rendimento e multicurvas usando o método de iteração de Newton-Raphson, a matriz jacobiana e o conjunto de ferramentas de álgebra linear numpy. Após a construção da curva de juros, os swaps são avaliados antes da construção da curva. A palestra enfatiza a necessidade de definir um limite para o número de avaliações para evitar sobrecarregar o código Python e sugere a incorporação de proteções para evitar esse problema. Além disso, a palestra demonstra como calcular o valor presente (PV) dos swaps usando a curva de rendimento inicial e a curva de rendimento calibrada obtida do processo de iteração envolvendo os pontos da coluna vertebral.

O professor explora ainda a rotina de otimização e calibração da curva de rendimento para swaps de taxa de juros. Nota-se que a calibração da curva de juros usando swaps fornece resultados altamente precisos, mesmo quando encontrados valores abaixo de zero. A palestra também destaca áreas de melhoria, como o emprego de cálculos analíticos para sensibilidades derivadas para aumentar a eficiência e precisão computacional.

O conceito de "cobertura" é apresentado como um foco para a seção subseqüente. O impacto de diferentes rotinas de interpolação nos resultados de hedge é discutido e vários métodos de interpolação são explorados. O professor recomenda consultar a literatura existente para explorar opções adicionais de interpolação. A palestra termina enfatizando a importância de realizar testes em condições pequenas e considerando os efeitos das rotinas de interpolação na curva de rendimento.

Na palestra, o palestrante examina diferentes rotinas de interpolação empregadas na construção da curva de juros e sua influência nos resultados. As desvantagens da interpolação direta, como a interpolação linear simples, são destacadas, principalmente ao usar uma curva de rendimento baseada em modelo. É explicado que o comportamento da estrutura de curto prazo da taxa pode se tornar errático se pequenos detalhes forem negligenciados na interpolação, pois a taxa instantânea a termo depende do logaritmo de um título de cupom zero. Para superar essas limitações, um método sugerido é a diferenciação em logaritmos de fatores de desconto.

A palestra também explora a interpolação local e global, enfatizando a importância de localizar o impacto de um choque ou mudança em um ponto de espinha para evitar afetar um grande número de pontos na curva. Além disso, o palestrante destaca a importância de selecionar um método de interpolação que considere as características dos instrumentos na curva e seu impacto em seu desempenho.

A construção de curvas de rendimento e multicurvas é discutida a partir de uma perspectiva de engenharia financeira. Um experimento Python é apresentado, demonstrando uma função desenvolvida para calibrar uma curva de rendimento através de pequenos ajustes. A experiência inclui a construção de um conjunto de instrumentos em função e a incorporação de interpolação quadrática e cúbica. Além disso, a precificação de um swap fora do mercado e a análise de sensibilidade do swap para todos os instrumentos de mercado usados na construção da curva são demonstrados por meio da diferenciação e recalibração da curva para cada instrumento chocado no conjunto de portfólio.

O palestrante explica como construir uma curva de juros e múltiplas curvas usando choque e delta. O processo envolve repetir todo o procedimento para cada instrumento com uma taxa fixa chocada e redefinir o delta, que representa a derivada do swap em relação a cada instrumento de mercado. Os valores delta são aproximados dividindo o tamanho do choque, reconstruindo a curva e avaliando o impacto resultante. Com esses valores de delta, torna-se possível determinar a utilização necessária de cada instrumento de mercado para a construção da curva, possibilitando o hedge eficaz dos futuros. A interpolação linear é empregada para ilustrar a cobertura de um swap de quatro anos usando instrumentos com vencimentos de três e cinco anos, alinhando-se com os resultados esperados. Finalmente, uma comparação entre interpolação linear e cúbica revela que a interpolação cúbica é computacionalmente mais cara, mas leva a diferenças substanciais nos resultados.

O palestrante discute a construção de curvas de rendimento e multicurvas dentro de um contexto de engenharia financeira. É feita uma comparação entre interpolação cúbica e interpolação linear, destacando que a interpolação cúbica é mais avançada, mas também mais lenta. O impacto da interpolação no hedge é abordado, observando que, embora a interpolação cúbica possa resultar em uma curva mais suave, ela pode levar a maiores despesas de hedge devido a sensibilidades a produtos com vencimentos muito superiores aos dos swaps. O palestrante sugere explorar a interpolação quadrática como alternativa e enfatiza que o impacto da interpolação no hedge não deve ser negligenciado.

Continuando a palestra, o palestrante discorre sobre a construção de curvas de juros e multicurvas usando choque e delta. Este método envolve a recalibração de todo o processo para cada instrumento com uma taxa fixa de choque. O delta, que representa a derivada do swap em relação a cada instrumento de mercado, é redefinido dividindo-se o tamanho do choque e aproximando-se o impacto resultante na curva. Ao analisar os valores do delta, torna-se possível determinar a alocação adequada de cada instrumento de mercado para a construção da curva, possibilitando uma proteção efetiva dos futuros. O palestrante demonstra o uso da interpolação linear para ilustrar o hedge de um swap de quatro anos usando instrumentos com vencimentos de três e cinco anos, alinhando-se com os resultados esperados.

A palestra enfatiza a importância de escolher o método de interpolação correto, pois ele afeta significativamente a forma e o comportamento da curva de juros. Embora a interpolação cúbica possa oferecer uma curva mais suave, muitas vezes incorre em maiores despesas de cobertura devido à sua sensibilidade a produtos com vencimentos muito superiores aos dos swaps. Portanto, o palestrante sugere explorar a interpolação quadrática como uma alternativa que encontre um equilíbrio entre precisão e eficiência computacional.

Além disso, a palestra reforça a necessidade de considerar as características dos instrumentos utilizados na construção da curva e seu impacto no seu desempenho. Diferentes instrumentos podem exigir diferentes métodos de interpolação ou ajustes para garantir preços precisos e gerenciamento de risco. É essencial analisar e entender cuidadosamente o comportamento dos instrumentos no contexto do processo de construção da curva de juros.

A palestra termina incentivando mais pesquisas e exploração de opções de interpolação. Embora a interpolação cúbica seja mais avançada e ofereça uma curva mais suave, nem sempre pode ser a escolha ideal. Profissionais financeiros e pesquisadores são encorajados a se aprofundar na literatura existente e estudar várias rotinas de interpolação para identificar a abordagem mais adequada para suas necessidades específicas.

A construção de curvas de rendimento e multicurvas envolve uma combinação de técnicas matemáticas, métodos de calibração e rotinas de interpolação. É um processo complexo que requer consideração cuidadosa de vários fatores, como características do instrumento, eficiência computacional e implicações de cobertura. Ao empregar os métodos corretos e entender os princípios subjacentes, os profissionais financeiros podem construir curvas de rendimento robustas que refletem com precisão as condições do mercado e dão suporte a estratégias eficazes de gerenciamento de risco.

• 00:00:00 Nesta seção, o palestrante discute os aspectos práticos da construção de um algoritmo para construção da curva de juros, incluindo calibração de curvas e análise do código Python para construir a curva de juros usando instrumentos de mercado como swaps. A palestra também aborda o impacto de diferentes interpolações no hedge e define a rotina de iteração para construção de uma curva de juros, que envolve a realização de cálculos algébricos com vetores e matrizes. Por fim, o palestrante demonstra como definir a próxima iteração como zero enquanto otimiza a curva.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção da palestra, o instrutor explica o processo de encontrar os pontos ideais da coluna para construir uma matriz. O processo envolve ajustes nos fatores de desconto do vetor (dfs) iterativamente até que a convergência seja alcançada. Os ajustes são baseados em uma matriz jacobiana, e o inverso da jacobiana determina o ajuste para o delta do dfs. O instrutor também discute a importância de especificar as grades, ou seja, pares de ti e fatores de desconto para construir a curva antes de encontrar títulos zero ótimos, citando o exemplo de construir uma curva de rendimento para um swap de taxa de juros de dois e cinco anos. O problema surge quando há mais incógnitas do que equações, exigindo uma solução problemática.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute os desafios de construir uma curva de juros usando pagamentos de swap por pontos de espinha, devido a um sistema subdeterminado. A solução é considerar apenas o pagamento final como o ponto da espinha e interpolar os pontos intermediários. O palestrante enfatiza que o número de instrumentos deve ser igual ao número de pontos da lombada, e muitos instrumentos podem causar confusão. O processo de construção de uma curva de juros usando um acordo de taxa a termo e um swap é explicado e pode ser implementado numericamente.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, é discutida a importância de construir uma curva de juros e o impacto das cotações no mercado, juntamente com o fato de que normalmente as cotações no mercado são zero. A palestra então passa para a discussão da definição da taxa LIDOR e como o PV1 pode ser expresso em termos da taxa LIDOR. A expressão para o PV1 depende apenas do df1, que pode ser calculado usando o primeiro conjunto de equações. O segundo conjunto de equações envolve o swap, que tem duas datas de pagamento. Finalmente, a palestra explica a matriz triangular inferior e como a inversão pode ser feita de forma eficiente para a construção da curva quando apenas swaps são usados.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute a importância de construir uma curva de juros e como construí-la usando dados de mercado do Departamento do Tesouro dos EUA. Os dados consistem em cotações para taxas LIBOR e swaps com vencimentos variados. O objetivo é usar as cotações para construir uma curva de rendimento e, em seguida, verificar se a curva precifica todos os instrumentos de volta ao par. O palestrante explica a função multidimensional de Newton-Raphson usada para conseguir isso e enfatiza a importância de escolher o método de interpolação correto. Finalmente, é introduzida a função para avaliar um instrumento de troca em um vetor de pontos espinhosos.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da videoaula, o instrutor explica a construção de uma curva de juros e multicurvas. Ele começa definindo um swap e depois passa a construir uma curva de rendimento com uma variedade de instrumentos e vencimentos. Ele define um método de Newton multivariado para otimizar a curva de rendimento durante o processo de construção. O instrutor destaca a importância de escolher um valor para a tolerância e destaca o desafio da otimização com tolerância de 10 elevado a 10. Ele conclui que com esse método de otimização a convergência seria muito rápida.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção da palestra, o palestrante explica como avaliar instrumentos usando pontos de espinha e métodos de interpolação. Primeiro, a curva de juros é construída usando os pontos da espinha e o método de interpolação. Em seguida, cada swap é avaliado em função dos títulos de cupom zero com base no estado atual do ponto de espinha. Um jacobiano é calculado, que é a sensibilidade de cada PV individual a todos os pontos da coluna vertebral. Isso é feito numericamente, realizando um choque em cada ponto individual da coluna e avaliando todas as trocas. O jacobiano é então armazenado em uma matriz. A função para calcular o jacobiano é compacta e eficiente.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção do curso de engenharia financeira, o professor discute o processo de construção da curva de rendimento e multicurvas usando o método de iteração de Newton-Raphson, a matriz jacobiana e o conjunto de ferramentas de álgebra linear numpy. Uma vez construída a curva de juros, o próximo passo é avaliar os swaps antes de construir a curva. O palestrante alerta para a necessidade de estabelecer um limite no número de avaliações feitas para evitar o esmagamento do Python e sugere a introdução de proteções nos códigos para evitar isso. Por fim, o palestrante demonstra como calcular o pv atual dos swaps usando a curva de juros inicial e a curva de juros calibrada, obtida a partir dos pontos rispine gerados no processo de iteração.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção da palestra do Curso de Engenharia Financeira, o professor discute a rotina de otimização e calibração da curva de juros para swaps de taxa de juros. A curva de rendimento é calibrada usando swaps e é altamente precisa, com configurações mostrando até valores abaixo de zero. O professor também destaca áreas de melhoria, como cálculos analíticos para sensibilidades derivadas, para acelerar o tempo de computação e aumentar a precisão. Esta palestra apresenta o conceito de "hedging", que será melhor explorado na próxima seção, juntamente com o impacto de diferentes rotinas de interpolação nos resultados de hedging. Várias rotinas de interpolação são discutidas e o professor recomenda explorar a literatura sobre opções de interpolação para obter mais detalhes. A palestra termina com foco em pequenas condições de teste e o impacto das rotinas de interpolação.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute as diferentes rotinas de interpolação usadas na criação de uma curva de juros e seu impacto nos resultados. A interpolação direta envolve interpolação linear simples que pode ser problemática ao usar uma curva de rendimento baseada em modelo. Isso ocorre porque a taxa instantânea a termo depende do logaritmo de um título de cupom zero e, sem pequenas coisas na interpolação, o comportamento da estrutura a termo da taxa curta pode ser estranho. Um método para melhorar as limitações dessas interpolações é diferenciar em log de fatores de desconto. O palestrante também explora a interpolação local e global, destacando que uma alteração ou choque no ponto da lombada deve ser o mais localizado possível para evitar o impacto de muitos pontos na curva. Além disso, ele observa a importância de selecionar uma interpolação que considere as características dos instrumentos na curva e seu impacto no desempenho da curva.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção do Curso de Engenharia Financeira, é discutida a construção de curvas de juros e multicurvas. A palestra percorre um experimento em python onde foi desenvolvida uma função para calibrar uma curva de juros com pequenos ajustes, incluindo a construção de um conjunto de instrumentos como uma função e a adição de interpolação quadrática e cúbica. O experimento também demonstra a precificação de um swap fora do mercado e a sensibilidade do swap a todos os instrumentos de mercado usados na construção da curva por meio da diferenciação e recalibração da curva para cada instrumento chocado no conjunto de portfólio.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção da palestra, o palestrante explica como construir uma curva de juros e multicurvas usando choque e delta. Para construir a curva, eles refazem todo o processo para cada instrumento com uma taxa fixa de choque. Em seguida, redefinem o delta, que é a derivada do swap em relação a cada instrumento de mercado, dividindo o tamanho do choque, reconstruindo a curva e aproximando o valor do delta. Com esses valores delta, eles podem ver quanto de cada instrumento de mercado precisam usar para a construção da curva, permitindo que eles protejam seus futuros. O palestrante usa a interpolação linear para demonstrar como eles podem proteger um swap de quatro anos com instrumentos de três e cinco anos de vencimento, o que se alinha com suas expectativas. Por fim, eles comparam os resultados do uso da interpolação linear versus cúbica e descobrem que a interpolação cúbica é mais cara de calcular, mas causa uma grande diferença nos resultados.
  
  
• 01:00:00 Nesta seção, o palestrante discute a construção de curvas de rendimento e multicurvas em um contexto de engenharia financeira. Eles comparam a interpolação cúbica com a interpolação linear, observando que a interpolação cúbica é muito mais lenta e avançada. Eles também discutem o impacto da interpolação no hedge, observando que, embora a curva possa ser mais suave com a interpolação cúbica, as despesas de hedge podem ser maiores devido a sensibilidades a produtos muito posteriores ao vencimento dos swaps. O palestrante sugere tentar a interpolação quadrática e enfatiza que o impacto da interpolação no hedge não deve ser negligenciado.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Aula 6/14, parte 3/3, (Construção de Curva de Rendimento e Multi-Curvas)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 6/14, parte 3/3, (Construção de Curva de Rendimento e Multi-Curvas)

Na palestra é apresentado o conceito de multicurvas, que incorpora as probabilidades de inadimplência das contrapartes na construção das curvas de juros. Essas informações adicionais contabilizam a frequência dos pagamentos e os riscos de inadimplência associados. O palestrante destaca que emprestar dinheiro por um período mais longo a uma contraparte aumenta o risco em comparação com empréstimos de prazo mais curto. As curvas múltiplas surgiram como um desenvolvimento na matemática financeira após a crise financeira de 2008-2009 e continuam prevalecendo no mercado atual.

A palestra inclui uma implementação Python de múltiplas curvas e atribui uma tarefa de casa aos alunos, desafiando-os a aprimorar o código existente incorporando instrumentos adicionais para calibração de curvas e aspectos de cobertura.

A construção de curvas de rendimento e multicurvas na engenharia financeira é discutida, enfatizando o impacto da frequência de pagamento no tipo de curva e gestão de risco. A maior frequência de pagamento reduz a perda potencial em caso de inadimplência da contraparte, tornando-a uma escolha mais segura. A motivação por trás das múltiplas curvas decorre da crise de 2007-2009, quando os spreads de base entre diferentes prazos se tornaram significativos, levando a múltiplos pontos de base de diferença entre curvas de frequência variadas.

O palestrante explica que diferentes instrumentos apresentam prêmios variados de liquidez e risco de crédito, influenciando suas curvas de rendimento. Antes da crise financeira, os preços eram baseados em uma única curva. No entanto, prêmios de risco adicionais pós-crise precisam ser considerados para diferentes estruturas de prazo. O palestrante ilustra o spread do prêmio de risco entre diferentes prazos usando uma ilustração de taxas a termo instantâneas. O consenso do mercado é descontar os fluxos de caixa futuros com base na maior frequência de posse, e a escolha ideal para descontar é uma curva com o menor risco de crédito, normalmente associada a um 10 de um dia.

A palestra investiga a inclusão de probabilidades de inadimplência na precificação e o desenvolvimento de uma estrutura para precificação de derivativos dentro do contexto multicurva. Curvas como o Euro Overnight Index Average e o US Federal Reserve Overnight Rate são discutidas. Os profissionais primeiro observaram o mercado e, posteriormente, a teoria foi desenvolvida, necessitando da inclusão de probabilidades de inadimplência na estrutura de múltiplas curvas. A definição da biblioteca precisa ser modificada para incorporar a curva livre de risco e as probabilidades de inadimplência da contraparte. O palestrante destaca a necessidade de versões estendidas da taxa LIBOR e mudanças nas medidas para acomodar essa modificação. Ao incorporar probabilidades de inadimplência e verificar a existência da contraparte antes de executar as transações, os profissionais obtêm uma melhor compreensão da precificação de derivativos dentro da estrutura multicurva.

O conceito de probabilidade de default é explicado no contexto da precificação de derivativos com risco de crédito. A probabilidade de inadimplência representa o risco de inadimplência que ocorre durante um período específico e é normalmente derivada de instrumentos de mercado, como swaps de inadimplência de crédito. Quando os instrumentos de mercado não estão disponíveis, bancos e instituições financeiras atribuem uma probabilidade de inadimplência com base na associação de risco da indústria. Precificar derivativos com risco de crédito envolve descontar todos os fluxos de caixa futuros e assumir independência entre taxas de juros e probabilidade de inadimplência. O retorno esperado é então calculado usando uma função indicadora da probabilidade de inadimplência.

A palestra discute como as probabilidades de inadimplência e as taxas de melhoria se relacionam com as probabilidades de sobrevivência e as taxas de risco. Credit default swaps (CDXs) são introduzidos como derivativos negociados usados para estimar a probabilidade de inadimplência. Ao examinar as cotações de mercado dos CDXs, o prêmio de risco pode ser calculado, fornecendo informações sobre a probabilidade de inadimplência. A curva de rendimento arriscada incorpora a probabilidade de inadimplência e ajusta os títulos de cupom zero usando ajustes de risco. Na prática, D(t0, ti) é tipicamente interpretado como um fator de desconto, permitindo a construção de uma curva de rendimento como uma coleção de fatores de desconto de títulos de cupom zero.

O vídeo explica o processo de determinação de um preço justo para um passivo não garantido que considera probabilidades de inadimplência por meio da construção de uma curva correspondente a um prazo específico no topo de uma curva de desconto. Ele demonstra o cálculo de títulos de cupom zero sem risco e um título de cupom zero com um prêmio de risco adicional, representando o fator de ajuste para a curva. O vídeo também aborda como o preço de um swap de taxa de juros pode ser calculado em uma configuração de múltiplas curvas. Ele combina os conceitos de um passivo arriscado e a taxa do swap de índice overnight, aproximando o preço ao calcular a expectativa da LIBOR a termo sob a medida martingale correspondente.

O palestrante enfatiza a dependência circular entre diferentes curvas e a construção de curvas de juros na prática. A curva de desconto normalmente é construída primeiro, seguida pela construção de curvas de três meses e seis meses com base na curva de desconto e cotações de mercado adicionais. No entanto, surgem complicações quando há spreads envolvidos, necessitando calibração de todas as curvas simultaneamente em vez de individualmente. Embora possa ser mais complexo, manter a consistência na cobertura de outros riscos permite usar a taxa de juros errada no modelo de Black-Scholes para corresponder à cotação de mercado.

O vídeo fornece orientação sobre a implementação de curvas múltiplas em Python para precificação e construção de curvas de rendimento múltiplas. Ele se baseia em códigos desenvolvidos anteriormente para curvas de rendimento simples e os estende para lidar com curvas múltiplas. Uma extensão da definição de swap é introduzida para facilitar a precificação no contexto de múltiplas curvas. O vídeo também enfatiza a importância de realizar uma verificação de sanidade para garantir a consistência entre o novo swap de taxa de juros e uma única configuração de curva. Isso é obtido usando duas instâncias da mesma curva para verificar se elas produzem o mesmo valor.

O palestrante discute a calibração da curva de juros e apresenta quatro swaps correspondentes à nova curva com palpites iniciais separados do caso anterior. O objetivo continua sendo igualar os preços de mercado aos preços dos modelos. A curva de desconto é baseada na curva bootstrap e os swaps são definidos como expressões lambda da curva futura. O palestrante explica a busca por títulos de cupom zero ou curvas de rendimento para os swaps e a otimização dos valores que tornam o swap zero para a meta de rendimento específica. A calibração da curva é verificada duas vezes e os valores dos swaps são plotados. A verificação de sanidade confirma a consistência da nova implementação de troca e, finalmente, a nova curva é inicializada.

O palestrante discute os resultados do processo de calibração e inicialização, observando que o preço retorna ao par. A curva de desconto e a curva de previsão são plotadas, ilustrando a curva de spread entre elas. O palestrante destaca que a curva futura é menor devido ao número limitado de instrumentos, resultando em uma falta de transição suave entre os diferentes vencimentos. O processo de calibração é relativamente rápido, exigindo iterações de otimização em relação ao servidor para a curva de desconto. Em conclusão, o palestrante resume os principais conceitos abordados na palestra, incluindo a natureza dinâmica da curva de rendimento, formulação matemática, formulação de problemas, pontos espinhosos, rotina de otimização e exemplos analíticos.

Por fim, o orador aborda a extensão do código existente para o início de uma curva e a inclusão de instrumentos adicionais. A importância prática de desenvolver uma estrutura de hedge para entender os impactos de diferentes interpretações é enfatizada. O vídeo explica o significado das curvas múltiplas e sua relação com as probabilidades e previsões de inadimplência. Ele conclui demonstrando o código Python para implementar e estender a estrutura existente para lidar com multicurvas. Como tarefa de casa, o público tem a tarefa de estender o código existente para uma nova curva e incorporar uma camada adicional de uma curva futura com base em seis meses, três meses e instrumentos de mercado disponíveis.

O vídeo explica como calcular o preço justo de um passivo não garantido que considera as probabilidades de inadimplência. Isso envolve a construção de uma curva correspondente a um termo específico no topo de uma curva de desconto. O vídeo demonstra o cálculo de títulos de cupom zero sem risco e um título de cupom zero baseado em prêmio de risco adicional, representando o fator de ajuste para a curva. Além disso, é discutida a precificação de um swap de taxa de juros, combinando os conceitos de um passivo de risco e a taxa do swap de índice overnight. A aproximação de preços envolve o cálculo da expectativa da LIBOR a termo sob a medida martingale correspondente.

Para finalizar, o palestrante reitera a importância da construção de curvas de juros, multicurvas e suas implicações práticas na engenharia financeira. A palestra aborda diversos aspectos como calibração de curvas, hedging, probabilidade de inadimplência, precificação de derivativos com risco de crédito e implementação de multicurvas em Python. Ao estender o código existente e incorporar instrumentos adicionais, os alunos são desafiados a aprofundar sua compreensão sobre multicurvas e obter experiência prática em calibração de curvas e aspectos de precificação em uma estrutura multicurvas.

• 00:00:00 Nesta seção da palestra, é introduzido o conceito de multicurvas, que leva em consideração as possíveis probabilidades de inadimplência das contrapartes ao construir uma curva de rendimentos, incluindo informações extras sobre a frequência de pagamentos e riscos associados de inadimplência . O exemplo dado é que emprestar dinheiro a uma contraparte por três meses é mais arriscado do que emprestar dinheiro por apenas um mês. As curvas múltiplas são um desenvolvimento mais recente em matemática financeira que foi criado após a crise financeira de 2008-2009 e está presente no mercado hoje. A palestra inclui uma implementação Python de múltiplas curvas e uma tarefa de casa que exige que os alunos estendam os códigos existentes com instrumentos adicionais para calibração de curvas e aspectos de cobertura.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção do Curso de Engenharia Financeira, o instrutor aborda a construção de curvas de juros e multicurvas. Ele explica que a periodicidade dos pagamentos determina a quantidade de swaps de base e o tipo de curva. Do ponto de vista da gestão de risco, receber pagamentos frequentes é mais seguro, pois há menos dinheiro a ser perdido em caso de inadimplência da contraparte. A motivação para as multicurvas deveu-se principalmente à crise de 2007-2009, quando os spreads de base entre diferentes prazos não eram mais desprezíveis e tinham múltiplos pontos de base de diferença entre frequências variadas de curvas.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute a construção de curvas de rendimento e multicurvas na engenharia financeira. Diferentes instrumentos são caracterizados por liquidez e prêmio de risco de crédito que afetam suas curvas de rendimento. Antes da crise financeira, o preço era baseado em uma única curva, mas agora os prêmios de risco adicionais precisam ser levados em consideração para diferentes estruturas de prazo. O palestrante traçou uma ilustração de taxas a termo instantâneas para mostrar o spread do prêmio de risco entre diferentes prazos. O consenso do mercado é descontar os fluxos de caixa futuros com base na maior frequência de posse e a escolha ótima para descontar é uma curva que carrega o menor risco de crédito. Uma curva de desconto é normalmente associada a um 10 de um dia e carrega o menor risco de crédito possível.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção da palestra, o conceito de incluir probabilidades de inadimplência na precificação e desenvolver uma estrutura para precificação desses derivativos é discutido. A estrutura de múltiplas curvas é explicada, com a discussão de curvas como a Média do Índice Overnight do Euro e a Taxa Overnight do Federal Reserve dos EUA. Os profissionais observaram o mercado primeiro, com a teoria desenvolvida posteriormente, e a inclusão de probabilidades de inadimplência na estrutura multicurva é necessária. A definição da biblioteca deve ser alterada para incluir a curva livre de risco e as probabilidades de inadimplência da contraparte, sendo necessárias versões estendidas da taxa LIBOR e alterações de medidas para esta alteração. Ao incluir o conceito de probabilidades de inadimplência e garantir que a contraparte ainda exista antes de facilitar as transações, os profissionais podem entender melhor a precificação de derivativos dentro da estrutura multicurva.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção da palestra, o conceito de probabilidade de inadimplência é discutido no contexto da precificação de um derivativo com risco de crédito. A probabilidade de inadimplência é uma variável aleatória que indica o risco de inadimplência ao longo de um período de tempo. A distribuição da probabilidade de inadimplência é normalmente extraída de instrumentos de mercado, como swaps de inadimplência de crédito. Se não houver instrumentos de mercado disponíveis, bancos e instituições financeiras associam a empresa a um risco da indústria para atribuir uma probabilidade de inadimplência. A precificação de derivativos com risco de crédito envolve o desconto de todos os fluxos de caixa futuros e assume a independência entre taxas de juros e probabilidade de inadimplência. Então, o payoff esperado é calculado usando uma função indicadora da probabilidade de inadimplência.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute como as probabilidades de inadimplência e taxas de melhoria estão associadas às probabilidades de sobrevivência e taxas de risco. A probabilidade de inadimplência pode ser estimada usando swaps de inadimplência de crédito (CDXs), que são derivativos negociados. Observando as cotações de mercado dos CDXs, podemos calcular o prêmio de risco e determinar a probabilidade de inadimplência. A curva de rendimento arriscada construída inclui a probabilidade de inadimplência, que ajusta os títulos de cupom zero usando ajustes de risco. Na prática, os profissionais normalmente interpretam o D(t0, ti) como um fator de desconto, tornando possível construir uma curva de rendimento como uma coleção de fatores de desconto de títulos de cupom zero.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção, o vídeo explica como determinar um preço justo de um passivo não garantido que leva em consideração as probabilidades de inadimplência, construindo uma curva correspondente a um prazo específico no topo de uma curva de desconto. O vídeo mostra como calcular títulos de cupom zero sem risco e um título de cupom zero para um prêmio de risco adicional que representa o fator de ajuste para a curva. O vídeo discute como o preço de um swap de taxa de juros pode ser calculado combinando os conceitos de responsabilidade de risco e a taxa do swap de índice overnight, onde o preço pode ser aproximado calculando a expectativa da libor a termo sob a medida martingale correspondente .
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute a construção de curvas de juros na prática e a dependência circular entre as diferentes curvas. A curva de desconto é construída primeiro, seguida pelas curvas de três meses e seis meses com base na curva de desconto e cotações adicionais do mercado. No entanto, o problema surge quando há spreads envolvidos, exigindo calibração de uma só vez, em vez de curva por curva. Embora seja mais complicado, usar a taxa de juros errada no modelo de Black-Scholes ainda pode corresponder à cotação de mercado, desde que seja mantida a consistência na cobertura de outros riscos.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção, o vídeo discute como implementar múltiplas curvas em Python para precificação ou construção de múltiplas curvas de rendimento, baseando-se em códigos anteriores desenvolvidos para curvas de rendimento único. A extensão de uma definição de swap é usada para lidar com o preço de um swap em uma configuração de múltiplas curvas. O vídeo também explica como realizar uma verificação de sanidade para verificar a consistência do novo swap de taxa de juros com uma única configuração de curva usando duas vezes a mesma curva para garantir que elas forneçam exatamente o mesmo valor.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção, o palestrante discute a calibração da curva de juros. Eles definem quatro swaps que correspondem à nova curva e possuem palpites iniciais, que são separados do caso anterior. O objetivo ainda é igualar os preços do mercado com os do modelo. A curva de desconto é baseada na curva bootstrap, e eles definem os swaps como uma expressão lambda da curva futura. Eles procurarão um título de cupom zero ou uma curva de rendimento para os swaps e otimizarão os valores nos quais o swap é zero para aquela meta de rendimento específica. Eles verificam novamente a calibração da curva e plotam os valores dos swaps. A verificação de sanidade mostra que a implementação da nova troca é consistente e eles finalmente inicializam a nova curva.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute os resultados da calibração e bootstrapping da curva de juros, que resultou na precificação de volta ao par. Eles também traçam a curva de desconto e a curva de previsão, que dá a diferença entre elas e ilustra a curva de spread. O palestrante destaca que a curva a termo é menor, e isso porque são apenas quatro instrumentos, não havendo uma transição suave entre os diferentes vencimentos. A calibração é relativamente rápida e a otimização é necessária apenas para iteração em comparação com o servidor para a curva de desconto. Por fim, o palestrante resume os principais conceitos abordados na palestra, que enfocou a curva de juros e sua dinâmica, formulação matemática, formulação de problemas, pontos espinhosos, rotina de otimização e exemplos analíticos.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção do vídeo, o palestrante discute a extensão do código existente para o início de uma curva e a introdução de instrumentos adicionais. O palestrante enfatiza a importância prática de desenvolver uma estrutura de hedge para entender os impactos de diferentes interpretações. O vídeo explica ainda mais a importância das curvas múltiplas e como elas estão relacionadas às probabilidades de inadimplência e previsão, seguido por uma demonstração do código python sobre como implementar isso e estender a estrutura existente para lidar com curvas múltiplas. O vídeo conclui descrevendo duas tarefas de codificação como lição de casa para o público, para estender o código existente para uma nova curva e incluir uma camada adicional de uma curva futura baseada em seis meses, três meses e os instrumentos de mercado disponíveis.

[MetaQuotes]

Curso de Engenharia Financeira: Aula 7/14, parte 1/2, (Swaptions e Taxas de Juros Negativas)

Curso de Engenharia Financeira: Aula 7/14, parte 1/2, (Swaptions e Taxas de Juros Negativas)

A palestra começa com uma revisão dos tópicos anteriores, incluindo swaps, taxas de juros, construção da curva de rendimento e precificação básica de produtos. Em seguida, avança para assuntos mais avançados: preços de swap e preços sob taxas de juros negativas. Swaptions, que dependem da volatilidade, são explorados, juntamente com opções em taxas de juros, como dísticos e taxas de fluxo.

O conceito de cápsula é apresentado como uma opção européia que desempenha um papel na calibração do modelo Hull-White. Os caplets são usados em modelos dependentes do caminho e requerem calibração para instrumentos de mercado. O palestrante discute o modelo Black-76 para precificação de caplets e distingue entre as equações de Black-Scholes e as equações de Black para taxas de juros a termo. A superfície de volatilidade implícita para taxas de juros e precificação de derivativos exóticos é brevemente mencionada como um tópico para um curso futuro.

A palestra aprofunda a calibração de parâmetros para o modelo totalmente branco usando preços de mercado para acopladores. Volatilidades implícitas usando o modelo de Black são introduzidas e usadas no processo de calibração. A distinção entre a volatilidade implícita de Black e a volatilidade implícita do modelo é enfatizada. A palestra aborda a fórmula para uma biblioteca dependente de dois títulos zero e sua substituição no preço. Uma nova greve é definida para remover componentes constantes ou dependentes do tempo fora da expectativa, permitindo a exploração de dinâmicas ou distribuições sob a medida TK.

A precificação de swaptions é discutida em relação à precificação de títulos de cupom zero em um modelo de cupom zero. A diferença está no tempo de pagamento, com títulos de cupom zero pagando no início e swaps no final. A palestra apresenta o conceito de condicionamento em um campo de sinal e o uso da definição de uma conta de serviço monetário para resolver esse problema. Isso leva a uma expressão para o preço do swaption como a expectativa da proporção de duas contas de serviços monetários sob a medida a termo.

A palestra explora ainda mais a relação entre caplets, títulos e opções sobre títulos de cupom zero. Para o cálculo das volatilidades implícitas é utilizado o modelo Black-Scholes, com calibração periódica dos parâmetros do modelo. A palestra enfatiza a importância de escolher corretamente as datas de simulação e combinar medidas e expectativas na precificação de opções.

A geração de sorrisos de volatilidade implícita usando produtos de taxa de juros e opções de precificação em títulos de cupom zero é discutida. O código é inspecionado para garantir avaliações precisas e uma comparação é feita entre títulos de cupom zero de curva de rendimento derivados de modelo e de mercado. A precificação de opções sobre títulos de cupom zero, incluindo opções de venda, é abordada e experimentos são realizados para analisar o impacto da volatilidade e das versões do modelo na precificação.

A palestra apresenta um processo de iteração para encontrar a volatilidade implícita que satisfaça a restrição de igual valor de mercado e preço Black '76 para uma opção. Grades de diferentes níveis de volatilidade são definidas e interpoladas como ponto de partida para Newton-Raphson. Discute-se o impacto do parâmetro de reversão à média nas volatilidades implícitas, sendo recomendada a sua correção durante a calibração do parâmetro de volatilidade. Parâmetros dependentes do tempo são enfatizados para considerações de XVA.

As limitações de adicionar volatilidade estocástica ao modelo HJM na precificação de derivativos são abordadas, incluindo o impacto na inclinação da volatilidade implícita e os desafios de calibração. A palestra destaca a importância do componente de anuidade nos swaps e a necessidade de contabilizá-lo ao alterar a medida. Compreender os swaps de taxas de juros e aprimorar os modelos mantendo a eficiência computacional é crucial devido à sua prevalência em instituições financeiras.

A precificação dos swaps é focada, assumindo uma única curva. O valor de um swap depende de dois pagamentos, inicial e final, e pode ser representado como a diferença de dois componentes zero com o strike multiplicado pela anuidade. É explicado o preço nominal, onde o preço de exercício é escolhido para tornar o valor zero, resultando em nenhum pagamento em dinheiro. A volatilidade é necessária para precificar derivativos exóticos, exigindo calibração para instrumentos de mercado.

O uso de swaptions em engenharia financeira para medir a volatilidade do mercado é discutido. Os swaps são derivados europeus que conferem ao detentor o direito, mas não a obrigação, de celebrar um swap numa data futura predeterminada. O preço de exercício do swap determina se o titular será pagador ou recebedor do swap. Ao substituir a definição do swap, a equação de avaliação para swaptions é derivada e o numerador da equação é identificado como um candidato adequado para uma mudança de medida. Isso permite o cancelamento do componente de anuidade e a simplificação da equação.

O palestrante explica o uso de medidas de anuidade e movimento browniano geométrico para calcular os preços de swap, assumindo que as taxas de swap não podem ser negativas. A medida de anuidade é considerada uma escolha apropriada para medição e, sob essa medida, o swap deve ser um martingale. A equação de Black-Scholes é apresentada como um modelo de precificação para swaptions. No entanto, o palestrante reconhece que, na prática, os swaps podem ter valores negativos, o que pode trazer desafios para a equação de precificação. Eles mencionam que uma solução para esse problema será apresentada posteriormente na palestra. O objetivo final é determinar o preço sob o modelo BlueWise, que será utilizado para simulação em palestras futuras.

O palestrante discute a formulação de um swap em termos de títulos de cupom zero e como ele pode ser redefinido como um único somatório de títulos de cupom zero com pesos diferentes. Essa formulação se mostra conveniente quando se busca uma solução para opções de precificação sob a dinâmica full white. A palestra aborda o processo de mudança da medida de risco neutro para uma medida associada a um título de cupom zero, o que ajuda a enfrentar o desafio de precificar um swap. O Jambchidian Flick é apresentado como uma técnica para trocar a expectativa do máximo de uma soma por uma soma de expectativas, uma etapa crucial para encontrar uma solução de forma fechada para swaptions de preços. Esse método ajuda a simplificar o processo de precificação e a obter resultados precisos.

A discussão do instrutor destaca a importância de entender e precificar swaptions de forma eficaz, pois eles fornecem informações valiosas sobre a volatilidade do mercado. A capacidade de avaliar e precificar com precisão esses derivativos contribui para a tomada de decisões informadas e para o gerenciamento de riscos nos mercados financeiros.

A palestra aborda vários tópicos avançados relacionados à precificação no contexto de swaptions e taxas de juros negativas. Ele explora as complexidades da calibração de modelos, determinando volatilidades implícitas e compreendendo as nuances de diferentes abordagens de precificação. O palestrante enfatiza a importância de selecionar parâmetros cuidadosamente, medir medidas e expectativas e considerar as limitações e desafios associados à precificação de derivativos em ambientes financeiros complexos.

• 00:00:00 Nesta seção da aula de engenharia financeira, o instrutor discute dois tópicos importantes: precificação de swaptions e precificação sob taxas de juros negativas. A palestra começa com uma breve revisão das palestras anteriores, que abordaram instrumentos financeiros básicos como swaps e taxas de juros, construção de curva de rendimento e precificação de produtos básicos. A palestra então avança para tópicos mais avançados, como precificação de swaptions, que dependem da volatilidade, e precificação de taxas de juros negativas, que não podem ser negligenciadas no contexto da precificação. A palestra também aborda a precificação de opções em taxas de juros, como dísticos e taxas de fluxo. A segunda parte da palestra enfoca a precificação sob o modelo full white e como falar sobre volatilidades implícitas sob a mudança e o regime.
  
  
• 00:05:00 Nesta seção, o palestrante explica o conceito de caplet, uma opção européia com pagamento em uma data futura, e como ela é utilizada como bloco de construção para a calibração do modelo Hull-White. Os caplets são frequentemente usados para simular modelos dependentes de caminho, como o modelo Hull-White, em que os parâmetros precisam ser calibrados para instrumentos de mercado. O palestrante também discute o modelo Black-76 para precificação de caplets e menciona a diferença entre as equações de Black-Scholes e as equações de Black para forwards de taxas de juros. Por fim, a palestra aborda o conceito de superfície de volatilidade implícita para taxas de juros e precificação de derivativos exóticos, que fará parte de um curso de acompanhamento.
  
  
• 00:10:00 Nesta seção, o palestrante discute como calibrar parâmetros para o modelo totalmente branco para gerar caminhos usando um preço de mercado para dístico. O conceito de volatilidades implícitas usando o modelo de Black é introduzido e também pode ser usado no processo de calibração. Ressalta-se que quando se fala em volatilidade implícita, trata-se sempre da volatilidade implícita de Black e não da volatilidade implícita do modelo utilizado. O palestrante então explica a fórmula para uma biblioteca que depende de dois títulos zero e como ela pode ser substituída na precificação. Uma nova greve é definida para remover a parte constante ou dependente do tempo fora da expectativa, permitindo que o locutor encontre a dinâmica ou distribuição para $RTK-1$ sob a medida $TK$.
  
  
• 00:15:00 Nesta seção, o palestrante discute a precificação de swaptions em relação à precificação de títulos de cupom zero em um modelo de cupom zero. Uma diferença entre os dois é que o pagamento do título de cupom zero ocorre no início, enquanto no swaption ocorre no final, dificultando a aplicação direta do primeiro. No entanto, o condicionamento em um campo de sinal pode resolver isso usando a definição de uma conta de serviço monetário, permitindo a decomposição da integral da conta de serviço monetário em duas integrais. Isso leva a uma expressão para o preço do swaption como a expectativa da proporção de duas contas de serviços monetários sob a medida a termo.
  
  
• 00:20:00 Nesta seção, o palestrante discute a conexão entre caplets e títulos com opções sobre títulos de cupom zero e o uso de precificação para calcular volatilidades implícitas usando o modelo Black-Scholes. O modelo é calibrado com pouca frequência, uma vez a cada poucos meses, e o coeficiente de volatilidade é recalibrado diariamente ou até mesmo por infravermelho. A palestra destaca a importância de escolher cuidadosamente as datas corretas ao simular e a importância de combinar medidas e expectativas ao lidar com preços de opções.
  
  
• 00:25:00 Nesta seção da palestra, o foco está em gerar sorrisos de volatilidade implícita usando produtos de taxa de juros como acopladores e usando a maquinaria de opções de preços em títulos de cupom zero. O código é inspecionado para garantir que não haja erros nas avaliações, e é feita uma comparação entre a curva de juros de títulos de cupom zero obtida no mercado e o modelo para garantir que não haja erros nessa etapa. A seção também aborda o cálculo dos preços de uma opção sobre um título de cupom zero, a verificação ou precificação de uma opção de venda sobre um título de cupom zero e a realização de experimentos para verificar o impacto da volatilidade e da versão mineral no preço.
  
  
• 00:30:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute o uso de um processo de iteração para encontrar a volatilidade implícita de uma opção que satisfaça a restrição de que o valor de mercado de uma opção é igual ao preço Black '76 de uma opção. O processo envolve definir grades de diferentes níveis de volatilidade e interpolá-las como um bom palpite para Newton-Raphson. Além disso, o instrutor observa que o parâmetro de reversão média tem um impacto menor nas volatilidades implícitas do que o parâmetro de volatilidade e geralmente é fixo na prática, enquanto o eta é frequentemente calibrado e considerado dependente do tempo para permitir que a estrutura de termos de volatilidade seja incluída no o modelo. O uso de parâmetros dependentes do tempo é essencial no contexto do XVA, que será discutido mais adiante no curso.
  
  
• 00:35:00 Nesta seção, o palestrante discute as limitações de adicionar volatilidade estocástica ao modelo HJM na precificação de derivativos. Embora possa afetar o sorriso ou a inclinação da volatilidade implícita, adicionar volatilidade estocástica torna a calibração mais difícil. Além disso, o palestrante destaca a importância do componente de anuidade nos swaps e a necessidade de considerá-lo na hora de mudar a medida. O palestrante destaca que a maioria das carteiras de negociação de instrumentos em instituições bancárias e financeiras são swaps de taxa de juros, por isso é importante ter um bom conhecimento desses produtos e a possibilidade de melhorar os modelos mantendo a eficiência computacional.
  
  
• 00:40:00 Nesta seção da palestra, o foco é a precificação de um swap, com a simplificação de que existe apenas uma curva. O valor do swap depende dos dois pagamentos, inicialmente no valor do swap e no final, e é representado como uma diferença de dois componentes zero com o strike vezes a anuidade. O swap é sempre precificado ao par e escolhemos o preço de exercício de modo que o valor seja igual a zero, o que significa que não são necessários pagamentos em dinheiro. O valor do swap pode ser representado como a anuidade vezes a taxa de swap menos o preço de exercício, uma fórmula importante usada na avaliação do swap. A adição de volatilidade é necessária para precificar derivativos exóticos, e a calibração para instrumentos de mercado é necessária para determinar os parâmetros do modelo.
  
  
• 00:45:00 Nesta seção da palestra, o instrutor discute o uso de swaptions na engenharia financeira como forma de obter informações sobre a volatilidade do mercado. Os swaps são derivativos do tipo europeu que fornecem ao detentor o direito, mas não a obrigação, de celebrar um swap em uma data futura predeterminada. O preço de exercício do swaption determina se o titular será pagador ou recebedor do swap. Substituindo a definição de swap, obtém-se a equação de avaliação para swaptions, e o numerador é considerado um bom candidato para mudança de medida. Isso permite o cancelamento do componente de anuidade e simplificação da equação.
  
  
• 00:50:00 Nesta seção da palestra, o palestrante discute o uso de medidas de anuidade e movimento browniano geométrico para derivar preços para swaptions sob a suposição de que as taxas de swap não podem ser negativas. Eles explicam que a medida de anuidade é uma boa candidata para medição e que a troca sob a medida de anuidade deve ser um martingale. O palestrante então apresenta a equação Black-Scholes para swaptions de preços e observa que os swaps podem ser negativos na prática, o que pode causar problemas com a equação de preços. Eles sugerem uma correção que será apresentada posteriormente na palestra e enfatizam seu objetivo final de encontrar o preço no modelo BlueWise, que será usado para simulação em palestras futuras.
  
  
• 00:55:00 Nesta seção, o palestrante discute a formulação de um swap em termos de títulos de cupom zero e como ele pode ser reformulado como uma única soma de títulos de cupom zero com pesos diferentes. Essa formulação é conveniente ao encontrar uma solução para opções de preços sob a dinâmica full white. A palestra também explica o processo de mudança de medida de risco neutro para uma medida associada a um título de cupom zero e como isso ajuda a resolver o problema de precificação de um swap. O palestrante apresenta o Jambchidian Flick, que permite a troca de expectativa do máximo de uma soma com uma soma de expectativas, uma etapa crucial para encontrar uma solução de forma fechada para swaptions de preços.