Negociação quantitativa - página 16
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Curso de Engenharia Financeira: Aula 7/14, parte 2/2, (Swaptions e Taxas de Juros Negativas)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 7/14, parte 2/2, (Swaptions e Taxas de Juros Negativas)
A palestra em vídeo investiga as complexidades de swaptions de preços em um ambiente de taxa de juros negativa. O instrutor apresenta o algoritmo proposto por Farshid Jamshidian em 1989, que facilita a transformação do problema de cálculo do máximo de uma soma em uma soma de máximos específicos, dadas certas condições. Um requisito crucial para essa abordagem é que a função psi_k(x) deve ser monótona aumentando ou diminuindo para obter cálculos precisos. A palestra termina com a atribuição de trabalhos de casa e um exercício de Python que se concentra em técnicas de computação numérica.
O palestrante enfatiza a importância de determinar o valor de x_star, que corresponde ao somatório máximo de psi igual a zero. Encontrar esse valor permite a substituição do tamanho da soma, k, na equação. O palestrante então explora como essa condição, junto com o uso de funções crescentes monótonas, permite a eliminação do máximo da parte mais externa para a mais interna da equação. Além disso, é apresentado um exercício que envolve calcular a expectativa de um máximo usando as técnicas de força bruta e sequência de junção de James.
O palestrante passa a compartilhar um exercício pessoal envolvendo a avaliação da soma de todos os termos psi_i para i variando de 0 a 14. Eles também abordam o uso da simulação de Monte Carlo para precificação, empregando o truque Jump Diffusion para determinar o valor x ideal , o que influencia significativamente o resultado da soma. O locutor itera todos os termos de cada golpe para identificar o máximo e subsequentemente aplica o truque Jamshidiano tomando a expectativa do máximo e somando os valores máximos. No entanto, é importante reconhecer certas limitações associadas a essa técnica, como sua inaplicabilidade a fatores de alta dimensão e a necessidade de consideração cuidadosa das suposições subjacentes.
Em seguida, a palestra se aprofunda na equação de precificação de soluções usando o modelo todo branco. Isso envolve a definição de um título de cupom zero dentro de toda a estrutura do modelo branco, com funções explícitas A e B expressas em termos de parâmetros do modelo. O palestrante explica como a função Theta pode ser representada em termos de títulos de cupom zero, que podem então ser substituídos por taxas a prazo. A principal conclusão é que, em comparação com a equação de Black-Scholes utilizada para precificar swaps sob a medida de anuidade, é mais vantajoso fazer a transição para a medida associada ao desconto, que exige a simulação de um processo de taxa curta. Empregando o truque de Jamshidian, torna-se possível buscar por R_star e obter um somatório composto por dois componentes: um relacionado à otimização e outro relacionado a títulos de cupom zero com pesos específicos.
A palestra avança para discutir a precificação de swaptions usando o truque de Jamshidian, mostrando como essa abordagem facilita o cálculo da volatilidade implícita. O preço de uma swaption pode ser expresso como uma soma ponderada de opções em títulos de cupom zero, onde os pesos c_k representam as proporções de opções e as opções de títulos de cupom zero são opções de venda ajustadas. A precificação dessas opções de títulos de cupom zero segue um processo direto com base no material coberto anteriormente. A implementação dessa abordagem é relativamente direta, pois envolve a análise de funções monotônicas durante o cálculo da volatilidade implícita ou a precificação de swaptions.
Adiante, o palestrante explica a sequência de eventos econômicos que levaram a taxas de juros negativas, destacando a distinção entre taxas de juros reais e nominais. Eles discutem como a falta de confiança e os eventos deflacionários podem afetar a atividade comercial e a economia em geral. O palestrante reconhece as intervenções realizadas pelos bancos centrais para estimular a oferta monetária e recuperar a confiança durante a Grande Recessão, incluindo a redução das taxas de juros para incentivar o investimento e a atividade econômica. No entanto, eles também reconhecem os potenciais inconvenientes e injustiças associados à situação, particularmente em termos de poder de compra se a inflação exceder as taxas nominais.
A palestra aprofunda o uso de taxas de juros negativas como uma medida não convencional para incentivar os investidores a tomar dinheiro emprestado e investir no mercado. O objetivo é estimular a economia, incentivando grandes instituições financeiras a comprar ativos ou se envolver em atividades de mercado. O conceito de taxas de juros negativas pode funcionar de forma eficaz quando não há inflação presente. No entanto, se a inflação ocorrer e superar as expectativas dos bancos centrais, as taxas podem precisar ser aumentadas para compensar. Isso pode representar um risco para empresas e investidores com dívidas de baixa taxa, podendo levar à falência. Esses desenvolvimentos destacam a existência de longos ciclos econômicos que vão até 100 anos e ciclos de curto prazo com duração de cerca de 10 anos. O palestrante também aborda o conceito de inflação e enfatiza a importância de entender como funciona o mercado de inflação para estar preparado para qualquer fenômeno relacionado à inflação.
Além disso, o instrutor investiga a questão das taxas de juros negativas, que se tornaram mais prevalentes no atual ambiente econômico. Uma comparação das taxas europeias entre 2008 e 2017 demonstra que os investimentos de curto prazo agora rendem taxas negativas, oferecendo pouco incentivo à poupança. O instrutor também discute os desafios impostos pelas taxas de juros negativas quando se trata de calcular volatilidades e lidar com títulos de taxa flutuante. Consequentemente, há uma necessidade de modelos novos e alternativos para lidar com essas questões de forma eficaz. Além disso, o instrutor menciona que os bancos muitas vezes tentam mitigar as consequências adversas das taxas de juros negativas incorporando máximos ou dispensando pagamentos de cupons para os clientes.
A palestra em vídeo prossegue explorando estratégias para lidar com taxas de juros negativas e determinar a volatilidade implícita para opções de preços. Isso é crucial porque, em um cenário de taxas de juros negativas, as atividades de negociação de derivativos podem ser interrompidas. Ao usar o modelo Black-Scholes tradicional para calcular as volatilidades implícitas, a saída pode ser "NaN" (não um número). Uma abordagem para enfrentar esse desafio é utilizar volatilidades implícitas deslocadas. Isso envolve a incorporação de um parâmetro de deslocamento adicional no modelo de Black-Scholes para contabilizar a taxa de juros negativa máxima. No entanto, é importante monitorar esse parâmetro de mudança de perto. Se se aproximar do forward negativo, o problema surge mais uma vez.
O palestrante discute ainda o uso da variante deslocada da LIBOR para precificar swaptions, destacando como ela resolve o problema das taxas de juros negativas. A introdução de um parâmetro de turno extra, mesmo que o strike considerado seja negativo, não afeta o resultado da precificação. Isso ocorre porque o modelo deslocado garante que as taxas permaneçam acima da faixa negativa, dada a natureza log-normal do modelo. Além disso, é crucial associar o parâmetro de deslocamento ao vencimento e prazo do ativo subjacente. Para ilustrar esses conceitos, o palestrante fornece representações visuais da distribuição log-normal e mostra os preços das opções sob diferentes parâmetros de turno.
Expandindo a noção de mudança dentro da fórmula de Black-Scholes, a palestra investiga o impacto dos parâmetros de mudança nas volatilidades e formas de distribuição. Uma implementação de código é apresentada para precificação, utilizando simulação de Monte Carlo e expressões analíticas. A simulação envolve a geração de caminhos para o Movimento Browniano Geométrico (GBM) deslocado e o cálculo do preço médio. O código também ajusta os pontos iniciais, gera densidades para o modelo local com um deslocamento para theta e plota densidades log-normais para diferentes parâmetros de deslocamento. A importância de manter o parâmetro de deslocamento o mais próximo possível de zero é enfatizada, pois parâmetros de deslocamento mais altos podem afetar significativamente a distribuição e a volatilidade.
O professor enfatiza o aspecto crucial de contabilizar com precisão os parâmetros de mudança ao precificar as trocas, destacando que mesmo um pequeno erro pode levar a erros significativos de precificação. A palestra consolida os conceitos abordados, incluindo a precificação de caplets e pisos, swaps de taxas de juros, precificação de swaptions usando o modelo Black, taxas de juros negativas e a aplicação do truque de Jamshidian na precificação de swaptions sob o modelo Hull-White. Para finalizar, o professor passa tarefas de casa para os alunos, incentivando-os a aplicar os conceitos aprendidos na aula para calcular volatilidades implícitas e opções de preço.
Na seção final do vídeo, o palestrante discute como precificar uma opção no modelo de linha inteira combinando dois blocos. O objetivo é comparar os resultados com a simulação de Monte Carlo para garantir que o código esteja livre de bugs e erros. A palestra termina com o instrutor incentivando os alunos a aproveitar suas tarefas e aprofundar os tópicos abordados.
A palestra em vídeo fornece uma exploração abrangente de taxas de juros negativas, swaptions de preços e a aplicação de várias técnicas e modelos matemáticos. Ele enfatiza a importância de entender conceitos como o truque de Jamshidian, volatilidades implícitas deslocadas e a influência dos parâmetros de deslocamento nos formatos de preços e distribuição. Ao equipar os alunos com essas ferramentas e insights, a palestra os prepara para navegar pelas complexidades do mundo financeiro, tomar decisões informadas e precificar opções e swaptions com precisão sob condições de mercado desafiadoras.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 8/14, parte 1/4, (Hipotecas e Pré-pagamentos)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 8/14, parte 1/4, (Hipotecas e Pré-pagamentos)
Na palestra, o conceito de precificação de hipotecas é amplamente discutido, destacando a natureza complexa dessa tarefa do ponto de vista da engenharia financeira. O principal desafio reside na gestão dos riscos associados aos pagamentos antecipados de clientes e pagamentos adicionais efetuados sobre as prestações mensais regulares. Dois tipos de hipotecas são especificamente focados: hipotecas de bala e hipotecas de anuidade.
Uma hipoteca de bala implica que os clientes paguem apenas a taxa de juros e o nocional pendente no final do contrato, enquanto uma hipoteca de anuidade envolve a redução gradual do nocional até que nenhum nocional pendente permaneça na conclusão do contrato. Antecipações, riscos de pipeline e a inclusão do comportamento e incentivos das pessoas na precificação de contratos financeiros também são abordados na palestra.
Enfatiza-se que os riscos relacionados a pagamentos antecipados são minimizados para hipotecas de taxa variável, uma vez que os clientes não têm incentivo ideal para fazer pagamentos antecipados. A taxa de pré-pagamento constante é discutida em relação ao gerenciamento de portfólio. Avaliar o perfil de pagamento de uma carteira de hipotecas requer considerar os riscos de pagamento antecipado com base no perfil de pagamento geral, e não em clientes individuais.
A palestra investiga o swap de amortização de índice e como ele pode ser utilizado para igualar os riscos de pré-pagamento dentro do portfólio. Além disso, é explorado o aspecto comportamental dos pagamentos antecipados, levando em conta os incentivos de refinanciamento e a tomada de decisão racional ou irracional dos indivíduos ao decidir alocar recursos extras para sua hipoteca.
São também destacados os riscos enfrentados pelos bancos e outras instituições financeiras, nomeadamente no que diz respeito aos fluxos de caixa das hipotecas e à incerteza que os envolve. Isso inclui o potencial de inadimplência dos clientes e a necessidade de os bancos revenderem as casas, às vezes com prejuízo. A palestra enfatiza a importância da precificação e do gerenciamento de risco na emissão de hipotecas, abordando especificamente o risco de pipeline e o risco de pré-pagamento. O risco de pipeline surge devido ao intervalo de tempo entre a aceitação de uma hipoteca e a assinatura do contrato, o que deixa espaço para mudanças nas taxas de juros durante esse período.
Os riscos associados às hipotecas, como risco de pipeline e risco de pré-pagamento, são mais detalhados. O risco de pipeline refere-se ao risco de um cliente optar por uma taxa de juros mais baixa, o que ocorre quando um cliente tem a opção de executar um contrato a uma taxa mais baixa. Por outro lado, o risco de pré-pagamento refere-se ao desejo do cliente de modificar o contrato e ao risco associado de pré-pagamentos. As instituições financeiras que celebram contratos com clientes enfrentam posições não eclodidas que introduzem riscos adicionais na precificação de derivativos. As hipotecas possuem uma opção incorporada que permite ao credor pagar sua hipoteca mais rapidamente do que o cronograma acordado, resultando em risco de pagamento antecipado. A palestra destaca que é lógico para um credor hipotecário priorizar o pagamento de sua hipoteca em vez de manter uma poupança em uma conta com taxas de juros negativas ou inexistentes.
Embora o preço das hipotecas sob a medida de risco neutro seja importante, a palestra enfatiza que os incentivos do consumidor para contratar ou pagar antecipadamente as hipotecas podem não ser impulsionados apenas pelas circunstâncias do mercado. Fatores como idade ou liberdade financeira podem influenciar o incentivo para pagar antecipadamente as hipotecas e evitar pagamentos mensais. A palestra explora a conexão entre precificação sob a medida de risco neutro e os aspectos comportamentais envolvidos na precificação de pagamentos antecipados. Ele também se aprofunda em dois tipos de esquemas de amortização: hipotecas de anuidade e hipotecas de bala, que garantem que os mutuários reembolsem a quantia inicial emprestada para a compra da casa, juntamente com valores adicionais que representam os custos do empréstimo.
O vídeo explica a relação entre hipotecas, pagamentos antecipados e os riscos enfrentados pelas instituições financeiras. Os pagamentos antecipados feitos pelos mutuários, excedendo seus pagamentos programados, exigem que o banco ajuste seu hedge, levando a custos adicionais. Grandes pré-pagamentos também podem diminuir o fluxo de caixa do banco e a duração do contrato. No entanto, um número significativo de pagamentos antecipados repentinos gera risco de pagamento antecipado que precisa ser analisado e mitigado. Para administrar esses riscos, os bancos criam carteiras de hipotecas e utilizam swaps para compensar os pagamentos de taxas fixas.
O palestrante discute os riscos e lucros associados a hipotecas e pagamentos antecipados. As hipotecas são precificadas no nível do portfólio, com coberturas que consistem em nocionais significativamente maiores. A lucratividade de um banco em uma hipoteca depende de fatores como o valor nocional, a duração do empréstimo e a taxa de juros. Os pagamentos antecipados, no entanto, representam uma perda potencial para o banco. Outros riscos associados às hipotecas incluem risco de pipeline, risco fiscal, risco de inadimplência e risco de colapso do mercado imobiliário. A palestra enfatiza que o plano de amortização escolhido para um financiamento imobiliário pode impactar no valor dos juros acumulados.
O palestrante fornece uma exploração detalhada de diferentes tipos de hipotecas e seus cronogramas de amortização associados. Um desses tipos é a hipoteca de bala, que envolve um único pagamento fixo no final do prazo da hipoteca. Embora isso simplifique as obrigações de pagamento ao longo do prazo, acarreta o risco de um pagamento substancial devido no final. O palestrante sugere que a hipoteca bullet pode ser indicada para pessoas físicas que tenham oportunidades alternativas de investimento, como uma poupança com taxa de juros maior do que a hipoteca. A palestra também oferece uma visão geral dos pagamentos mensais e períodos de competência, fornecendo uma compreensão abrangente das estruturas de pagamento de hipotecas.
Taxas constantes de pré-pagamento associadas a hipotecas são discutidas em detalhes. Essas taxas representam valores fixos que os proprietários optam por pagar antecipadamente para suas hipotecas. A taxa de pré-pagamento é normalmente estimada com base em uma grande carteira de hipotecas e afeta o valor nocional ao longo do período de amortização. Também são mencionadas restrições legais sobre valores de pré-pagamento. O palestrante calcula o valor total dos juros pagos em uma hipoteca usando uma taxa de pré-pagamento e enfatiza a importância de considerar os pré-pagamentos no preço da hipoteca. Experimentos numéricos e exercícios são apresentados para ilustrar os conceitos, e um gráfico e código Python são usados para analisar fluxos de caixa e cronogramas de amortização de forma eficaz.
A palestra enfatiza o impacto das taxas de pré-pagamento na amortização de uma hipoteca ao longo do tempo. Um exemplo é fornecido para uma hipoteca de taxa fixa de 10 anos a uma taxa de juros de 3%, que o banco precisa proteger usando um swap. O experimento compara cenários com e sem pré-pagamentos, demonstrando como os pré-pagamentos diminuem gradualmente ao longo do tempo à medida que o nocional pendente diminui. Os resultados destacam que os pagamentos antecipados podem reduzir significativamente o valor dos juros pagos, mas ainda é necessário um pagamento substancial no final. O palestrante também observa que, na prática, as hipotecas podem ser combinadas com contas de poupança ou derivativos que oferecem retornos mais elevados, além de minimizar a tributação sobre o nocional em aberto.
Além disso, a palestra mergulha na construção de um cronograma de amortização para uma hipoteca de bala usando o código Python. O código permite o cálculo de cronogramas de pagamento com base em determinadas taxas de juros e taxas de pré-pagamento. Ele fornece uma matriz que descreve os pagamentos necessários ao longo da vida da hipoteca. As taxas de pré-pagamento podem ser expressas como porcentagens, tornando-o conveniente para a análise de uma grande carteira de hipotecas. O cronograma de pagamento é afetado quando os pré-pagamentos são introduzidos, mostrando a flexibilidade e a utilidade do código Python para analisar estruturas de pagamento.
O palestrante explica as colunas de uma matriz de pagamento de hipoteca. O tempo é representado na primeira coluna, seguido pela noção pendente na segunda coluna. Pré-pagamento, reembolso e cotação nocional são definidos nas colunas subsequentes. A coluna de pré-pagamento indica a fração do nocional que será pré-paga e é determinada pela taxa de pré-pagamento constante (CPR). Reembolso, na quarta coluna, significa a redução da parcela pendente a cada mês com pagamentos regulares. A quinta coluna representa os pagamentos de juros, enquanto a última coluna exibe as parcelas mensais exigidas. O palestrante apresenta o modelo usando um exemplo de hipoteca bullet de 30 anos sem pré-pagamento.
Em resumo, a palestra oferece uma ampla exploração dos preços de hipotecas, riscos de pré-pagamento e seu impacto nas instituições financeiras. Abrange vários tipos de hipotecas, incluindo hipotecas de bala e hipotecas de anuidade e enfatiza a importância de considerar o comportamento do cliente e os incentivos no preço das hipotecas. A palestra aprofunda os riscos enfrentados pelas instituições financeiras, como risco de pipeline e risco de pré-pagamento, e discute estratégias para mitigar esses riscos por meio de gerenciamento de portfólio e uso de derivativos financeiros como swaps. A palestra também destaca a incerteza em torno dos fluxos de caixa das hipotecas, incluindo a possibilidade de inadimplência dos clientes e a necessidade de os bancos revenderem as casas com perdas potenciais.
Além disso, a palestra reconhece que o preço das hipotecas apenas sob uma medida neutra ao risco pode não capturar toda a gama de incentivos e comportamentos do consumidor. Fatores como idade, liberdade financeira e preferências pessoais podem influenciar significativamente as decisões dos clientes de pagar antecipadamente ou refinanciar suas hipotecas. Portanto, a palestra enfatiza a importância de integrar aspectos comportamentais aos modelos de precificação de hipotecas, considerando as motivações e a tomada de decisão racional/irracional dos mutuários.
O palestrante explora o conceito de taxas de pré-pagamento constantes e sua relação com a gestão de portfólio. Em vez de analisar os riscos de pré-pagamento em nível de cliente individual, a palestra enfatiza a necessidade de avaliar o perfil geral de pagamento de uma carteira de hipotecas. Ao considerar o comportamento de pré-pagamento agregado, os bancos podem gerenciar melhor os riscos associados e usar ferramentas como swaps de amortização de índice para igualar e proteger os riscos de pré-pagamento de forma eficaz.
Além disso, a palestra aprofunda os riscos enfrentados pelas instituições financeiras devido a hipotecas e pagamentos antecipados. Quando os mutuários fazem pagamentos antecipados significativos, são necessários ajustes na estratégia de hedge do banco, resultando em custos adicionais e possíveis interrupções no fluxo de caixa e na duração do contrato. A antecipação repentina de um número significativo de clientes gera risco de antecipação, que deve ser cuidadosamente analisado e protegido para mitigar seu impacto na carteira do banco. O palestrante destaca que os bancos criam carteiras de hipotecas e utilizam swaps para compensar pagamentos prefixados, reduzindo riscos.
A palestra termina com uma discussão sobre a avaliação de títulos hipotecários, observando que ela depende de quantidades observáveis no mercado. Embora esse aspecto seja brevemente mencionado, a palestra implica que uma exploração mais aprofundada dessas quantidades será abordada nas partes subsequentes do curso.
A palestra fornece uma compreensão abrangente de preços de hipotecas, riscos de pré-pagamento e suas implicações para as instituições financeiras. Ele aborda vários tipos de hipotecas, aspectos comportamentais, técnicas de gerenciamento de portfólio e estratégias de mitigação de risco. Ao considerar a complexa dinâmica dos fluxos de caixa de hipotecas, pré-pagamentos e comportamento do cliente, a palestra fornece aos espectadores o conhecimento e as ferramentas necessárias para enfrentar os desafios de precificação e gerenciamento eficaz de carteiras de hipotecas.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 8/14, parte 2/4, (Hipotecas e Pré-pagamentos)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 8/14, parte 2/4, (Hipotecas e Pré-pagamentos)
Além dos tópicos abordados até agora, a palestra explora ainda mais o conceito de hipotecas de anuidade e suas características essenciais. Uma hipoteca de anuidade é um tipo de hipoteca em que a noção pendente diminui gradualmente ao longo do tempo devido a pagamentos regulares. Os pagamentos mensais para hipotecas de anuidade compreendem dois componentes: pagamentos de taxas de juros e cronogramas de pagamento contratuais indicados por "q." Esses reembolsos são estruturados de forma que o valor nocional pendente seja reduzido a cada pagamento até que o pagamento final cubra o saldo restante.
O instrutor explica que as hipotecas com anuidade têm parcelas fixas ao longo da vigência do contrato, garantindo um equilíbrio entre a taxa de juros e a parcela principal. Este saldo resulta em uma soma constante em cada data de pagamento. À medida que o valor nocional pendente diminui, tanto os reembolsos como os pagamentos de taxas de juros seguem tendências opostas. Os juros compostos sobre o valor nocional remanescente diminuem com o tempo. Para calcular o valor correto da parcela, os fluxos de caixa futuros descontados da hipoteca devem ser iguais ao valor do notional pendente. Qualquer pré-pagamento feito deve ajustar o valor do pagamento constante de acordo.
A palestra se aprofunda no cálculo de pagamentos constantes ou anuidades. O valor de uma anuidade é determinado pela soma de todos os fluxos de caixa futuros descontados para o dia atual. Utilizando a fórmula para somas geométricas, pode-se derivar uma expressão analítica para a anuidade. No entanto, se forem feitos pagamentos antecipados, o valor do pagamento constante será alterado, necessitando de um novo cálculo. O palestrante também explica como calcular os pagamentos de juros e principal, bem como ajustar o nocional pendente após os pagamentos antecipados.
Além disso, o palestrante enfatiza a noção de tempo e seu impacto nas hipotecas, amortizações e pagamentos antecipados. À medida que os reembolsos e os pré-pagamentos são feitos, o valor nocional pendente de uma hipoteca diminui, levando a uma diminuição correspondente nos pagamentos mensais. A taxa de pré-pagamento pode ser vista como uma reformulação do pagamento de taxa de juro e está incluída na componente de taxa de juro. Quando um mutuário decide pagar antecipadamente uma parcela, o cronograma de pagamento restante é ajustado para refletir o valor nocional pendente atualizado. Gráficos são apresentados para ilustrar o impacto da variação dos níveis de pré-pagamento no nocional em constante redução, considerando cenários com taxas de pré-pagamento de zero por cento e 12 por cento. A palestra conclui que maiores taxas de antecipação podem dificultar a redução do estoque nocional.
A palestra também investiga a estrutura das hipotecas de anuidade e seu mecanismo de reembolso. Uma hipoteca de anuidade consiste em pagamentos mensais fixos que abrangem componentes de reembolso e taxa de juros. Esses pagamentos fixos garantem uma estrutura de pagamento equilibrada ao longo da vida da hipoteca. O palestrante explora o impacto dos pagamentos antecipados nos pagamentos mensais e explica como o valor do pagamento constante (c) precisa ser recalculado quando os pagamentos antecipados são feitos. Além disso, o valor nocional da hipoteca diminui gradualmente até que não haja mais nenhum nocional pendente. No final do período da hipoteca, todos os pagamentos chegam a zero, facilitando uma transição suave na presença de taxas de pré-pagamento. O palestrante fornece o código Python para o cronograma de reembolso e explica seu significado.
Além disso, a palestra discute as etapas envolvidas no cálculo do novo notional após um reembolso ou pré-pagamento em uma hipoteca. Este processo é iterativo e considera o nocional anterior, taxas de reembolso, taxas de pré-pagamento e pagamentos de taxas de juros ao longo da vida do contrato. Se o pré-pagamento for dependente do tempo ou estocástico, ajustes precisam ser feitos nos cálculos. Além disso, a palestra destaca que os pagamentos antecipados reduzem os custos mensais, enquanto uma taxa de pagamento antecipado zero leva a prestações constantes ao longo da vida da hipoteca. Explica-se que se o pagamento antecipado ocorrer apenas em uma data específica, as parcelas permanecerão constantes até aquela data, após a qual tudo será recalculado.
O palestrante passa a explicar como as taxas de pré-pagamento de hipotecas são estimadas a partir de uma perspectiva de gerenciamento de portfólio. A taxa de pré-pagamento, representada pelo coeficiente lambda, é um fator crucial na gestão do portfólio, pois afeta o desempenho e o risco do portfólio. Estimar a taxa de pré-pagamento envolve considerar dados históricos e analisar vários fatores que influenciam a decisão de um mutuário de pagar antecipadamente sua hipoteca. Esses fatores podem incluir taxas de juros, metas financeiras individuais e condições de mercado. A palestra explora como as quantidades observáveis do mercado impactam a taxa de pré-pagamento e discute métodos para estimá-la com base em uma carteira de hipotecas.
Em seguida, a palestra aprofunda o conceito de incentivo de refinanciamento e sua relação com os modelos de pré-pagamento de hipotecas. Os mutuários são mais propensos a pagar antecipadamente suas hipotecas quando observam uma taxa de juros mais baixa em comparação com a taxa de sua hipoteca atual. Esse incentivo de refinanciamento é um fator-chave em qualquer modelo de pré-pagamento e está intimamente ligado às taxas de mercado. Além disso, o tipo de hipoteca, seu vencimento e as garantias associadas a ela podem afetar as taxas de hipoteca. O palestrante destaca que a atratividade do colateral influencia na taxa de juros oferecida pelos bancos. Outros fatores que podem afetar as taxas de pré-pagamento incluem a idade da hipoteca, o mês do ano, considerações fiscais e esgotamento.
A palestra discute os fatores que afetam as taxas de antecipação, considerando tanto a situação do mercado quanto o perfil de cada cliente. O incentivo da taxa de juros é identificado como o fator mais significativo que influencia as taxas de pré-pagamento. A determinação do incentivo de pagamento antecipado envolve a avaliação das quantidades observáveis no mercado. A palestra sugere que a referência mais razoável para precificar uma hipoteca é uma taxa de swap, que os bancos usam para derivar a taxa de hipoteca para novos clientes. O fator de risco de liquidez determina um spread adicional para a taxa de hipoteca. Os pagamentos antecipados são vistos como um custo para os bancos, pois reduzem a posição de cobertura, e a determinação da taxa de hipoteca envolve a avaliação dos riscos e lucros associados.
O foco então muda para a função de incentivo dos pagamentos antecipados de hipotecas. A taxa de swap depende dos valores de pré-pagamento, que estão diretamente relacionados à taxa de hipoteca inicial de uma hipoteca de taxa fixa e à taxa associada ao refinanciamento. O coeficiente de risco de liquidez e a margem de lucro do banco contribuem ainda mais para determinar a nova taxa de hipoteca. No entanto, a palestra reconhece que nem sempre as pessoas se comportam de forma lógica ou racional ao decidir pagar antecipadamente sua hipoteca. Por exemplo, os indivíduos podem optar por pagar antecipadamente quando não for necessariamente ideal, como quando recebem dinheiro extra. A função de incentivo é definida como a diferença entre a taxa de hipoteca atual e a nova taxa de hipoteca e é usada para avaliar se faz sentido refinanciar ou pagar antecipadamente uma hipoteca.
O instrutor enfatiza a importância de entender a forma da função de incentivo em diferentes circunstâncias de mercado. O gráfico que representa a função de incentivo exibe pontos de interrupção e uma forma sigmóide, que reflete tanto a função de incentivo quanto o comportamento não racional dos tomadores de empréstimo. A palestra destaca a importância de considerar pequenos detalhes ao implementar funções de incentivo, pois mesmo variações sutis podem ter um impacto crucial.
A palestra termina com o palestrante discutindo o conceito de pré-pagamento de hipotecas. À medida que a taxa de swap diminui ou chega a zero, o incentivo para o pagamento antecipado diminui. Nos casos em que as taxas de swap se tornam negativas, o incentivo pode atingir seu nível máximo. A forma do gráfico da função de incentivo é mais explorada, com atenção especial dada à diferença entre a antiga taxa de hipoteca e os valores de swap. Ressalta-se que, embora a forma seja geralmente decrescente, é essencial prestar atenção a pequenos detalhes ao implementar funções de incentivo.
A palestra fornece uma compreensão abrangente das hipotecas com anuidade, seus mecanismos de reembolso, o cálculo de pagamentos constantes, o impacto dos pagamentos antecipados, a estimativa das taxas de pagamento antecipado, os incentivos de refinanciamento e os fatores que influenciam o comportamento do pagamento antecipado. Ao considerar esses aspectos, os indivíduos podem tomar decisões informadas sobre suas hipotecas e entender a dinâmica do mercado hipotecário.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 8/14, parte 3/4, (Hipotecas e Pré-pagamentos)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 8/14, parte 3/4, (Hipotecas e Pré-pagamentos)
Na palestra de hoje, pretendemos estabelecer uma forte conexão entre incentivos de refinanciamento, pré-pagamentos e vários tipos de hipotecas. Começamos examinando o conceito de uma taxa de pagamento constante e sua relação com as hipotecas como swaps amortizáveis sem incerteza. Com base nessa base, introduzimos o conceito de swap de amortização de índice, que incorpora a disposição dos clientes de pagar antecipadamente ou refinanciar com base nas condições de mercado. Isso nos leva ainda a vincular os incentivos de refinanciamento e a taxa de swap de referência na precificação de derivativos, aplicada especificamente a uma carteira de hipotecas que amortiza ao longo do tempo.
Para entender melhor a dinâmica envolvida, exploramos as funções determinísticas e estocásticas dos cronogramas de amortização. Enquanto uma função determinística é suficiente em casos mais simples, o cenário mais avançado apresenta estocasticidade, impulsionada principalmente pela taxa de swap. Essa estocasticidade captura o comportamento irracional dos clientes, o que é importante considerar ao observar as taxas de mercado e incorporá-las à precificação de um swap amortizante. No entanto, precificar uma noção estocástica apresenta desafios, e uma abordagem padrão pode não ser suficiente, exigindo o envolvimento de contrapartes avançadas para criar tais derivativos.
Nós nos aprofundamos no impacto de fatores estocásticos, como a taxa de swap e a volatilidade, no preço das hipotecas e no risco de pagamento antecipado. Empregar o lema de Ito torna-se essencial para verificar se as quantidades observadas aderem às propriedades do martingale, particularmente quando o fator observado é uma função da Libor. Vale ressaltar que o risco de pagamento antecipado existe apenas em hipotecas de taxa fixa, pois as hipotecas de taxa flutuante não têm incentivo para pagamento antecipado. Compreendendo os princípios por trás dos swaps de amortização de índice, podemos gerenciar com eficácia o risco de pré-pagamento e reduzir o risco de taxa de juros.
Expandindo nosso conhecimento, apresentamos o conceito de swap de amortização de índice - um swap de taxa de juros de balcão que combina um swap simples com absorção parcial. Normalmente projetado para investidores sofisticados devido aos seus grandes valores nocionais, esse derivativo exótico não é comumente incluído nas avaliações XVA. No entanto, explorar o preço das hipotecas e sua conexão com o comportamento de pré-pagamento, incentivos de refinanciamento e observações de mercado tem um valor significativo. Esquemas de amortização determinística servem como instrumentos comumente negociados, facilitando seu processamento e integração na estrutura de um swap de amortização de índice, que carrega inerentemente a opcionalidade embutida.
Nosso foco agora muda para a modelagem do nocional de um swap de amortização de índice, que encapsula a possibilidade de amortização estocástica por meio de uma função complexa ligada ao tipo de hipoteca. A taxa de pré-pagamento, por sua vez, torna-se uma função dependente da taxa de swap, enquanto o incentivo de refinanciamento depende de estimativas históricas derivadas de vários fatores, como idade, renda, riqueza e impostos. Estimar os coeficientes envolvidos nesses modelos de pré-pagamento requer dados históricos e análises detalhadas. Como a carteira de clientes de cada banco é diferente, a determinação desses coeficientes torna-se um estudo extenso e exclusivo de cada instituição.
Na palestra, o palestrante também discute a estimação de coeficientes usados em modelos de pré-pagamento de hipotecas, enfatizando que eles não são orientados pelo mercado, mas baseados apenas em estimativas de comportamento histórico. Além disso, é definido o conceito de index amortizing swap, destacando a sua utilização de incentivos de refinanciamento e taxas de pré-pagamento, que são determinadas com base em dados históricos, para estabelecer valores nocionais de hipoteca. Avaliando essas expectativas, pode-se determinar o valor global de uma carteira de hipotecas e fazer os ajustes necessários de acordo com as condições do mercado.
O instrutor discorre ainda sobre as complexidades envolvidas na decomposição de notionals, explicando que eles não podem ser divididos, pois dependem da taxa de swap, que, por sua vez, não é independente da taxa de swap da Libor. Embora assumir a independência seja possível, isso não é recomendado sem um estudo cuidadoso do impacto da correlação. Em vez disso, é aconselhável empregar a simulação de Monte Carlo. Todo esse processo envolve várias etapas, incluindo precificação de uma taxa de swap, estimativa da função de refinanciamento, construção de uma função com base no tipo de hipoteca e ajuste de nocionais. O próximo bloco da palestra se concentrará na simulação do nó norte, que fornece informações sobre como os nocionais se comportam ao longo do tempo com base no tipo de hipoteca. É crucial abordar esse processo com atenção meticulosa aos detalhes e consideração cuidadosa de cada etapa envolvida.
Em resumo, a palestra de hoje enfatizou a interação entre incentivos de refinanciamento, pagamentos antecipados e diferentes tipos de hipotecas. Exploramos o conceito de amortizar swaps, com e sem incerteza, e introduzimos o index amortizing swap, que incorpora o comportamento de pré-pagamento orientado pelo mercado. Ao vincular incentivos de refinanciamento, taxas de swap de referência e preços de derivativos, podemos gerenciar com eficiência a amortização de uma carteira de hipotecas ao longo do tempo.
Fatores estocásticos, como a taxa de swap e a volatilidade, desempenham um papel significativo na precificação e na avaliação do risco de pré-pagamento. O uso do lema de Ito torna-se essencial para avaliar com precisão as propriedades martingale das quantidades observadas. Também é importante diferenciar entre hipotecas de taxa fixa e taxa flutuante ao considerar o risco de pagamento antecipado.
Nós nos aprofundamos nos meandros do swap de amortização de índice, um derivativo exótico que combina um swap simples com absorção parcial. Embora normalmente projetado para investidores sofisticados, ele oferece informações valiosas sobre preços de hipotecas, comportamento de pré-pagamento e observações de mercado. Esquemas de amortização determinística se alinham bem com esse tipo de swap, simplificando seu processamento e incorporando opcionalidade embutida.
A palestra enfatizou a modelagem do notional de um index amortizing swap, considerando a amortização estocástica e a intrincada função ligada ao tipo de hipoteca. A estimativa de coeficientes para modelos de pré-pagamento requer dados históricos e análises detalhadas, variando entre os bancos com base em suas carteiras de clientes exclusivos.
Além disso, discutimos os desafios associados à decomposição de nocionais e a importância de compreender a correlação entre as taxas de swap e as taxas Libor. O emprego da simulação de Monte Carlo é recomendado para precificar derivativos com noções estocásticas, oferecendo uma abordagem abrangente para lidar com a complexidade do processo.
Esta palestra esclareceu a conexão entre incentivos de refinanciamento, pagamentos antecipados e vários tipos de hipoteca. Ao incorporar observações de mercado, dados históricos e técnicas avançadas de modelagem, podemos gerenciar com eficácia o risco de pré-pagamento e navegar pelas complexidades da precificação de carteiras de hipotecas.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 9/14, parte 1/2, (Modelos Híbridos e Taxas de Juros Estocásticas)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 9/14, parte 1/2, (Modelos Híbridos e Taxas de Juros Estocásticas)
Na palestra, o foco são os modelos híbridos e sua importância dentro das carteiras das instituições financeiras. Esses modelos são utilizados para simular cenários futuros para diversas classes de ativos, incluindo swaps de taxas de juros, contratos de câmbio e ações. O palestrante inicia discutindo a importância da utilização de modelos híbridos para cálculos de xVA (ajustes de avaliação) e VaR (valor em risco). Eles introduzem o modelo híbrido Black-Scholes, que estabelece uma conexão entre ações e taxas de juros e pode ser facilmente estendido para preços forex. Este modelo serve como base para futuras discussões sobre modelos estocásticos de volatilidade.
A palestra é dividida em blocos, com o segundo bloco centrado em modelos estocásticos de volatilidade. O modelo Heston-Hull-White é discutido, o que envolve a incorporação da volatilidade estocástica na estrutura do modelo híbrido. O palestrante apresenta uma visão geral da dinâmica do modelo e destaca sua aplicação na simulação de potenciais valores futuros de carteiras. O objetivo é avaliar riscos e avaliar o valor de carteiras que englobam múltiplas classes de ativos, como taxas de juros, ações, câmbio, commodities, crédito e inflação. O palestrante enfatiza a correlação entre diferentes classes de ativos e a necessidade de contabilizar suas interdependências.
A palestra também enfatiza a calibração de equações diferenciais estocásticas multidimensionais (SDEs) para cotações de mercado, especialmente para simular processos correlacionados de diferentes classes de ativos. Os modelos híbridos são particularmente úteis para pagamentos híbridos e foram inicialmente populares para precificar derivativos exóticos. No entanto, devido a considerações de custo e restrições regulatórias, eles encontraram mais eficiência na estrutura xVA e hVAR (valor híbrido em risco). O conceito de efeito netting, que considera os valores de compensação de diferentes classes de ativos devido às suas correlações, destaca-se como um fator importante na avaliação da carteira e no cálculo da exposição.
Embora os modelos híbridos ofereçam benefícios na avaliação de opções de compra e possíveis exposições futuras, a palestra reconhece os desafios associados a esses modelos. O instrutor sugere manter os modelos o mais simples possível para facilitar avaliações rápidas, pois a velocidade é fundamental na precificação de produtos derivados. A calibração para dados de mercado e a consideração de correlações entre diferentes equações diferenciais estocásticas são essenciais. Algumas aproximações podem ser necessárias ao lidar com correlações diferentes de zero. A palestra sugere simulações de Monte Carlo ou equações diferenciais parciais (PDEs) como métodos para avaliar modelos híbridos.
As limitações do uso de PDEs para avaliação de carteiras com ativos de diferentes classes são discutidas devido à alta dimensionalidade envolvida. A palestra defende o uso de simulações de Monte Carlo, que fornecem uma abordagem mais prática. Avaliação e calibração eficientes são destacadas como cruciais para a avaliação do portfólio, já que normalmente são necessárias milhares de avaliações. O palestrante menciona a extensão do modelo Black-Scholes com Hull-White para taxas de juros, enfatizando o papel da estocasticidade e da dependência temporal em modelos híbridos. A mecânica restante do modelo permanece semelhante ao modelo padrão de Black-Scholes.
O palestrante também se aprofunda no conceito de mudar a medida de risco neutro para a medida T forward para alavancar as vantagens dos modelos híbridos ao lidar com descontos estocásticos. Eles discutem o cálculo das expectativas para os tipos de retorno europeus com base no tempo e nas variáveis subjacentes, usando formas integrais e as derivadas Radon-Nikodym de transformações de medida. A dinâmica do estoque e do estoque descontado é explicada, enfatizando a necessidade de serem processos de martingale. O conceito de preço futuro das ações é introduzido para simplificar o processo.
Mais explicações são fornecidas sobre a derivação da equação diferencial estocástica (SDE) do preço da ação a termo e a importância de realizar transformações logarítmicas para torná-la linear em variáveis de estado. O palestrante aplica o lema de Ito ao preço de ações a termo SDE e aborda a transformação de medida necessária para o processo. O SDE driftless resultante apresenta dois movimentos brownianos separados, correspondentes às taxas de ações e de juros, com correlação entre eles. A fatoração dos dois movimentos brownianos é discutida em termos de suas propriedades distributivas.
A dinâmica do estoque a termo é explorada na palestra usando um modelo híbrido com duas equações diferenciais estocásticas. Ressalta-se que a volatilidade do estoque a termo não é mais constante, mas influenciada pela volatilidade das taxas de juros. O palestrante discute o cálculo de volatilidades implícitas no contexto de taxas de juros estocásticas. Eles sugerem o uso de preços para determinar as volatilidades implícitas e destacam a importância de alternar entre medidas neutras ao risco e T-forward para excluir o desconto estocástico dos retornos. Esta seção destaca as complexidades envolvidas no trabalho com taxas de juros estocásticas na engenharia financeira.
A palestra apresenta um modelo estocástico de taxa de juros com um processo unidimensional e uma função de volatilidade dependente do tempo que lembra a equação de Black-Scholes sem taxas de juros. O componente de desconto é fatorado fora da expectativa, e o processo de precificação para opções europeias envolve apenas o valor constante da integral da função dependente do tempo. O palestrante também apresenta o método de custo para precificação, aproveitando a afinidade do modelo Black-Scholes e fornece insights sobre como o desconto estocástico é tratado nessa abordagem.
No segmento subsequente, o palestrante discute o processo de integração necessário para obter a expressão para a constante "c" e sua relevância na precificação com uma taxa de juros estocástica. Eles explicam que o modelo de Black-Scholes com uma taxa de juros estocástica pode representar os preços das opções européias como uma equação modificada de Black-Scholes com volatilidade ajustada. No entanto, nota-se que mesmo com uma equação diferencial estocástica bidimensional para a taxa de juros, não há impacto na volatilidade implícita para opções de ações. A inclusão de taxas de juros resulta apenas em uma volatilidade dependente do tempo para as ações, sem estocasticidade adicional, levando a uma volatilidade plana em diferentes preços de exercício. O palestrante realiza um experimento para ilustrar a influência de diferentes parâmetros na estrutura a termo da volatilidade implícita.
A palestra aprofunda ainda mais a utilização de valores futuros na calibração da volatilidade implícita do preço da opção usando dados reais. O impacto da velocidade de reversão à média (lambda) na estrutura a termo da volatilidade implícita das ações é discutido, juntamente com a volatilidade das taxas de juros. O palestrante destaca que a fixação de um desses parâmetros pode resultar em um formato semelhante de volatilidades implícitas, simplificando o processo de calibração. Além disso, o efeito da correlação nas volatilidades implícitas é abordado, onde a positividade ou negatividade da variância geral de sigma_f impacta as volatilidades implícitas de acordo.
A palestra enfatiza a importância dos modelos híbridos nas carteiras das instituições financeiras, principalmente para cálculos de xVA e VaR. Ele explora a dinâmica e as complexidades dos modelos de volatilidade estocástica, discute a calibração de equações diferenciais estocásticas multidimensionais e destaca as correlações entre diferentes classes de ativos. A palestra também aborda a aplicação de transformações de medidas, a derivação de SDEs de preços de ações a termo e os desafios e considerações relacionados às taxas de juros estocásticas. A calibração das volatilidades implícitas e o impacto de vários parâmetros na estrutura a termo da volatilidade implícita são também abordados.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 9/14, parte 2/2, (Modelos Híbridos e Taxas de Juros Estocásticas)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 9/14, parte 2/2, (Modelos Híbridos e Taxas de Juros Estocásticas)
Nesta palestra, o foco está em modelos híbridos avançados, particularmente modelos híbridos de volatilidade estocástica, como os modelos full white Scholes-Black, Heston e Shobel-Zoo. O palestrante demonstra o impacto de diferentes coeficientes de correlação no payoff híbrido de uma cesta composta por uma ação e um título. Técnicas de simulação eficientes para esses modelos híbridos usando simulação de Monte Carlo também são discutidas.
A palestra aprofunda o modelo Shobel-Zoo full white, que estende o modelo Black-Scholes, introduzindo um processo normalmente distribuído para volatilidade. No entanto, tem limitações devido ao seu modelo estrutural. O palestrante discute as restrições e limitações do modelo Schobel-Zhu em comparação com o modelo Heston. A estrutura de volatilidade do modelo Schobel-Zhu é menos flexível, resultando em uma gama mais limitada de desvios e sorrisos de volatilidade implícita em comparação com o modelo Heston.
Outro modelo discutido é o modelo Shwartz-Zhao, que introduz um processo adicional para sigma ao quadrado e estende o conjunto de variáveis de estado. No entanto, resolver a função característica analiticamente torna-se computacionalmente caro devido ao complexo conjunto de equações de Riccati envolvidas. O palestrante mostra as formas das volatilidades implícitas e distorções para diferentes parâmetros e as compara com o modelo de Heston.
O impacto das correlações na precificação de compensações híbridas é explorado. Um experimento é conduzido para avaliar o valor da derivada para diferentes correlações entre movimentos de ações e taxas de juros. A importância de calibrar as correlações com os dados de mercado antes de calibrar outros parâmetros do modelo é enfatizada. A palestra menciona brevemente métodos de discretização mais avançados para modelos híbridos que serão discutidos posteriormente.
A palestra se concentra em estender a flexibilidade e calibração do modelo Heston com taxas de juros estocásticas. A introdução de uma dimensão extra para taxas de juros cria desafios com métricas de covariância instantânea. As aproximações são usadas para encontrar a função do conector e resolver o problema de correlação. É destacada a importância de manter a correlação entre estoque e taxas de juros para avaliar a função característica e calibrar o modelo para dados de mercado.
Métodos de aproximação, como o método delta e expansão em série de Taylor, são discutidos para simplificar a avaliação de variância e funções características. O palestrante fornece fórmulas e técnicas para aproximar variâncias e discute as limitações dessas aproximações.
A função dependente do tempo da volatilidade das ações e o mapeamento da função ao longo do tempo são explicados, juntamente com o método de simulação de discretização de Euler. O palestrante menciona que, posteriormente, irão comparar as estimativas da simulação com a força bruta de Monte Carlo e a transformação de Fourier. A etapa iterativa do método de discretização de Euler para aproximar a integral também é abordada.
A palestra aborda a questão da atingibilidade zero pelos caminhos de volatilidade no modelo CIR e fornece correções para a discretização de Euler. Ressalta-se a importância de manter as variâncias dos modelos híbridos o mais independentes possível para melhores resultados de simulação. O processo para x(t) é discutido, incluindo sua matriz de correlação e decomposição de Cholesky, destacando a necessidade de manter a independência da variância.
Os desafios de lidar com matrizes definidas não positivas em engenharia financeira são discutidos, e a importância de ajustar as correlações para satisfazer a condição de termos positivos sob a raiz quadrada é enfatizada. A palestra também aborda a forma genérica de discretização e etapas importantes para a modelagem de taxas de juros estocásticas.
O palestrante apresenta o truque e a representação para simulação quase exata do modelo Heston, aplicável também ao modelo Heston-Hull-White. É explicada a simplificação alcançada através de casos especiais para o processo de variância e a avaliação de integrais usando discretização de Euler e distribuições qui-quadrada não centrais. O conceito de simulação quase exata é discutido, enfatizando a importância do processo de variância na determinação da precisão. O palestrante destaca a necessidade de usar um vetor inteiro de amostras para v vida e estabelece a ordem de simulação como primeiro amostrando o processo de variância, seguido da taxa curta.
O palestrante apresenta uma visão geral de uma simulação realizada no modelo Heston for White e a compara com outros métodos. A discretização de Euler, a simulação quase exata e o método COS (Characteristic Function-Based Option Pricing Method) são comparados. Os resultados demonstram que todos os métodos apresentam bons resultados. O palestrante compartilha o código da simulação, incluindo a configuração do modelo Heston for White e a discretização tridimensional do modelo híbrido usando o método de Euler. Os ajustes são feitos para garantir que as realizações da variação sejam limitadas e mínimas a partir de zero. O método COS para o modelo Heston for White também é discutido, e a aproximação para a função característica é derivada e codificada.
O foco muda para a comparação de diferentes métodos para modelos híbridos e taxas de juros estocásticas. Os resultados da simulação de Monte Carlo mostram boa precisão com 10.000 amostras, mas um número maior de caminhos de Monte Carlo é recomendado para melhorar a precisão. Vários modelos híbridos, como os modelos Black-Scholes, Heston e Schulz-Zucchi, são cobertos. A palestra também aborda a aplicação de modelos híbridos na precificação de diferentes classes de ativos em uma única avaliação e seu uso em cálculos de xVA. Dois exercícios são atribuídos aos alunos, um sobre modelos avançados como o Heston CIR e outro sobre o desenvolvimento de uma simulação de Monte Carlo.
Na parte final da palestra, o palestrante discute o desenvolvimento de uma simulação de Monte Carlo usando um modelo branco para taxas de juros estocásticas. Sugere-se derivar as equações diferenciais ordinárias correspondentes para obter simulações de Monte Carlo mais rápidas que permitem passos maiores. Esta abordagem será comparada com o método de discretização de Euler. O palestrante encerra a palestra e expressa expectativa pela presença dos alunos na próxima sessão.
Esta palestra cobre vários modelos híbridos avançados, suas limitações, técnicas de calibração, impacto de correlações na precificação, métodos de aproximação, técnicas de simulação e comparações entre diferentes métodos. O foco é entender as complexidades desses modelos e suas aplicações práticas na engenharia financeira.
e uma tentativa de estender o modelo usando uma nova variável não é bem-sucedida. Em vez disso, a abordagem é usar aproximações para encontrar a função conectora C para resolver o problema de correlação entre ações e taxas de juros. Historicamente, a correlação entre as taxas de juros de curto prazo e o mercado de ações não é forte, mas varia dependendo das circunstâncias econômicas e do mercado como um todo.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 10/14, parte 1/3, (Câmbio (FX) e Inflação)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 10/14, parte 1/3, (Câmbio (FX) e Inflação)
O instrutor mergulha no reino da engenharia financeira, concentrando-se em duas classes de ativos cruciais: câmbio e inflação. Ele fornece uma compreensão abrangente do processo de modelagem para cada classe de ativos e demonstra como as opções podem ser precificadas de acordo. Além disso, o instrutor se aprofunda na inclusão da volatilidade estocástica e das taxas de juros estocásticas na avaliação desses ativos.
A palestra começa explorando a história do câmbio, destacando seu crescimento significativo nos últimos anos atribuído à globalização. O instrutor discute o impacto do padrão-ouro, que limitava a propriedade privada da moeda, e como o sistema Bretton Woods estabeleceu a estrutura atual de várias moedas lastreadas em ouro. A palestra termina com a atribuição de tarefas de casa para reforçar o material abordado.
Além disso, o vídeo investiga o aspecto histórico das moedas e o papel do ouro dentro delas. Especificamente, descreve a transição ocorrida em 1971, quando os Estados Unidos deixaram de usar o ouro como padrão para determinar o valor de sua moeda. Essa mudança fundamental levou ao atual sistema mundial em que as moedas são trocadas com base em sua força relativa, em vez de serem lastreadas em ouro.
A avaliação de riscos é outro tópico significativo abordado no vídeo. Ele explora os vários riscos que os investidores podem encontrar ao se envolver com títulos, câmbio e inflação. A palestra elucida as intrincadas relações e complexidades associadas a esses fatores de risco. A determinação das taxas de câmbio por meio da dinâmica de oferta e demanda também é amplamente discutida. O vídeo enfatiza como os bancos centrais manipulam essas taxas por meio da utilização de reservas. Além disso, dissipa a noção de que o ouro é um investimento e esclarece que possuir ouro não é uma necessidade para os investidores.
Os conceitos de engenharia financeira ganham destaque, com o vídeo mostrando a replicação de um contrato de câmbio a termo. Um exemplo é fornecido para ilustrar o início de um contrato de câmbio a termo e como a taxa de câmbio entre as moedas originais e a nova moeda é determinada. A aplicação da engenharia financeira na precificação de contratos de câmbio a termo também é examinada. O vídeo demonstra o cálculo da taxa de encaminhamento, que é derivada da multiplicação da taxa spot pela taxa de efeito.
A palestra aprofunda ainda mais o conceito de engenharia financeira, explorando sua aplicação na precificação de ativos e passivos. A equivalência de duas abordagens de precificação é demonstrada, permitindo o cálculo de uma taxa a termo usando essas abordagens.
Gerenciar a exposição a moedas estrangeiras e inflação por meio de derivativos é um aspecto significativo da engenharia financeira. A palestra destaca a determinação de uma taxa a termo, que depende da taxa de câmbio pela qual um país trocará sua moeda por outro. Além disso, o spread básico ajusta a diferença na demanda e oferta de várias moedas.
As complexidades do câmbio (FX) e da inflação são explicadas, com a palestra enfatizando que regras diferentes se aplicam dependendo do tipo específico de contrato de swap cambial que está sendo executado.
Avaliar um contrato de câmbio considerando os efeitos das taxas de câmbio e descontos é amplamente discutido. O instrutor demonstra o processo de cálculo, incluindo a utilização de um contrato de câmbio a termo para o mesmo fim.
Finalmente, a palestra explora como o câmbio (FX) e a inflação impactam os swaps. Ele se aprofunda no cálculo do valor do swap em moedas nacionais e estrangeiras enquanto contabiliza as flutuações da taxa de câmbio.
Financial Engineering Course: Lecture 10/14, part 2/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
Financial Engineering Course: Lecture 10/14, part 2/3, (Foreign Exchange (FX) and Inflation)
The instructor's focus is on pricing options related to foreign exchange or off options, utilizing the Black-Scholes framework as a starting point. The lecture extensively covers the derivation of differential equations for domestic risk-neutral measures and their impact on the dynamics of stochastic differential equations. To illustrate these concepts, Python experiments are conducted, comparing the Western Corridor model in two currencies using both Monte Carlo simulation and Fourier transformation with the COS method. The section also delves into the dynamics of the foreign exchange process and the establishment of martingales as market quantities and their corresponding value.
Moving forward, the lecture addresses the dynamics of foreign exchange (FX) and inflation. It begins by defining a generic effects process and then focuses on pricing, transitioning to the risk-neutral domestic measure for FX. The lecture explains the utilization of the high function to manage foreign money savings accounts, which are subsequently exchanged in domestic amounts and discounted using the domestic money savings account. By applying the Ethos lemma and simplifying the equation, the lecture concludes that the dynamics of FX and inflation do not represent a marked yield under this measure. However, valuable insights are provided that can be applied effectively.
A significant topic covered by the speaker is the process of measure transformation from E to Q, creating a new process used for option pricing evaluation. The derived process represents the FX process under the risk-neutral measure of domestic risk information, ensuring that when foreign money savings accounts are exchanged for local currency, the quantity is marked. This enables the pricing of European options using Black-Scholes equations, with the only differences being the discounting of options under the risk-neutral measure and the inclusion of the drift term rd-rf. The FX market model is an extension of a standard log-normal model, and European options can be priced using the same methodology of changing measures and identifying martingales.
Expanding on the foreign exchange market, the lecture focuses on augmenting the Black-Scholes model with stochastic volatility and stochastic interest rates. While previous lectures discussed deterministic interest rates, introducing stochasticity becomes essential for XVA calculations and VAR simulations. Additionally, the correlation between different stochastic factors is emphasized, highlighting the potential pitfalls of relying solely on deterministic interest rates. The foreign exchange market's complexity arises from its non-tradable nature and the necessity to exchange assets across different columns to enforce martingale conditions. Furthermore, the effects world introduces an additional term in the stochastic differential equations that requires careful analysis and calibration to the market.
The speaker delves into the calibration of various asset classes, including stocks from small companies and interest rate products, one of the largest asset classes globally. It is noted that attempting to calibrate all parameters simultaneously can be challenging, leading to the recommendation of calibrating individual parameters and incorporating them into the stock dynamics. The lecture also explores the evaluation of European options through Fourier transformation, discussing the approximations employed. Furthermore, the importance of defining measures for interest rates in the foreign market and transforming them into the risk-neutral measure under domestic markets is addressed.
Affine models for zero coupon bonds and binary savings accounts are discussed, with a focus on their dynamics and the calibration of options, caps, and tablets. The use of stochastic differential equations to derive models for effects and leverage calibrated parameters for each individual process is proposed. The lecture delves into the complexities of pricing derivatives with intricate drift terms, emphasizing the accurate handling of this additional term. The primary driver of option pricing is the volatility corresponding to the FX process, with higher-order returns influencing interest rate volatility.
Volatility's significance in foreign exchange is emphasized by the speaker, particularly due to the non-linear nature of the process, including the presence of the square root of a term. The challenges associated with drift handling and the necessity of employing a stochastic interest rate are discussed. Two stochastic differential equations corresponding to the foreign zero coupon and couple with domestic measures are explained, emphasizing the requirement for them to be martingales under specific conditions. The importance of correlation between foreign markets and FX is highlighted, emphasizing that it cannot be assumed to be zero. Finally, the speaker derives the pricing equation for European options for FX, incorporating all the discussed concepts.
The professor introduces the payoff of a European call option with a maximum value of yt minus k, involving a discounting process with the domestic money savings account. To address stochastic interest rates, the first step is to transition from a measure flow to the t-forward measure associated with the bond maturity capital t. As the dynamics of FX exhibit no drift, the professor only needs to incorporate volatilities into the diameter. Applying the Ethos lemma to this quantity, the professor includes three different elements in the dynamics, including the previously discussed zero components and the dynamics of yt in the FX process.
Moving forward, the speaker delves into the dynamics of the FX forward and variance processes in the short-rate model, where the volatility parameter remains constant. However, the volatility contribution from FX is time-dependent and not constant, resulting in a reduction of dimensionality from four to two. The speaker also mentions the additional quantum correction that arises when switching measures from risk-neutral to domestic t-forward measure, which poses challenges when using small time steps. The section concludes with a discussion on numerical experiments and approximations employed for the characteristic function.
The speaker emphasizes the importance of carefully selecting model parameters as they significantly impact pricing and hedging decisions. The Heston model is discussed, and the characteristic function is defined, enabling the pricing and calculation of FX impact volatilities. A comparison is made between Monte Carlo simulation and Fourier approximation, involving 20 different Monte Carlo runs with 1000 paths per run. The results demonstrate alignment between Monte Carlo option pricing and the Fourier approximation, with satisfactory differences for calibration to implied volatility market data. However, it is noted that the quality of results can vary depending on the specified model parameters.
The professor proceeds to discuss the Python code for the COS method and analyzes its accuracy. The code encompasses specifications for 500 expansion terms and incorporates different model parameters and configurations for domestic and foreign markets, as well as comprehensive metric collections. The professor emphasizes the significance of random samples in Monte Carlo simulations and suggests changing the random seeds to improve results. A Monte Carlo simulation with multiple runs is performed, evaluating option prices using the payoff evaluation method. The average of all runs is calculated, along with the expectation and standard deviation, allowing for error monitoring arising from changes in the random seed.
Lastly, the lecturer highlights the importance of accurate model parameter selection, as it greatly influences pricing and hedging decisions. The characteristic function for the Heston model is defined, enabling the pricing and calculation of FX impact volatilities. A comparison between Monte Carlo simulation and Fourier approximation is conducted, involving 20 Monte Carlo runs with 1000 paths per run. The results demonstrate satisfactory alignment between Monte Carlo option pricing and the Fourier approximation, providing calibration to implied volatility market data. However, the speaker emphasizes the influence of specified model parameters on result quality.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 10/14, parte 3/3, (Câmbio (FX) e Inflação)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 10/14, parte 3/3, (Câmbio (FX) e Inflação)
O palestrante investiga o tema da inflação, traçando seu desenvolvimento ao longo do século passado. Inicialmente, a inflação estava associada à política monetária e ao aumento da oferta de moeda, mas agora sua definição mudou para abranger mudanças nos níveis de preços. Destaca-se a importância dos derivados de inflação na cobertura de riscos de inflação, nomeadamente para bancos e fundos de pensões. A precificação desses derivativos está intimamente ligada à precificação do câmbio, o que aumenta sua relevância no mercado financeiro. A seção fornece uma visão geral concisa da inflação e sua relevância no setor financeiro.
Seguindo em frente, o palestrante examina as variações nas medidas de inflação usadas entre os países, com foco específico no Índice Harmonizado de Preços ao Consumidor Europeu (IHPC) e no Índice de Preços ao Consumidor (IPC) dos EUA. A comparação dessas medidas nem sempre é direta, pois elas podem não refletir com precisão os aumentos de preços reais. No entanto, eles ainda são usados para precificar contratos de derivativos, com derivativos frequentemente vinculados a valores do índice CPI. Para ilustrar as tendências históricas da inflação nos EUA, o palestrante apresenta um gráfico mostrando a flutuação dos números do IPC ao longo do tempo, usando uma data de referência de 2000-2015.
Na parte seguinte da palestra, o instrutor explora a natureza não linear da inflação e sua evolução em diferentes períodos. Um gráfico é apresentado, destacando o impacto das quebras de mercado na deflação e os potenciais efeitos deflacionários da globalização. O palestrante também se aprofunda nos conceitos de inflação pegajosa e transitória, explicando suas implicações para os preços e para a economia. Ressalta-se que, devido ao seu caráter dinâmico, a inflação não pode ser facilmente descrita por modelos econômicos simples. Vários fatores, como a demografia e a economia global, influenciam a inflação, tornando-a um fenômeno complexo de analisar. Além disso, mudanças na composição das cestas de medição de preços ao longo do tempo podem afetar significativamente os números da inflação.
Continuando a discussão, o palestrante explica que comparar a inflação ao longo do tempo é um desafio devido às mudanças nas definições associadas a diferentes bens e serviços. A palestra também esclarece a composição dos elementos utilizados no cálculo do índice CPI e as técnicas empregadas para ajustar e suavizar os resultados. Essas técnicas incluem o efeito hedônico, que considera a utilidade de um produto ao considerar aumentos de preços, e a substituição, em que os consumidores mudam para produtos mais baratos para mitigar o aumento dos preços.
O impacto da habitação na inflação e nas medidas de inflação é então examinado. Nos EUA, os preços da habitação não estão incluídos no IPC ou nas medidas de inflação porque a habitação é vista como um investimento de capital. No entanto, as medidas do CPI incorporam um "impacto de abrigo", que estima o custo de vida em uma casa alugada. A palestra enfatiza que a cesta de produtos usada para cálculos de inflação muda ao longo do tempo, levando a números de inflação potencialmente não confiáveis. Embora o índice CPI seja considerado um indicador de atraso da inflação, ele serve como uma quantidade observável subjacente para preços de derivativos. Fundos de pensão, seguradoras e bancos que lidam com derivativos dependentes da inflação são os principais usuários de produtos de inflação, pois a inflação pode afetar significativamente seus pagamentos. A taxa de inflação implícita é determinada pelo spread entre títulos legais e indexados à inflação.
Mudando o foco, o palestrante explica a distinção entre instrumentos nominais e reais em relação à inflação. Os instrumentos nominais não contabilizam a inflação e são considerados preços nominais que não protegem contra as forças inflacionárias. Os swaps de inflação e os forwards de inflação são produtos que expõem os indivíduos à diferença entre as economias real e nominal. O contrato básico discutido é um swap de inflação, onde a performance é baseada no índice CPI em um determinado momento, trocando as partes flutuantes e fixas. O palestrante destaca a importância de considerar atrasos na modelagem da inflação, já que os dados de inflação são divulgados com defasagem e são baseados em meses anteriores.
A palestra continua discutindo como as commodities podem fornecer uma melhor representação da inflação em comparação com os números da inflação, já que os preços das commodities são imediatamente observáveis nos mercados diários, enquanto os números da inflação têm alguns meses de atraso. A inflação futura é definida como a inflação observada em um determinado momento, e se a inflação futura estiver disponível no mercado e a curva de rendimento para obrigações nominais de cupom zero for conhecida, a obrigação real de cupom zero pode ser calculada. A palestra também aborda a precificação de swaps de inflação usando metodologias semelhantes aos swaps de câmbio e taxa de juros. Além disso, o palestrante aborda as opções de precificação utilizando processos de inflação e a possibilidade de definir e estender modelos híbridos de inflação com taxas de juros estocásticas.
Ampliando as semelhanças e diferenças entre câmbio e inflação, o professor explica a relação entre taxas nominais e reais. A transferência de fundos entre economias nominais e reais cria um termo de conexão que influencia a medida neutra ao risco. A palestra também aborda opções de derivativos, como opções de compra, e explora a inflação ano a ano, que mede o desempenho da inflação em um período específico de tempo. Além disso, o professor examina a distribuição da inflação no caso log-normal e como essa razão é afetada na estrutura de Black-Scholes. A palestra abrange vários processos relacionados a câmbio e inflação, incluindo medidas neutras ao risco, opções de derivativos e desempenho da inflação ao longo do tempo.
O professor discorre ainda sobre a conexão entre inflação e câmbio ao precificar produtos de inflação e swaps de moedas cruzadas. A derivação da função característica para a distribuição do logaritmo das taxas de inflação a termo é explicada usando transformações de Fourier e técnicas de precificação. A importância da precificação de opções é enfatizada, pois auxilia na calibração de parâmetros de volatilidade para instrumentos de mercado, permitindo a avaliação de exposições futuras da carteira e a aplicação de medidas de risco, como cálculos de VAR.
Mudando o foco para o mercado de câmbio (FX) e inflação, a palestra aborda a avaliação das taxas de câmbio, determinando o valor justo dos contratos de câmbio e derivando o valor justo de moedas cruzadas. A precificação das opções FX é discutida, estendendo a metodologia de precificação para incorporar a volatilidade estocástica e as taxas de juros. Além disso, a palestra explora a definição de forwards de inflação e a precificação de swaps de inflação. A palestra termina apresentando três exercícios para os alunos aplicarem seus conhecimentos, incluindo a derivação da função de questão para a inflação ano a ano dentro da estrutura de Black-Scholes e o uso de simulações para encontrar as expectativas de uma função.
Por fim, o instrutor apresenta um exercício centrado na Equação Diferencial Estocástica para Câmbio. O objetivo do exercício é simplificar a equação, fatorar os movimentos brownianos para obter o Sigma hat e, posteriormente, determinar os termos Sigma e Sigma Sigma hat. O instrutor conclui a palestra se despedindo dos alunos e expressando esperança de que tenham gostado do curso e dos exercícios.
Curso de Engenharia Financeira: Aula 11/14, parte 1/2, (Modelos de Mercado e Ajustes de Convexidade)
Curso de Engenharia Financeira: Aula 11/14, parte 1/2, (Modelos de Mercado e Ajustes de Convexidade)
Nesta palestra, o foco é principalmente no modelo de mercado de bibliotecas e suas extensões, especificamente a volatilidade estocástica. O modelo de mercado de bibliotecas visa consolidar medidas individuais de taxas Libor em uma medida unificada e consistente para avaliação de preços de derivativos. Depois de fornecer uma visão geral da história e das especificações do modelo, o palestrante se aprofunda na derivação do modelo, explorando opções populares como log-normal e volatilidade estocástica.
O segundo assunto abordado é a correção de convexidade, que envolve a definição e modelagem desses ajustes. A palestra aborda quando ocorrem as correções de convexidade, como identificá-las e sua relevância na avaliação de derivadas que envolvem ajustes de convexidade.
O palestrante enfatiza a importância dos modelos de mercado e ajustes de convexidade no domínio da engenharia financeira. Os modelos de mercado oferecem soluções poderosas para vários problemas complexos, particularmente na precificação de derivativos exóticos com estruturas de pagamento intrincadas. No entanto, esses modelos podem ser complicados e caros. No entanto, o modelo de mercado Libor, ou modelos de mercado em geral, foram projetados para lidar com essas complicações, especialmente na precificação de derivativos exóticos dependentes de múltiplas taxas Libor.
Além disso, a palestra explora o desenvolvimento de uma medida unificada para incorporar várias taxas Libor, um pré-requisito crucial para uma precificação precisa. O maquinário empregado depende de técnicas de grandes mudanças e da medida futura associada a títulos de cupom zero. Embora soluções de forma fechada sejam possíveis em alguns casos, o maquinário em si é complexo e multidimensional.
O palestrante discute a estrutura para definir modelos de taxa de juros, destacando a importância de especificar as condições de deriva e volatilidade para garantir que o modelo seja bem definido e livre de oportunidades de arbitragem. A avaliação de produtos complexos de renda fixa, incluindo derivativos exóticos, requer modelos avançados devido à dependência de múltiplas bibliotecas, impossibilitando sua decomposição em pagamentos independentes. Para resolver isso, é apresentado o Modelo de Mercado Libor, desenvolvido com uma abordagem prática para manter a consistência com as práticas de mercado e os métodos de precificação existentes para swaptions ou opções em bibliotecas. Este modelo permite avaliação avançada e livre de arbitragem, tornando-o indispensável para a precificação de produtos complexos de renda fixa.
A palestra enfatiza a importância do modelo BGM (Brace Gatarek Musiela), que revolucionou a precificação de derivativos exóticos. Construído sobre fundamentos de mercado existentes, o modelo BGM introduziu elementos adicionais que permitiram que ele fosse amplamente aceito como a prática de mercado para derivativos de preços vinculados a várias bibliotecas e estruturas complexas de volatilidade. As simulações de Monte Carlo são frequentemente usadas para separar os processos envolvidos no modelo BGM devido aos desafios impostos por lidar com várias taxas Libor sob diferentes medidas. O modelo visa fornecer dinâmica livre de arbitragem para as taxas Libor, permitindo a precificação de caplets e florets de maneira semelhante à convenção de mercado estabelecida pela fórmula de Black-Scholes. Embora o modelo BGM simplifique esse bloco fundamental, ele oferece recursos adicionais para facilitar a precificação de derivativos exóticos.
O palestrante passa a explicar o processo de obtenção de taxas de biblioteca definindo um título zero a termo como uma estratégia de refinanciamento entre o tempo t1 e o tempo d2. Várias considerações, como datas de redefinição, atraso de redefinição e atraso de pagamento, precisam ser levadas em consideração, pois as incompatibilidades entre o pagamento do produto e o desconto exigem ajustes de convexidade. Seguindo em frente, a palestra se aprofunda na especificação de um modelo de mercado Libor multidimensional, começando com a determinação do número necessário de taxas Libor.
A palestra explora a estrutura de equações diferenciais estocásticas para um sistema de taxas Libor ao longo do tempo. À medida que o tempo avança, a dimensionalidade do sistema diminui à medida que certas taxas Libor se fixam em pontos específicos. O palestrante destaca a importância da estrutura de correlação entre as taxas Libor e sua parametrização para garantir uma matriz de correlação positiva definida. A palestra também menciona o papel da medida a termo e dos títulos de cupom zero na definição de martingales.
Ativos negociáveis e títulos de cupom zero são introduzidos como martingales. A taxa Libor, L(T) e TI-1 são consideradas martingales sob certas condições. As funções σ(i) e σ(j) são introduzidas como drivers do movimento browniano, que deve ser definido sob uma medida consistente. A palestra destaca a necessidade de consistência entre a medida de expectativa e a medida de movimento browniana usada para avaliar expressões. O modelo de mercado Libor, também conhecido como modelo BGM, combina conjuntos individuais de acordo com as práticas de mercado derivadas dos modelos Black-Scholes, servindo como um ponto chave na estrutura do modelo.
A palestra aprofunda o conceito do Modelo de Mercado Libor, que utiliza múltiplas equações diferenciais estocásticas para unificar diferentes processos sob uma medida de avanço consistente. Cada taxa Libor, sob sua própria medida, atua como um martingale. No entanto, quando as medidas são alteradas para cada taxa Libor, isso afeta a dinâmica e o termo de deriva. O elemento crucial do Modelo de Mercado Libor está em determinar a transição da deriva e como ela se comporta quando as medidas mudam para cada taxa Libor. Esse termo de desvio pode ser complexo, e a palestra discute duas possibilidades comuns para escolher a medida terminal ou a medida spot para precificar derivativos. Além disso, a palestra explora a relação entre o modelo de mercado Libor e outros modelos como AJM (Andersen-Jessup-Merton), Brace Gatarek Musiela Model e HJM (Heath-Jarrow-Morton), fornecendo informações sobre suas interconexões. O uso da volatilidade ampla total para a taxa a termo instantânea dentro do modelo de mercado Libor também é examinado.
A palestra aborda a relação entre a taxa a termo instantânea e a taxa Libor, enfatizando sua forte correlação, principalmente quando os dois tempos se aproximam e um índice em execução está presente. O processo de alterar a medida de i para j e encontrar o termo de desvio por meio de transformações de medida é explicado minuciosamente. A palestra ressalta a importância de compreender os conceitos abordados nas palestras anteriores para compreender a variedade de ferramentas e simulações necessárias nas duas palestras finais.
O instrutor se aprofunda nas transformações das medidas e na dinâmica da taxa Libor sob diferentes medidas. Empregando o teorema de Girsanov e fazendo as substituições apropriadas, uma equação é derivada para representar a transformação da medida de i-1 para i ou vice-versa. Essa equação serve de base para representar a taxa LIBOR sob diferentes medidas. A palestra destaca a importância de selecionar o ponto apropriado ou medida terminal para preços de derivativos precisos.
A palestra explica ainda o processo de ajuste do desvio para diferentes taxas Libor dentro do modelo de mercado para garantir consistência com a medida terminal. O ajuste envolve acumular todos os ajustes necessários para as taxas Libor entre a primeira e a última taxa até atingir a medida terminal. A transição de uma medida para outra pode ser derivada de forma iterativa, e o processo de ajuste do desvio é fundamental para o Modelo de Mercado Libor. No entanto, surge um desafio com a medida terminal, onde o período mais curto, mais próximo do presente, torna-se mais estocástico por envolver todos os processos subsequentes, o que pode parecer contra-intuitivo. No entanto, o Modelo de Mercado Libor opera principalmente sob a medida à vista como um padrão de consenso, a menos que um pagamento específico seja designado para estar na medida terminal.
O palestrante aborda certas questões com o modelo de mercado de bibliotecas, particularmente a falta de continuidade em relação aos tempos entre a grade de conteúdo especificada. Para resolver isso, o palestrante apresenta a estratégia de usar uma conta de poupança de dinheiro rebalanceada discretamente três vezes para definir a medida pontual para o modelo de mercado de bibliotecas. Essa estratégia envolve observar como uma unidade de moeda investida hoje pode acumular, dada a estrutura de oferta existente de títulos de cupom zero. A estratégia é definida não em t0, mas em t1, envolvendo a compra de um título em t1, recebendo o valor acumulado no vencimento e reinvestindo no segundo título em t2.
A palestra explica o conceito de composição dentro de uma estrutura de intervalo discreto, que permite o investimento em títulos de cupom zero enquanto reinvestem os valores recebidos em novos títulos. O produto de todos os componentes do título de cupom zero define o valor que o investidor receberia em um determinado momento. O valor acumulado pode ser definido continuamente descontando do último ponto da grade até o ponto atual. A palestra apresenta o conceito da medida spot-Libor, que permite que o numerador atual mude de uma medida ti para uma medida tm. Adicionalmente, introduz-se o conceito de mt como o mínimo i tal que ti é maior que t, estabelecendo uma ligação entre t e a próxima ligação.
Seguindo em frente, o palestrante explica o processo de definição da transformação da medida da medida M_t para a medida M_t+1. Isto é conseguido empregando o derivado Radon-Nikodym. A palestra aprofunda a dinâmica para lambda e psi, que determinam a transformação de medida e a relação entre os movimentos brownianos sob t e n. Por fim, o palestrante apresenta a representação final do modelo de mercado de bibliotecas, que se assemelha bastante às transformações de medida discutidas anteriormente em modelos como o modo de mercado.
Em seguida, a palestra enfoca a dinâmica do modelo de mercado Libor, particularmente sua aplicação na precificação de produtos exóticos avançados e complexos no domínio das taxas de juros. O modelo apresenta um problema de alta dimensão com um desvio complexo que engloba múltiplas taxas Libor, tornando sua implementação desafiadora. No entanto, o modelo serve como uma valiosa ferramenta de solução de problemas. A palestra explora extensões do modelo para incorporar sorrisos de volatilidade e discute a seleção do processo de volatilidade estocástica, mantendo a dinâmica do modelo o mais simplificada possível. Nota-se que a log-normalidade do modelo existe apenas sob a medida marginal e envolve uma soma de diferentes processos independentes, indicando que não é log-normal no caso geral.
A série de palestras sobre o Modelo de Mercado Libor e suas extensões, particularmente a volatilidade estocástica, aprofunda vários aspectos da estrutura do modelo. Abrange a unificação das taxas Libor individuais em uma medida consistente, a derivação do modelo usando escolhas populares como log-normal e volatilidade estocástica e o conceito de correções de convexidade para derivativos de preços. A palestra enfatiza a importância de entender as transformações das medidas, a dinâmica sob diferentes medidas e a escolha de medidas pontuais ou terminais apropriadas. A capacidade do modelo de lidar com produtos complexos de renda fixa, sua relação com outros modelos de mercado e sua dinâmica e desafios são exaustivamente explorados. Compreendendo esses conceitos e ferramentas, os engenheiros financeiros podem efetivamente precificar derivativos exóticos e navegar pelas complexidades do mundo das taxas de juros.