Matrizes e vetores em MQL5

MetaQuotes | 8 março, 2022

Para manusear dados ordenados e homogêneos, é comum o uso de matrizes que permitem que cada elemento seja acessado por um índice. As matrizes são amplamente utilizadas para resolver muitos problemas de álgebra linear, modelagem matemática, aprendizagem de máquinas, etc. A solução para estes problemas é, em termos gerais, baseada em operações matemáticas que utilizam matrizes e vetores, que permitem que conversões muito complexas sejam escritas de forma compacta como uma fórmula simples. Programar estas operações não só requer um bom nível de matemática, mas também saber escrever laços aninhados complexos. A depuração e a detecção de bugs neste tipo de programas pode ser muito cansativa. 

Os tipos de dados especiais matrix e vector permite escrever um código próximo a uma notação matemática e evita a necessidade de criar laços aninhados. O programador não precisa mais se lembrar de indexar corretamente as matrizes que estão envolvidas no cálculo. Neste artigo mostramos como criar, iniciar e aplicar os objetos matrix e vector em MQL5.

O tipo vector

vector é uma matriz unidimensional do tipo double. As operações de adição e multiplicação são definidas sobre vetores, e o conceito de "Norma" é introduzido para obter o comprimento ou módulo de um vetor. Na programação, os vetores são normalmente representados por matrizes de elementos homogêneos sobre os quais as operações vetoriais usuais podem não ser especificadas, ou seja, as matrizes não podem ser adicionadas umas às outras, multiplicadas umas pelas outras, e não existe o conceito de norma.

Em matemática, os vetores podem ser representados como uma fila vetorial, isto é, como uma matriz de uma fila e n colunas, ou como uma coluna vetorial como uma matriz de uma coluna e n filas. Como em MQL5 o tipo "vector" não é dividido em linhas e colunas vetoriais, o programador deve entender ele mesmo qual tipo de vetor é usado ao realizar uma determinada operação.

É possível criar e iniciar um vetor usando métodos embutidos.

Exemplos de criação vetorial:

void OnStart()
 {
//--- vector initialization examples
  vector v;
  v.Init(7);
  Print("v = ", v); 

  vector v1=vector::Ones(5);
  Print("v1 = ", v1);

  vector v2=vector::Zeros(3);
  Print("v2 = ", v2);

  vector v3=vector::Full(6, 2.5);
  Print("v3 = ", v3);

  vector v4{1, 2, 3};
  Print("v4 = ", v4);  
  v4.Resize(5);
  Print("after Resize(5) v4 = ", v4);  
  
  vector v5=v4;
  Print("v5 = ", v5);  
  v4.Fill(7);
  Print("v4 = ", v4, "   v5 =",v5);  
   
 }
 
 
/*
Execution result

v = [4,5,6,8,10,12,12]
v1 = [1,1,1,1,1]
v2 = [0,0,0]
v3 = [2.5,2.5,2.5,2.5,2.5,2.5]
v4 = [1,2,3]
after Resize(5) v4 = [1,2,3,7,7]
v5 = [1,2,3,7,7]
v4 = [7,7,7,7,7]   v5 =[1,2,3,7,7]

*/ 

O método Init pode ser usado não apenas para alocar memória para um vetor, mas também para inicializar elementos vetoriais com valores usando uma função. Neste caso, o primeiro parâmetro em Init é o tamanho do vetor e o segundo é o nome da função. Se a função por sua vez tiver parâmetros, estes são indicados imediatamente após o nome da função, separados por vírgulas.

A função em si deve conter uma referência ao vetor que lhe é passado como primeiro parâmetro, mas o vetor não precisa ser passado ao chamar Init. Vamos mostrar isto com um exemplo da função Arange que simula numpy.arange.

void OnStart()
  {
//---
   vector v;
   v.Init(7,Arange,10,0,0.5); // 3 parameters are passed with Arange call
   Print("v = ", v);
   Print("v.size = ",v.Size());
  }
//+------------------------------------------------------------------+
//|  Values are generated within the half-open interval [start, stop)|
//+------------------------------------------------------------------+
void Arange(vector& v, double stop, double start = 0, double step = 1) // the function has 4 parameters
  {
   if(start >= stop)
     {
      PrintFormat("%s wrong parameters! start=%G  stop=%G", __FILE__,start, stop);
      return;
     }
//---
   int size = (int)((stop - start) / step);
   v.Resize(size);
   double value = start;
   for(ulong i = 0; i < v.Size(); i++)
     {
      v[i] = value;
      value += step;
     }
  }
  
/*
Execution result

v = [0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6,6.5,7,7.5,8,8.5,9,9.5]
v.size = 20

*/

A função Arange tem dois parâmetros opcionais - "start" e "step". Por isso, vamos permitir esta forma de chamar Init(7,Arange,10) com o resultado correspondente:

//+------------------------------------------------------------------+
//| Script program start function                                    |
//+------------------------------------------------------------------+
void OnStart()
  {
//---
   vector v;
   v.Init(7,Arange,10);
   Print("v = ", v);
   Print("v.size = ",v.Size());
  }
...

/*

v = [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9]
v.size = 10

*/

Operações com vetores

//+------------------------------------------------------------------+
//|                                              vector2_article.mq5 |
//|                                  Copyright 2021, MetaQuotes Ltd. |
//|                                             https://www.mql5.com |
//+------------------------------------------------------------------+
#property copyright "Copyright 2021, MetaQuotes Ltd."
#property link      "https://www.mql5.com"
#property version   "1.00"
//+------------------------------------------------------------------+
//| Script program start function                                    |
//+------------------------------------------------------------------+
void OnStart()
 {
//---
  vector v= {1, 2, 3, 4, 5};
  Print("Examples without saving vector changes");
  Print("v = ", v);
  Print("v+5 = ", v+5);
  Print("v-Pi= ", v-M_PI);
  Print("v*2.0= ", v*2);
  Print("v/3.0= ", v/3.0);

  Print("Save all vector changes");
  Print("v = ", v);
  Print("v+5 = ", v=v+5);
  Print("v-Pi= ", v=v-M_PI);
  Print("v*2.0= ", v= v*2);
  Print("v/3.0= ", v= v/3.0);
 }
/*
Execution result
   
Examples without saving vector changes
v = [1,2,3,4,5]
v+5 = [6,7,8,9,10]
v-Pi= [-2.141592653589793,-1.141592653589793,-0.1415926535897931,0.8584073464102069,1.858407346410207]
v*2.0= [2,4,6,8,10]
v/3.0= [0.3333333333333333,0.6666666666666666,1,1.333333333333333,1.666666666666667]
Save all vector changes
v = [1,2,3,4,5]
v+5 = [6,7,8,9,10]
v-Pi= [2.858407346410207,3.858407346410207,4.858407346410207,5.858407346410207,6.858407346410207]
v*2.0= [5.716814692820414,7.716814692820414,9.716814692820414,11.71681469282041,13.71681469282041]
v/3.0= [1.905604897606805,2.572271564273471,3.238938230940138,3.905604897606805,4.572271564273471]

*/
//+------------------------------------------------------------------+

void OnStart()
  {
//---
   vector a = {1, 2, 3};
   vector b = {2, 4, 6};
   Print("a + b = ", a + b);
   Print("a - b = ", a - b);
   Print("a * b = ", a * b);
   Print("b / a = ", b / a);
  }

/*
Execution result

a + b = [3,6,9]
a - b = [-1,-2,-3]
a * b = [2,8,18]
b / a = [2,2,2]

*/

void OnStart()
 {
//---
  vector a={1, 2, 3};
  vector b={4, 5, 6};
  Print("a = ", a);
  Print("b = ", b);
  Print("1) a.Dot(b) = ", a.Dot(b));
  Print("2) a.MatMul(b) = ", a.MatMul(b));
  Print("3) a.Kron(b) = ", a.Kron(b));
  Print("4) a.Outer(b) = \n", a.Outer(b));
 }
/*
Execution result

a = [1,2,3]
b = [4,5,6]
1) a.Dot(b) = 32.0
2) a.MatMul(b) = 32.0
3) a.Kron(b) = [[4,5,6,8,10,12,12,15,18]]
4) a.Outer(b) = 
[[4,5,6]
 [8,10,12]
 [12,15,18]]

*/

void OnStart()
 {
//---
  struct str_vector_norm
   {
    ENUM_VECTOR_NORM  norm;
    int               value;
   };
  str_vector_norm vector_norm[]=
   {
     {VECTOR_NORM_INF,       0},
     {VECTOR_NORM_MINUS_INF, 0},
     {VECTOR_NORM_P,         0},
     {VECTOR_NORM_P,         1},
     {VECTOR_NORM_P,         2},
     {VECTOR_NORM_P,         3},
     {VECTOR_NORM_P,         4},
     {VECTOR_NORM_P,         5},
     {VECTOR_NORM_P,         6},
     {VECTOR_NORM_P,         7},
     {VECTOR_NORM_P,        -1},
     {VECTOR_NORM_P,        -2},
     {VECTOR_NORM_P,        -3},
     {VECTOR_NORM_P,        -4},
     {VECTOR_NORM_P,        -5},
     {VECTOR_NORM_P,        -6},
     {VECTOR_NORM_P,        -7}
   };
  vector v{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
  double norm;
  Print("v = ", v);
//---
  for(int i=0; i<ArraySize(vector_norm); i++)
   {
    switch(vector_norm[i].norm)
     {
      case VECTOR_NORM_INF :
        norm=v.Norm(VECTOR_NORM_INF);
        Print("v.Norm(VECTOR_NORM_INF) = ", norm);
        break;
      case VECTOR_NORM_MINUS_INF :
        norm=v.Norm(VECTOR_NORM_MINUS_INF);
        Print("v.Norm(VECTOR_NORM_MINUS_INF) = ", norm);
        break;
      case VECTOR_NORM_P :
        norm=v.Norm(VECTOR_NORM_P, vector_norm[i].value);
        PrintFormat("v.Norm(VECTOR_NORM_P,%d) = %G", vector_norm[i].value, norm);
     }
   }
 }
/*

v = [1,2,3,4,5,6,7]
v.Norm(VECTOR_NORM_INF) = 7.0
v.Norm(VECTOR_NORM_MINUS_INF) = 1.0
v.Norm(VECTOR_NORM_P,0) = 7
v.Norm(VECTOR_NORM_P,1) = 28
v.Norm(VECTOR_NORM_P,2) = 11.8322
v.Norm(VECTOR_NORM_P,3) = 9.22087
v.Norm(VECTOR_NORM_P,4) = 8.2693
v.Norm(VECTOR_NORM_P,5) = 7.80735
v.Norm(VECTOR_NORM_P,6) = 7.5473
v.Norm(VECTOR_NORM_P,7) = 7.38704
v.Norm(VECTOR_NORM_P,-1) = 0.385675
v.Norm(VECTOR_NORM_P,-2) = 0.813305
v.Norm(VECTOR_NORM_P,-3) = 0.942818
v.Norm(VECTOR_NORM_P,-4) = 0.980594
v.Norm(VECTOR_NORM_P,-5) = 0.992789
v.Norm(VECTOR_NORM_P,-6) = 0.99714
v.Norm(VECTOR_NORM_P,-7) = 0.998813

*/

void OnStart()
 {
//---
   vector a{1,2,3};
   vector b{2,3,4};
   double distance=(b-a).Norm(VECTOR_NORM_P,2);
   Print("a = ",a);
   Print("b = ",b);
   Print("|a-b| = ",distance);   
 }
/*
Execution result

a = [1,2,3]
b = [2,3,4]
|a-b| = 1.7320508075688772

*/

Tipo matrix

Um vetor é um caso especial de uma matriz, que na verdade é uma matriz bidimensional do tipo double. Assim, podemos dizer que uma matriz é um conjunto de vetores do mesmo tamanho. O número de filas na matriz é igual ao número de vetores e o número de colunas é igual ao comprimento dos vetores. 

As operações de adição e multiplicação também são definidas sobre matrizes. Linguagens de programação comuns usam arrays para representar matrizes. Mas as matrizes regulares não podem ser adicionadas umas às outras, não podem ser multiplicadas umas pelas outras e não há definição de uma norma para elas. Em matemática, são considerados muitos tipos e tipos diferentes de matrizes. Por exemplo, unidades, simétricas, obliquamente simétricas, triangulares superiores (triangulares inferiores) e outras matrizes.

Exemplos de criação e de preenchimento de matrizes:

void OnStart()
 {
//---
  matrix m{{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
  Print("m = \n", m);
  matrix ones=matrix::Ones(4, 4);
  Print("ones = \n", ones);
  matrix zeros=matrix::Zeros(4, 4);
  Print("zeros = \n", zeros);
  matrix eye=matrix::Eye(4, 4);
  Print("eye = \n", eye);

  matrix identity(4, 5);
  Print("matrix_identity\n", identity);
  identity.Identity();
  Print("matrix_identity\n", identity);

  matrix tri=matrix::Tri(3, 4);
  Print("tri = \n", tri);
  Print("tri.Transpose() = \n", tri.Transpose()); // transpose the matrix

  matrix diag(5, 5);
  Print("diag = \n", diag);
  vector d{1, 2, 3, 4, 5};
  diag.Diag(d);
  Print("diag = \n", diag); // insert values from the vector into the matrix diagonal

  matrix fill(5, 5);
  fill.Fill(10);
  Print("fill = \n", fill);

  matrix full =matrix::Full(5, 5, 100);
  Print("full = \n", full);


  matrix init(5, 7);
  Print("init = \n", init);
  m.Init(4, 6);
  Print("init = \n", init);
  
  matrix resize=matrix::Full(2, 2, 5);  
  resize.Resize(5,5);
  Print("resize = \n", resize);  
 }
/*
Execution result

m =
[[1,2,3]
[4,5,6]
[7,8,9]]
ones =
[[1,1,1,1]
[1,1,1,1]
[1,1,1,1]
[1,1,1,1]]
zeros =
[[0,0,0,0]
[0,0,0,0]
[0,0,0,0]
[0,0,0,0]]
eye =
[[1,0,0,0]
[0,1,0,0]
[0,0,1,0]
[0,0,0,1]]
matrix_identity
[[1,0,0,0,0]
[0,1,0,0,0]
[0,0,1,0,0]
[0,0,0,1,0]]
matrix_identity
[[1,0,0,0,0]
[0,1,0,0,0]
[0,0,1,0,0]
[0,0,0,1,0]]
tri =
[[1,0,0,0]
[1,1,0,0]
[1,1,1,0]]
tri.Transpose() =
[[1,1,1]
[0,1,1]
[0,0,1]
[0,0,0]]
diag =
[[0,0,0,0,0]
[0,0,0,0,0]
[0,0,0,0,0]
[0,0,0,0,0]
[0,0,0,0,0]]
diag =
[[1,0,0,0,0]
[0,2,0,0,0]
[0,0,3,0,0]
[0,0,0,4,0]
[0,0,0,0,5]]
fill =
[[10,10,10,10,10]
[10,10,10,10,10]
[10,10,10,10,10]
[10,10,10,10,10]
[10,10,10,10,10]]
full =
[[100,100,100,100,100]
[100,100,100,100,100]
[100,100,100,100,100]
[100,100,100,100,100]
[100,100,100,100,100]]
resize = 
[[5,5,0,0,0]
 [5,5,0,0,0]
 [0,0,0,0,0]
 [0,0,0,0,0]
 [0,0,0,0,0]]

*/

O exemplo a seguir mostra como as funções próprias podem ser utilizadas no preenchimento de matrizes:

//+------------------------------------------------------------------+
//| Script program start function                                    |
//+------------------------------------------------------------------+
void OnStart()
 {
//---
  matrix random(4, 5, MatrixRandom);
  Print("random = \n",random);
  
  matrix init(3, 6, MatrixSetValues);  
  Print("init = \n", init);
  
 }
//+------------------------------------------------------------------+
//| Fills the matrix with random values                              |
//+------------------------------------------------------------------+
void MatrixRandom(matrix& m)
 {
  for(ulong r=0; r<m.Rows(); r++)
   {
    for(ulong c=0; c<m.Cols(); c++)
     {
      m[r][c]=double(MathRand())/32767.;
     }
   }
 }
//+------------------------------------------------------------------+
//| Fills the matrix with powers of a number                         |
//+------------------------------------------------------------------+
void MatrixSetValues(matrix& m, double initial=1)
 {
  double value=initial;
  for(ulong r=0; r<m.Rows(); r++)
   {
    for(ulong c=0; c<m.Cols(); c++)
     {
      m[r][c]=value;
      value*=2;
     }
   }
 } 
 
/*
Execution result

random = 
[[0.4200262459181494,0.5014496292001098,0.7520371105075229,0.652058473464156,0.08783227027191992]
 [0.5991088595233008,0.4311960203863643,0.8718832972197638,0.1350138859218116,0.901882992034669]
 [0.4964445936460463,0.8354747154148991,0.5258339182714317,0.6055482650227363,0.5952940458388012]
 [0.3959166234321116,0.8146916104617451,0.2053590502639851,0.2657551805169835,0.3672292245246742]]
init = 
[[1,2,4,8,16,32]
 [64,128,256,512,1024,2048]
 [4096,8192,16384,32768,65536,131072]]

*/ 

Além disso, observe que há duas maneiras de criar uma matriz sem inicializar os valores. 

//--- create a matrix of a given 'rows x cols' size
  matrix m(3, 3);

// ------ equivalent
  matrix m;
  m.Resize(3, 3);

void OnStart()
  {
//---
   ENUM_MATRIX_NORM matrix_norm[]= {MATRIX_NORM_FROBENIUS,
                                    MATRIX_NORM_SPECTRAL,
                                    MATRIX_NORM_NUCLEAR,
                                    MATRIX_NORM_INF,
                                    MATRIX_NORM_MINUS_INF,
                                    MATRIX_NORM_P1,
                                    MATRIX_NORM_MINUS_P1,
                                    MATRIX_NORM_P2,
                                    MATRIX_NORM_MINUS_P2
                                   };
   matrix m{{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}};
   Print("matrix m:\n",m);
//--- compute the norm using all ways
   double norm;
   for(int i=0; i<ArraySize(matrix_norm); i++)
     {
      norm=m.Norm(matrix_norm[i]);
      PrintFormat("%d. Norm(%s) = %.6f",i+1, EnumToString(matrix_norm[i]),norm);
     }
//---
   return;
  }

/*
Execution result

matrix m:
[[1,2,3]
[4,5,6]
[7,8,9]]
1. Norm(MATRIX_NORM_FROBENIUS) = 16.881943
2. Norm(MATRIX_NORM_SPECTRAL) = 14.790157
3. Norm(MATRIX_NORM_NUCLEAR) = 17.916473
4. Norm(MATRIX_NORM_INF) = 24.000000
5. Norm(MATRIX_NORM_MINUS_INF) = 6.000000
6. Norm(MATRIX_NORM_P1) = 18.000000
7. Norm(MATRIX_NORM_MINUS_P1) = 12.000000
8. Norm(MATRIX_NORM_P2) = 16.848103
9. Norm(MATRIX_NORM_MINUS_P2) = 0.000000

*/

Operações com matrizes e vetores

As matrizes contêm métodos especiais para a solução de problemas matemáticos:

• Transposição
• Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir as matrizes elemento por elemento
  
• Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir os elementos da matriz por um escalar
  
• Produto de matrizes e vetores pelo método MatMul  (matrix product)
• Inner()
• Outer()
• Kron()
• Inv() — matriz inversa
• Solve() — resolução de um sistema de equações lineares
  
• LstSq() — resolução de um sistema de equações lineares usando o método dos mínimos quadrados (para matrizes não quadradas ou degeneradas)
  
• PInv() — matriz dos mínimos quadrados pseudo-inversos
• Trabalho com colunas, filas e diagonais
  

Decomposição de matriz:

Produto de matrizes e vetores

Para efetuar o produto matricial de matrizes e vetores, é definido o método MatMul(). É frequentemente utilizado na solução de muitos problemas matemáticos. Ao multiplicar uma matriz e um vetor, apenas são permitidas duas alternativas:

• O vetor horizontal da esquerda é multiplicado pela matriz da direita, o comprimento do vetor é igual ao número de colunas da matriz;
  
• A matriz da esquerda é multiplicada pelo vetor vertical da direita, com o número de colunas da matriz igual ao comprimento do vetor.
  

void OnStart()
  {
//--- initialize matrices
   matrix m35, m52;
   m35.Init(3,5,Arange);
   m52.Init(5,2,Arange);
//---
   Print("1. Product of horizontal vector v[3] and matrix m[3,5]");
   vector v3 = {1,2,3};
   Print("On the left v3 = ",v3);
   Print("On the right m35 = \n",m35);
   Print("v3.MatMul(m35) = horizontal vector v[5] \n",v3.MatMul(m35));
//--- show that this is really a horizontal vector
   Print("\n2. Product of matrix m[1,3] and matrix m[3,5]");
   matrix m13;
   m13.Init(1,3,Arange,1);
   Print("On the left m13 = \n",m13);
   Print("On the right m35 = \n",m35);
   Print("m13.MatMul(m35) = matrix m[1,5] \n",m13.MatMul(m35));

   Print("\n3. Product of matrix m[3,5] and vertical vector v[5]");
   vector v5 = {1,2,3,4,5};
   Print("On the left m35 = \n",m35);
   Print("On the right v5 = ",v5);
   Print("m35.MatMul(v5) = vertical vector v[3] \n",m35.MatMul(v5));
//--- show that this is really a vertical vector
   Print("\n4. Product of matrix m[3,5] and matrix m[5,1]");
   matrix m51;
   m51.Init(5,1,Arange,1);
   Print("On the left m35 = \n",m35);
   Print("On the right m51 = \n",m51);
   Print("m35.MatMul(m51) = matrix v[3] \n",m35.MatMul(m51));

   Print("\n5. Product of matrix m[3,5] and matrix m[5,2]");
   Print("On the left m35 = \n",m35);
   Print("On the right m52 = \n",m52);
   Print("m35.MatMul(m52) = matrix m[3,2] \n",m35.MatMul(m52));

   Print("\n6. Product of horizontal vector v[5] and matrix m[5,2]");
   Print("On the left v5 = \n",v5);
   Print("On the right m52 = \n",m52);
   Print("v5.MatMul(m52) = horizontal vector v[2] \n",v5.MatMul(m52));

   Print("\n7. Outer() product of horizontal vector v[5] and vertical vector v[3]");
   Print("On the left v5 = \n",v5);
   Print("On the right v3 = \n",v3);
   Print("v5.Outer(v3) = matrix m[5,3] \n",v5.Outer(v3));
//--- show that the product of matrices generates the same result
   Print("\n8. Outer() product of the matrix m[1,5] and matrix m[3,1]");
   matrix m15,m31;
   m15.Init(1,5,Arange,1);
   m31.Init(3,1,Arange,1);
   Print("On the left m[1,5] = \n",m15);
   Print("On the right m31 = \n",m31);
   Print("m15.Outer(m31) = matrix m[5,3] \n",m15.Outer(m31));
  }
//+------------------------------------------------------------------+
//|  Fill the matrix with increasing values                          |
//+------------------------------------------------------------------+
void Arange(matrix & m, double start = 0, double step = 1) // the function has three parameters
  {
//---
   ulong cols = m.Cols();
   ulong rows = m.Rows();
   double value = start;
   for(ulong r = 0; r < rows; r++)
     {
      for(ulong c = 0; c < cols; c++)
        {
         m[r][c] = value;
         value += step;
        }
     }
//---     
  }
/*
Execution result

1. Product of horizontal vector v[3] and matrix m[3,5]
On the left v3 = [1,2,3]
On the right m35 =
[[0,1,2,3,4]
 [5,6,7,8,9]
 [10,11,12,13,14]]
v3.MatMul(m35) = horizontal vector v[5]
[40,46,52,58,64]

2. Product of matrix m[1,3] and matrix m[3,5]
On the left m13 =
[[1,2,3]]
On the right m35 =
[[0,1,2,3,4]
 [5,6,7,8,9]
 [10,11,12,13,14]]
m13.MatMul(m35) = matrix m[1,5]
[[40,46,52,58,64]]

3. Product of matrix m[3,5] and vertical vector v[5]
On the left m35 =
[[0,1,2,3,4]
 [5,6,7,8,9]
 [10,11,12,13,14]]
On the right v5 = [1,2,3,4,5]
m35.MatMul(v5) = vertical vector v[3]
[40,115,190]

4. Product of matrix m[3,5] and matrix m[5,1]
On the left m35 =
[[0,1,2,3,4]
 [5,6,7,8,9]
 [10,11,12,13,14]]
On the right m51 =
[[1]
 [2]
 [3]
 [4]
 [5]]
m35.MatMul(m51) = matrix v[3]
[[40]
 [115]
 [190]]

5. Product of matrix m[3,5] and matrix m[5,2]
On the left m35 =
[[0,1,2,3,4]
 [5,6,7,8,9]
 [10,11,12,13,14]]
On the right m52 =
[[0,1]
 [2,3]
 [4,5]
 [6,7]
 [8,9]]
m35.MatMul(m52) = matrix m[3,2]
[[60,70]
 [160,195]
 [260,320]]

6. The product of horizontal vector v[5] and matrix m[5,2]
On the left v5 =
[1,2,3,4,5]
On the right m52 =
[[0,1]
 [2,3]
 [4,5]
 [6,7]
 [8,9]]
v5.MatMul(m52) = horizontal vector v[2]
[80,95]

7. Outer() product of horizontal vector v[5] and vertical vector v[3]
On the left v5 =
[1,2,3,4,5]
On the right v3 =
[1,2,3]
v5.Outer(v3) = matrix m[5,3]
[[1,2,3]
 [2,4,6]
 [3,6,9]
 [4,8,12]
 [5,10,15]]

8. Outer() product of the matrix m[1,5] and matrix m[3,1]
On the left m[1,5] =
[[1,2,3,4,5]]
On the right m31 =
[[1]
 [2]
 [3]]
m15.Outer(m31) = matrix m[5,3]
[[1,2,3]
 [2,4,6]
 [3,6,9]
 [4,8,12]
 [5,10,15]]

*/

Para entender melhor o funcionamento interno dos tipos matrix e vector estes exemplos mostram como as matrizes podem ser utilizadas em vez de vetores ou, em outras palavras, que os vetores podem ser representados como matrizes.

struct complex
  {
   double             real;   // real part
   double             imag;   // imaginary part
  };

complex square(complex c)
  {
   return(c*c);
  }
  
void OnStart()
  {
   Print(square(1+2i));  // a constant is passed as a parameter
  }

// will print "(-3,4)" - a string representation of a complex number