Rebuy-Algorithmus: Mathematisches Modell zur Effizienzsteigerung

Inhalt

• Einführung
• Methoden zur Verfeinerung der Handelsmerkmale auf der Grundlage des Algorithmus zur Mittelwertbildung
• „Helfen Sie mir, aus dem Drawdown herauszukommen“
• Allgemeine Überlegungen zum Algorithmus der Mittelwertbildung
• Die Feinheiten einer genaueren Bewertung von Rebuy-Systemen
• Umfassendes und universelles Verständnis von Rentabilität
• Universelle Bewertung
• Beispiele für klärende Methoden
• Steigerung der Effizienz von Systemen durch Diversifizierung
• Nützliche Grenzen
• Nützliche Funktionen bei der Verwendung paralleler Tools
• Normalverteilung einer Zufallsvariablen
• Schönheit der Gewinnkurve im Rahmen des Gesetzes der Zufallswertverteilung
• Schlussfolgerung

Einführung

Diese Handelsmethode wird in einer Vielzahl von Expert Advisors aktiv eingesetzt. Außerdem gibt es viele Varianten und Hybride. Die Anzahl der Verweise auf solche Systeme zeigt, dass dieses Thema nicht nur auf dieser Website, sondern auch auf anderen Webressourcen sehr beliebt ist. Alle Methoden haben ein gemeinsames Konzept: Sie handeln gegen die Marktbewegung. Mit anderen Worten, der EA nutzt sogenannte Rebuys (Wiederholungskäufe), um so niedrig wie möglich zu kaufen und so hoch wie möglich zu verkaufen.

Dies ist ein klassisches Handelsschema, das so alt ist wie die Welt. In einem der vorangegangenen Artikel bin ich teilweise auf dieses Thema eingegangen und habe gleichzeitig Möglichkeiten aufgezeigt, wie solche Methoden miteinander kombiniert werden können. In diesem Artikel werden wir einen genaueren Blick auf das Konzept werfen und dabei tiefer gehen, als es Forennutzer tun. Der Artikel wird jedoch allgemeiner und viel breiter angelegt sein, da der Rebuy-Algorithmus sehr gut geeignet ist, einige sehr interessante und nützliche Merkmale hervorzuheben.

Methoden zur Verfeinerung der Handelsmerkmale auf der Grundlage des Algorithmus zur Mittelwertbildung

„Helfen Sie mir, aus dem Drawdown herauszukommen“ (von den Autoren von „Mein EA macht gutes Geld, aber manchmal sprengt er das gesamte Konto“)

Dies ist ein häufiges Problem vieler algorithmischer und manueller Händler. Zum Zeitpunkt der Abfassung dieses Artikels hatte ich ein Gespräch mit einer solchen Person, aber sie hat meinen Standpunkt nicht in seiner Gesamtheit verstanden. Leider habe ich den Eindruck, dass er praktisch keine Chance hat, die ganze Komik einer solchen Situation zu verstehen. Denn wenn ich einmal eine ähnliche Frage an mein älteres und erfahreneres Ich stellen könnte, würde ich die Antwort wahrscheinlich auch nicht verstehen. Ich weiß sogar, wie sich wahre Antworten auf mich selbst auswirken würden. Ich würde denken, dass ich gedemütigt oder davon abgehalten werde, mich weiter am algorithmischen Handel zu beteiligen.

In Wirklichkeit ist alles viel einfacher. Ich hatte nur die Geduld, einen bestimmten Weg zu gehen und etwas Weisheit zu erlangen, wenn man das so nennen kann. Dies ist keine Idealisierung und kein Eigenlob, sondern ein notwendiges Minimum. Es ist bedauerlich, dass dieser Weg Jahre statt Wochen und Monate gedauert hat.

Hier gibt es eine ganze Welt der Träume und des Selbstbetrugs, und um ehrlich zu sein, bin ich die Einfältigkeit mancher Leute schon langsam leid. Bitte hören Sie auf, Unsinn zu machen und zu glauben, Sie seien die Könige des Marktes. Wenden Sie sich stattdessen an eine erfahrene Person und bitten Sie sie, den EA an ihr Kapital anzupassen. Glauben Sie mir, Sie werden auf diese Weise eine Menge Zeit und Geld sparen, ganz zu schweigen von Ihrem Verstand. Eine dieser Personen hat diesen Artikel geschrieben. Die Nachweise sind unten aufgeführt.

Allgemeine Überlegungen zum Algorithmus der Mittelwertbildung

Betrachtet man den Algorithmus von Rebuy oder der „Mittelwertbildung“, so scheint es zunächst, als ob dieses System kein Verlustrisiko birgt. Es gab eine Zeit, in der ich noch keine Ahnung von solchen Tricks hatte und überrascht war von den enormen mathematischen Erwartungen, die alle Spreads übertrafen. Nun ist es klar, dass dies nur eine Illusion ist, dennoch steckt ein rationaler Kern in diesem Ansatz, aber dazu später mehr. Um solche Systeme objektiv bewerten zu können, müssen wir zunächst einige indirekte Parameter kennen, die uns ein wenig mehr sagen können als ein einfaches Bild von wachsenden Gewinnen.

Die wichtigsten Parameter im Bericht des Strategietesters können sogar helfen zu verstehen, dass das System offensichtlich verliert, obwohl die Saldenkurve großartig aussieht. Wie Sie vielleicht schon verstanden haben, geht es eigentlich um die Gewinnkurve. In der Tat sind alle wichtigen Indikatoren des Handelssystems sekundär zu den ersten und grundlegenden mathematischen Eigenschaften, die natürlich die mathematische Erwartung und ihre primären Eigenschaften sind. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass die mathematische Erwartung ein so flexibler Wert ist, dass man immer in die Falle des Wunschdenkens tappen kann.

Um einen solchen Begriff wie die mathematische Erwartung richtig zu verwenden, muss man zunächst verstehen, dass es sich dabei um die Terminologie der Wahrscheinlichkeitstheorie handelt, und jede Berechnung dieser Größe sollte nach den Regeln der Wahrscheinlichkeitstheorie durchgeführt werden, nämlich:

• Berechnungen sind umso genauer, je größer die untersuchte Stichprobe ist, idealerweise wird der genaue Wert aus einer unendlichen Stichprobe berechnet.
• Wenn wir die Unendlichkeit in mehrere Teile zerlegen, erhalten wir mehrere Unendlichkeiten.

Man könnte sich fragen, wie man den exakten mathematischen Erwartungswert einer bestimmten Strategie berechnen kann, wenn man nur eine begrenzte Anzahl von realen Kursen zur Verfügung hat. Und jemand wird sich fragen, warum wir diese Unendlichkeiten überhaupt brauchen. Die Sache ist die, dass alle Schätzungen bestimmter gemittelter Werte, wie z. B. die mathematische Erwartung, nur in dem Bereich Gewicht haben, in dem diese Berechnungen vorgenommen wurden, aber nichts mit einem anderen Bereich zu tun haben. Jede mathematische Eigenschaft hat nur dort Gewicht, wo sie berechnet wird. Dennoch lassen sich einige Techniken unterscheiden, um die Merkmale der Rentabilität einer bestimmten Strategie zu verfeinern, was es ermöglicht, die Werte zu erhalten, die den wahren Werten der erforderlichen Parameter am nächsten kommen.

Dies steht in direktem Zusammenhang mit unserer Aufgabe. Nachdem wir festgestellt haben, dass wir nicht in die Zukunft einer unendlich langen Strategie sehen können, was an sich schon nach völligem Unsinn klingt. Dennoch ist dies eine mathematische Tatsache und eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Berechnung der wahren mathematischen Eigenschaften. Wir kommen auf die Idee, wie man die auf einer begrenzten Stichprobe berechnete Zahl näher an die Zahl heranbringen kann, die auf einer unendlichen Stichprobe berechnet werden könnte. Diejenigen, die sich mit Mathematik auskennen, wissen, dass es zwei mathematische Konzepte gibt, mit denen man unendliche Summen berechnen kann:

• Integral
• Summe der unendlichen Reihen

Ich denke, es ist jedem klar, dass man zur Berechnung des Integrals sowie der Summe der Reihe entweder alle Punkte der Funktion, deren Integral berechnet werden soll, innerhalb des betrachteten Integrationsbereichs oder alle Elemente der Zahlenfolge innerhalb der betrachteten Reihe erhalten muss. Es gibt immer noch die perfekteste Möglichkeit: die entsprechenden mathematischen Ausdrücke für die zu integrierende Funktion und den Ausdruck für die Erzeugung der Elemente der Reihe. In vielen Fällen können wir, wenn wir die entsprechenden mathematischen Ausdrücke haben, die exakten Gleichungen für das begrenztes Integral oder die Summe der Reihen erhalten, aber im Falle des realen Handels werden wir nicht in der Lage sein, die Differentialrechnung anzuwenden, und im Allgemeinen wird uns das nicht viel helfen, aber es ist wichtig zu verstehen.

Die Schlussfolgerung aus all dem ist, dass wir für die direkte Bewertung eines jeden Systems nur eine begrenzte Stichprobe und bestimmte Parameter haben, die wir im Strategietester erhalten. In der Tat wird ihre Bedeutung stark übertrieben. Es stellt sich die Frage, ob es möglich ist, die Rentabilität einer bestimmten Strategie anhand der Parameter des Strategietesters zu beurteilen, ob diese Parameter für eine eindeutige Antwort ausreichen und vor allem, wie man diese Parameter richtig einsetzt und ob wir sie wirklich richtig einsetzen.

Außerdem müssen wir verstehen, dass für jede Strategie jeder Parameter, anhand dessen wir die tatsächliche Rentabilität und Sicherheit der Strategie richtig einschätzen können, völlig unterschiedlich sein kann. Dies steht in direktem Zusammenhang mit der Auswertung der Gewinnkurve. Um dies zu verstehen, lassen Sie uns zunächst eine ungefähre Übersicht über die Handelskurve zeichnen, die wir erhalten, wenn wir den Rebuy-Algorithmus verwenden:

Abb. 1

Beginnen wir mit der Implementierung eines Rebuys für ein Instrument. Wenn Sie diesen Algorithmus richtig anwenden, wird Ihr Handel auf jeden Fall aus Zyklen bestehen. Im Idealfall sollten alle Zyklen positiv sein. Wenn sich einige Zyklen im negativen Bereich schließen, dann wird der Algorithmus entweder falsch implementiert, oder er ist kein reiner Algorithmus mehr und es gibt bereits Änderungen darin. Aber wir werden den klassischen Rebuy betrachten. Definieren wir einige charakteristische Parameter der Handelskurve, um einen klassischen Rebuy zu bezeichnen:

• Die Saldenkurve muss wachsend sein und aus N Zyklen bestehen
• Alle Zyklen haben einen positiven Gewinn
• Wenn der Handel unterbrochen wird, befinden wir uns wahrscheinlich im letzten unvollständigen Zyklus
• Unvollständiger Zyklus hat negative Rentabilität
• Zyklen weisen charakteristische Drawdowns auf.

Es scheint, dass das allgemeine Erscheinungsbild der Kurve auf den ersten Blick deutlich machen sollte, dass ein solches System rentabel ist, aber nicht alles ist so einfach. Wenn Sie sich den letzten unvollendeten Handelszyklus ansehen, den ich speziell unter dem Startpunkt geschlossen habe, werden Sie sehen, dass Sie in einigen Fällen Glück haben und auf den erfolgreichen Abschluss des Zyklus warten werden, während Sie in anderen Fällen entweder nicht bis zum Ende warten und einen großen Verlust erleiden oder Ihre Einlage vollständig aufbrauchen werden. Warum ist das so? Das Problem ist, dass das Bild den falschen Eindruck erwecken kann, dass der Betrag des Drawdowns durch das Eigenkapital in seinem absoluten Wert begrenzt ist und folglich auch die Zeit, die in diesem Drawdown verbracht wird, begrenzt sein sollte.

Je länger der Testbereich ist, desto länger ist auch der durchschnittliche Länge eines Drawdowns. Hier gibt es absolut keine Grenzen. Das Limit besteht nur in der Form Ihrer Einzahlung und der Qualität Ihrer Geldverwaltung. Eine kompetente Vorgehensweise bei der Einrichtung Ihres Systems auf der Grundlage dieses Prinzips kann jedoch nur dazu führen, dass sich die Lebensdauer Ihres Kapitals verlängert, bevor es schließlich in die Luft fliegt oder bestenfalls einen sehr geringen Gewinn abwirft.

Beim Testen von Systemen, die auf dem Rebuy-Algorithmus (Mittelwertbildung) basieren, sollte man sich an eine spezielle Teststruktur halten, um die Überlebensfähigkeit, Zuverlässigkeit und tatsächliche Rentabilität korrekt zu bewerten. Der springende Punkt ist, dass der Wert eines einzelnen Tests bei diesem Ansatz aus einem einfachen Grund minimiert wird: Wenn Sie eine „normale“ Strategie testen, liegt Ihr Gewinn für den gesamten Test im Strategietester sehr nahe an dem „normal“ verteilten Wert. Das bedeutet, dass Sie beim Testen einer durchschnittlichen Strategie, ohne eine Position für eine lange Zeit zu halten, eine annähernd gleiche Anzahl von profitablen und unprofitablen Testbereichen erhalten werden, was Ihnen sehr schnell zeigt, dass die Strategie instabil ist oder dass die Strategie ein korrektes Verständnis des Marktes hat und auf der gesamten Geschichte funktioniert.

Wenn es sich um eine Rebuy-Strategie handelt, kann diese Verteilung stark deformiert werden, da für das korrekte Testen dieses Systems die maximal mögliche Einzahlung festgelegt werden muss. Darüber hinaus hängt das Testergebnis stark von der Länge der Tests ab. Bei diesem Ansatz basiert der gesamte Handel auf Handelszyklen, und jede einzelne Einstellung dieses Systems kann sowohl einen völlig anderen Parameter des durchschnittlichen Drawdowns als auch den damit verbundenen Parameter der durchschnittlichen Dauer des Drawdowns aufweisen. Je nach diesen Indikatoren können zu kurze Testabschnitte entweder ein zu hohes oder ein zu niedriges Testergebnis anzeigen. In der Regel werden nur wenige solcher Tests durchgeführt, was in den meisten Fällen zu einem übermäßigen Vertrauen in die Funktionsweise dieser Systeme führen kann.

Die Feinheiten einer genaueren Bewertung von Rebuy-Systemen

Nun wollen wir lernen, wie man die Leistung von Systemen mit dem Rebuy-Algorithmus richtig bewertet, indem man die bekannten Parameter von Handelssystemen verwendet. Zunächst einmal würde ich bei einer solchen Bewertung dazu raten, ein einziges Merkmal heranzuziehen - den Erholungsfaktor (angl. recovery factor). Lassen Sie uns herausfinden, wie wir ihn ermitteln können:

• Erholungsfaktor = Gesamtgewinn / maximaler Drawdown vom Eigenkapital
• Gesamtgewinn - Gesamtgewinn pro Handelsbereich
  
• maximaler Drawdown vom Eigenkapital - maximaler Drawdown des Eigenkapitals im Verhältnis zum vorherigen gemeinsamen Punkt für Saldo und Eigenkapital (Saldo-Peak)
  

Wie man sieht, ist dies der Endgewinn geteilt durch den maximalen Drawdown der Mittel. Die mathematische Bedeutung dieses Indikators im klassischen Sinne besteht darin, dass er der Idee nach die Fähigkeit des Systems anzeigen soll, seinen Drawdown durch Eigenkapital wiederherzustellen. Die Randbedingung für die Rentabilität eines Handelssystems bei Verwendung eines solchen Merkmals ist die folgende Tatsache:

• Erholungsfaktor > 1
  

In verständliche menschliche Sprache übersetzt bedeutet dies, dass wir nicht mehr als den gleichen Betrag der Einlage riskieren dürfen, um einen Gewinn zu erzielen. Dieser Parameter ermöglicht in vielen Fällen eine genaue Bewertung der Handelsqualität für ein bestimmtes System. Verwenden Sie ihn, aber seien Sie sehr vorsichtig, denn dieser Wert ist hinsichtlich seiner mathematischen Bedeutung sehr umstritten.

Dennoch muss ich Ihnen alle Nachteile aufzeigen, damit Sie verstehen, dass auch dieser Parameter sehr willkürlich ist und der Grad seiner mathematischen Aussagekraft sehr gering ist. Natürlich könnte man sagen, wenn man etwas kritisiert, dann sollte man eine Alternative anbieten. Das werde ich sicherlich tun, aber erst nachdem wir diesen Parameter analysiert haben. Dieser Parameter ist an den maximalen Drawdown gebunden, der wiederum an einen beliebigen Punkt auf der Handelskurve gebunden sein kann, was bedeutet, dass wir, wenn wir diesen Drawdown in Bezug auf das Startguthaben neu berechnen und ihn durch den maximalen Drawdown ersetzen, fast immer einen überschätzten Erholungsfaktor erhalten. Lassen Sie uns das Ganze richtig formalisieren:

• Erholungsfaktor Variation 1 = Gesamtgewinn / maximaler Drawdown vom Eigenkapital Seit Beginn
• maximaler Drawdown vom Eigenkapital Seit Beginn - maximaler Drawdown vom Startguthaben (nicht vom vorherigen Maximum)
  

Natürlich ist dies nicht der klassische Erholungsfaktor, aber er bestimmt die Rentabilität im Vergleich zur allgemein akzeptierten Randbedingung sehr viel genauer. Lassen Sie uns zunächst die beiden Möglichkeiten zur Berechnung dieses Indikators visuell darstellen - die klassische und meine: 

Abb. 2

Man sieht, dass dieser Parameter im ersten Fall höhere Werte annimmt, was wir natürlich wollen. Unter dem Gesichtspunkt der Gewinnbewertung können jedoch zwei Ansätze verfolgt werden. Der klassische Parameter passt besser zu dem Ansatz, die Dauer der Testphase so lang wie möglich zu halten. In diesem Fall kompensiert ein höherer Wert von Max Equity Drawdown die Tatsache, dass dieser Drawdown nicht gleich zu Beginn der Handelskurve einsetzt, sodass dieser Parameter in den meisten Fällen nahe an der wahren Schätzung liegt. Mein Parameter ist effizienter, wenn mehrere Backtests ausgewertet werden.

Mit anderen Worten, dieser Parameter ist umso genauer, je mehr Tests Sie mit Ihrer Strategie durchgeführt haben. Die Tests Ihrer Strategie sollten in möglichst vielen verschiedenen Zeiträumen stattfinden. Das bedeutet, dass die Anfangs- und Endpunkte so gewählt werden sollten, dass sie möglichst variabel sind. Für eine korrekte Bewertung ist es erforderlich, „N“ der unterschiedlichsten Bereiche auszuwählen und zu testen und dann das arithmetische Mittel dieses Indikators für alle Testbereiche zu berechnen. Diese Regel ermöglicht es uns, beide Versionen des Erholungsfaktors zu verfeinern, sowohl meine als auch die klassische Version, mit der einzigen Änderung, dass weniger unabhängige Backtests durchgeführt werden müssen, um die klassische Version zu verfeinern.

Dennoch wäre es eine Untertreibung zu sagen, dass solche klärenden Manipulationen für die Klärung dieser Parameter zu wenig sind. Ich habe meine eigene Version des Erholungsfaktors demonstriert, um zu zeigen, dass jeder seinen eigenen ähnlichen Parameter entwickeln kann, und er kann sogar als eine der berechneten Eigenschaften für das Backtesting im MetaTrader hinzugefügt werden. Aber für keinen dieser Parameter gibt es einen mathematischen Beweis, und darüber hinaus hat jeder dieser Parameter seine eigenen Fehler und Grenzen der Anwendbarkeit. All dies bedeutet, dass es im Moment keinen exakten mathematischen Indikator für eine absolut genaue Bewertung des einen oder anderen Algorithmus mit Rebuy gibt. Allerdings tendiert mein Parameter zur absoluten Genauigkeit, wenn die Zahl der verschiedenen Tests zunimmt. Ich werde im nächsten Abschnitt mehr Details dazu geben.

Umfassendes und universelles Verständnis von Rentabilität

Universelle Bewertung

Ich glaube, jeder weiß, dass solche Parameter wie die mathematische Gewinnerwartung und der Gewinnfaktor in jedem Bericht des Strategietesters oder in den Merkmalen eines Handelssignals vorhanden sind, aber ich glaube, niemand hat Ihnen gesagt, dass diese Merkmale auch zur Berechnung der Rentabilität solcher Handelssysteme verwendet werden können, bei denen es keine ausreichende Analyse des Handels gibt. Sie können diese Parameter also verwenden, indem Sie die Einheit „Position“ durch „Test des Segments“ ersetzen. Bei der Berechnung dieses Indikators müssen Sie viele unabhängige Tests durchführen, ohne Rücksicht auf irgendeine Struktur im Inneren. Dieser Ansatz hilft Ihnen, die tatsächlichen Aussichten des Handelssystems zu beurteilen, indem Sie nur die beiden beliebtesten Parameter verwenden. Darüber hinaus kann es Ihnen eine äußerst nützliche Angewohnheit vermitteln - mehrere Tests. Um diesen Ansatz zu verwenden, müssen Sie nur die folgende Gleichung kennen:

wobei:

• M - erwarteter Auszahlungswert
• Wp - gewünschter Gewinn
• Investments - wie viel sind Sie bereit zu investieren, um den gewünschten Gewinn zu erzielen
• P - Wahrscheinlichkeit, dass wir genügend Investitionen haben, bis der Gewinn erreicht ist
• (1-P) - Wahrscheinlichkeit, dass die Investition nicht ausreicht, um den Gewinn zu erzielen (Verlust der Einlage)

Nachstehend finden Sie eine ähnliche Gleichung für den Gewinnfaktor (profit factor):

Alles, was Sie wissen müssen, ist, dass bei zufälligem Handel und dem Fehlen von Hindernissen wie Spread, Kommission und Swap sowie Slippage diese Variablen für jedes Handelssystem immer die folgenden Werte annehmen werden:

M=0

Pf=1

Diese Merkmale können sich nur dann in Ihre Richtung ändern, wenn es einen vorausschauenden Moment gibt. Daher nimmt die Wahrscheinlichkeit, dass wir einen Gewinn erzielen, ohne die Einlage zu verlieren, den folgenden Wert an:

Wenn Sie diesen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit in unsere Gleichungen einsetzen, erhalten Sie die von mir angegebenen Identitäten. Wenn wir Spread, Provision und Swap berücksichtigen, ergibt sich folgendes Bild:

Der Spread, die Provision und der Swap verringern die Endwahrscheinlichkeit, was letztlich dazu führt, dass die Identitäten ihre Gültigkeit verlieren. Stattdessen erscheinen die folgenden Ungleichungen:

• M < 0
• Pf < 1

Dies ist bei absolut jedem Handelssystem der Fall, und der Rebuy-Algorithmus hier ist absolut nicht besser als jedes andere System. Wenn ein solches System getestet oder betrieben wird, kann es die Verteilungsfunktion des Zufallswertes des Signals oder des Backtest-Endgewinns stark deformieren, aber dieses Szenario tritt typischerweise am häufigsten bei kurzfristigen Tests oder im Betrieb auf.

Das liegt daran, dass die Wahrscheinlichkeit eines großen Drawdowns viel geringer ist, wenn Sie auf einem kurzen Abschnitt testen. Aber wenn Sie anfangen, diese Tests über längere Abschnitte durchzuführen, werden Sie in der Regel Dinge sehen, die Sie vorher nicht gesehen haben. Aber ich bin sicher, dass sich die meisten beruhigen können, dass es sich nur um einen Unfall handelt und dass man diese gefährlichen Bereiche nur irgendwie umgehen muss. Das Gleiche gilt im Allgemeinen für Mehrfachtests in kurzen Zeitabschnitten.

Es gibt nur einen Weg, die Unrentabilität eines jeden Systems zu überwinden. Fügen wir der Gleichung für die Wahrscheinlichkeitsberechnung eine weitere Komponente hinzu:

Wie wir sehen können, ist die neue Komponente „dP(Prediction)“ in der Gleichung erschienen. Sie hat ein Pluszeichen, was ich absichtlich gemacht habe, um zu zeigen, dass nur diese Komponente in der Lage ist, die Auswirkungen von Spreads, Provisionen und Swaps zu kompensieren. Das bedeutet, dass wir in erster Linie eine ausreichende Vorhersagequalität benötigen, um die negativen Auswirkungen zu überwinden und Gewinne zu erzielen:

Wir können unsere gewünschten Ungleichungen nur erhalten, wenn wir diese spezielle Ungleichung angeben:

• M > 0
• Pf > 1

Wie Sie sehen, sind diese Ausdrücke sehr leicht zu verstehen, und ich bin sicher, dass niemand an ihrer Richtigkeit zweifeln wird. Der nächste Unterabschnitt wird anhand dieser Gleichungen leichter zu verstehen sein. Ich rate Ihnen, sich diese zu merken, oder zumindest ihre Logik, damit Sie sie bei Bedarf immer wieder in Erinnerung rufen können. Die Hauptsache ist, dass sie verstehen. Im Allgemeinen reicht eine dieser Gleichungen aus, aber ich hielt es für besser, für ein Beispiel zwei zu zeigen. Die anderen Parameter sind meiner Meinung nach im Rahmen dieses Abschnitts überflüssig.

Beispiele für erklärende Methoden

In diesem Unterabschnitt möchte ich Ihnen einige zusätzliche Verfeinerungsmanipulationen anbieten, die es Ihnen ermöglichen, einen korrekteren Wert für den Wiederherstellungsfaktor zu erhalten. Ich schlage vor, dass Sie sich die nummerierten Segmente in „Abb. 1“ noch einmal ansehen. Um den Rückgewinnungsfaktor zu verfeinern, muss man sich vorstellen, dass es sich bei diesen Segmenten um unabhängige Tests handelt. Auf diese Weise können wir auf mehrfache Tests verzichten, wenn wir davon ausgehen, dass wir diese Tests bereits durchgeführt haben. Dies ist möglich, weil es sich bei diesen Segmenten um Zyklen handelt, die sowohl einen Start- als auch einen Endpunkt haben, was die Äquivalenz zum Backtest gewährleistet. 

Im Rahmen dieses Abschnitts lohnt es sich meiner Meinung nach auch, das erste Bild durch sein Äquivalent zu ergänzen, wenn man bedenkt, dass wir mit mehreren Instrumenten gleichzeitig testen oder handeln. So sieht die Handelskurve aus, wenn der Rebuy-Algorithmus für den parallelen Handel mit mehreren Instrumenten verwendet wird:

Abb. 3

Wie wir sehen, unterscheidet sich diese Kurve in ihrer Struktur von der Kurve für den Re-Buy auf ein Instrument. Ich habe hier zwischenzeitlich blaue Punkte hinzugefügt, was bedeutet, dass es vor dem Drawdown Segmente geben kann, die einen „umgekehrten Drawdown“ aufweisen. Wir können dies nämlich nicht als Drawdown betrachten. Dennoch dürfen wir diese Segmente nicht ignorieren. Deshalb müssen sie Teil eines Zyklus‘ sein.

Meiner Meinung nach wäre es richtiger, jeden neuen Zyklus auf das Ende des vorhergehenden zu verschieben. In diesem Fall sollte das Ende des vorangegangenen Zyklus als der Erholungspunkt des letzten Aktienrückgangs angesehen werden. In der Abbildung sind diese Zyklen durch rote Punkte getrennt. Diese Definition des Zyklus ist jedoch nicht ausreichend. Wichtig ist auch die Feststellung, dass es nicht ausreicht, den Drawdown durch Eigenkapital zu fixieren, sondern dass er niedriger sein muss als zu Beginn des aktuellen Zyklus. Um welche Art von Drawdown handelt es sich sonst?

Nachdem wir diese Zyklen hervorgehoben haben, können wir sie als separate, unabhängige Tests betrachten und den Wiederfindungsfaktor für jeden von ihnen berechnen. Dies kann auf folgende Weise geschehen:

In dieser Gleichung werden die entsprechenden Punkte auf der Gleichgewichtskurve (der Endwert des Gleichgewichts auf dem Abschnitt und der Anfangswert) als „B“ verwendet, während das Delta unsere Inanspruchnahme darstellt. Ich möchte auch, dass der Leser zum letzten Bild zurückkehrt. Darin habe ich das Delta vom roten Startpunkt jedes Zyklus aus aufgezeichnet und nicht vom blauen, wie es normalerweise der Fall ist, und zwar aus den oben genannten Gründen. Wenn Sie jedoch den ursprünglichen Erholungsfaktor klären müssen, sollte das Delta vom blauen Punkt aus aufgetragen werden. In diesem Fall ist die Methode zur Verfeinerung der Parameter wichtiger als die Parameter selbst. Als Mittelwertbildung wird das einfache arithmetische Mittel herangezogen.

Dennoch sollten Sie auch nach Klärung des einen oder anderen nutzerdefinierten oder klassischen Parameters die Tatsache, dass der Wert dieses Indikators mehr als eins oder sogar zwei oder drei beträgt, nicht als Zeichen für ein profitables Handelssystem werten.

Genau die gleiche Gleichung sollte bei mehreren Backtests angewendet werden. Der Punkt ist, dass jeder Backtest in diesem Fall einem Zyklus gleichkommt. Wir können sogar zuerst die Durchschnitte für die Zyklen berechnen und danach den Durchschnitt der Durchschnitte im Verhältnis zu den Backtests berechnen. Oder wir können es viel einfacher machen, indem wir die Dauer des Testabschnitts maximieren. Diese Vorgehensweise erspart Ihnen zumindest Mehrfachtests, da die Anzahl der Zyklen maximal ist und somit der durchschnittliche Erholungsfaktor so genau wie möglich berechnet werden kann.

Steigerung der Effizienz von Systemen durch Diversifizierung

Nützliche Grenzen

Nachdem Sie sich mit den Möglichkeiten zur Verfeinerung bestimmter Merkmale von Backtests befasst haben, sind Sie zweifellos besser gewappnet, aber Sie wissen immer noch nicht das Wichtigste. Die Grundlage liegt in der Antwort auf die Frage, warum es notwendig ist, all diese Mehrfachprüfungen oder die Aufteilung in Zyklen durchzuführen. Die Frage ist wirklich komplex, solange man nicht so viel Zeit investiert wie ich. Das ist leider notwendig, aber mit meiner Hilfe können Sie die Zeit, die Sie dafür benötigen, erheblich reduzieren.

In diesem Abschnitt können Sie die Objektivität eines bestimmten Parameters bewerten. Ich werde versuchen, dies sowohl theoretisch als auch anhand von Gleichungen zu erklären. Beginnen wir mit der allgemeinen Gleichung:

Betrachten wir eine ähnliche Gleichung mit einigen leichten Änderungen:

Das Wesen dieser Gleichungen ist das gleiche. Diese Gleichungen zeigen, dass injedem profitablen Handelssystem, wenn die Dauer des Testabschnitts gegen unendlich tendiert, eine vollständige Verschmelzung der Salden- und der aktuellen Gewinnkurve erfolgt, wobei eine bestimmte Linie unseren durchschnittlichen Gewinn darstellt. In den meisten Fällen wird die Art dieser Linie durch die von uns gewählte Strategie bestimmt. Zum besseren Verständnis sehen wir uns das folgende Bild an:

Abb. 4

Wenn Sie sich dieses Bild genau ansehen, werden Sie darauf alle Größen sehen, die in unseren Gleichungen vorkommen. Sie offenbart die geometrische Bedeutung unserer mathematischen Grenzen. Das einzige, was in unseren Gleichungen fehlt, ist das Zeitintervall dT. Mit diesem Intervall diskretisieren wir unsere Gleichgewichtsschritte und erhalten alle Punkte unserer Zahlenreihe für das Gleichgewicht und den Gewinn dieser Intervalle und berechnen auch die Werte unserer Mittellinie an denselben Punkten. Diese Gleichungen sind die mathematische Entsprechung der folgenden Aussage:

• Je häufiger wir mehrere Tests oder Handelskurven miteinander kombinieren, desto mehr sehen sie wie eine sanft ansteigende Linie aus (nur wenn das System wirklich profitabel ist)

Mit anderen Worten, jedes profitable Handelssystem sieht im grafischen Teil des Strategietesters oder Signals umso schöner aus, je länger der Testbereich ist, den wir wählen. Manch einer mag sagen, dass kein System solche Indikatoren erreichen kann, doch gibt es auf dem Markt zahlreiche Beispiele, sodass es dumm wäre, dies zu leugnen. Es hängt alles von der Universalität des Algorithmus ab und davon, wie gut man die Physik des Marktes versteht. Wenn Sie die Mathematik kennen, die dem Markt, auf dem Sie handeln, immer innewohnt, dann erhalten Sie tatsächlich eine unendlich wachsende Gewinnkurve, und Sie müssen nicht auf eine ganze Unendlichkeit warten, um die Wirksamkeit des Systems zu bestätigen. Es ist natürlich klar, dass dies eine äußerst schwierige Aufgabe ist, aber dennoch ist diese Aufgabe im Rahmen vieler Algorithmen machbar.

Zum Abschluss dieser theoretischen Einführung werden wir lernen, wie man die erhaltenen Techniken richtig anwendet. Man könnte sich fragen, wie man diese Techniken bei unendlichen Summen anwenden kann, wenn wir nur begrenzte Stichproben und dementsprechend auch unvermeidlich unvollständige Summen haben.

1. Die Antwort liegt darin, die gesamte Geschichte in Abschnitte zu unterteilen.
2. Wählen Sie mehrere Segmente mit einer stetig wachsenden Länge für die Dauer der Prüfung bis zu einem Segment in der gesamten Historie.
3. Wählen Sie eine Testmethodik.
4. Test.
5. Achten Sie auf eine Verbesserung des Erholungsfaktors und/oder der relativen Absenkung.

Das Wesen dieses kniffligen Testschemas besteht darin, indirekte Anzeichen dafür zu finden, dass unsere Grenzwerte tatsächlich gegen unendlich bzw. null tendieren. Um die Effizienz unseres Testschemas zu erhöhen, müssen wir uns darüber im Klaren sein, dass der längste Testabschnitt zumindest schöner aussehen sollte als der kürzeste, und im Idealfall sollte jeder nachfolgende Abschnitt sowohl größer sein als auch schöner aussehen. Ich verwende den Begriff „schöner“ nur, um allen klarzumachen, dass dies tatsächlich unseren Grenzen entspricht.

Unsere Grenzen gelten jedoch nur für theoretische Überlegungen oder Vorbereitungen (was auch immer Sie wollen). In diesem Zusammenhang stellt sich die Frage, wie man diese Fakten herausfinden kann, ohne auf eine „Augenscheinanalyse“ zurückzugreifen. Wir müssen unsere Grenzwerte irgendwie an die Parameter anpassen, die wir im Bericht des Strategietesters haben. Mit anderen Worten, wir brauchen alternative Grenzwerte für einige Strategie-Tester-Berichte oder Signalparameter, damit unsere Teststruktur verwendet werden kann. Ich möchte Ihnen die notwendigen und ausreichenden alternativen Grenzwerte aufzeigen:

Was wir hier verstehen sollten:

1. Während eines unendlichen Tests tendiert der Erholungsfaktor jeder rentablen Strategie gegen unendlich.
2. Während eines unendlichen Tests tendiert der relative Drawdown nach Eigenkapital (bei jeder profitablen Strategie) gegen Null.
3. Während eines unendlichen Tests tendiert der Gewinnfaktor der Geschäfte jeder profitablen Strategie zu seinem Mittelwert und hat eine endliche reale Grenze.
4. Während eines unendlichen Tests tendiert der mathematische Erwartungswert jeder profitablen Strategie ohne aktivierte Auto-Lot-Funktion (mit festem Lot) zu seinem Durchschnittswert und hat eine endliche reale Grenze.

All dies hat mit unendlichen Tests zu tun, aber es ist nützlich, die mathematische Bedeutung dieser Grenzwerte zu verstehen, bevor man sie auf eine endliche Stichprobe anwendet. Die Anpassung dieser Ausdrücke an unsere Methodik sollte damit beginnen, dass wir mehrere Testsegmente auswählen sollten, von denen jedes deutlich größer sein sollte als das vorherige, vorzugsweise mindestens doppelt. Dies ist notwendig, um den Unterschied zwischen kürzeren und längeren Tests feststellen zu können. Wenn wir unsere Tests so nummerieren, dass mit steigendem Index auch die Länge der Tests zeitlich zunimmt, ergibt sich folgende Anpassung für den Fall endlicher Stichproben:

Mit anderen Worten, eine Erhöhung des Erholungsfaktors und eine Verringerung des relativen Drawdowns in Bezug auf die Mittel ist ein indirekter Beweis dafür, dass höchstwahrscheinlich die weitere Erhöhung des Testsegments oder der Signallebensdauer unsere Kurve visuell schöner werden lässt. Das bedeutet, dass wir die Erfüllung unserer unendlichen Grenzen bestätigt haben. Andernfalls, wenn die Gewinnkurve nicht geradliniger wird, können wir feststellen, dass das erzielte Ergebnis sehr nahe am Zufall liegt und die Wahrscheinlichkeit von Verlusten in der Zukunft extrem hoch ist.

Natürlich werden viele sagen, dass wir das System einfach öfter optimieren können und dann ist alles in Ordnung. In einigen äußerst seltenen Fällen ist dies möglich, doch erfordert dieser Ansatz eine völlig andere Prüfmethodik. Ich rate niemandem zu diesem Ansatz, denn in diesem Fall haben Sie keine Mathematik, während Sie hier alles in klarer Form haben.

All diese Nuancen sollten Sie davon überzeugen, dass das Testen des Rebuy-Algorithmus umso mehr den Einsatz dieses Ansatzes erfordert. Insbesondere können wir die Aufgabe sogar vereinfachen und das Rebuy-System sofort auf dem Segment mit der maximalen Länge testen. Wir können diese Logik umkehren. Wenn uns die Handelsleistung im längsten Segment nicht gefällt, dann zeigt eine noch bessere Leistung in den kurzen Segmenten, dass unsere Ungleichheiten nicht mehr erfüllt sind und das System in diesem Stadium nicht für den Handel bereit ist.

Nützliche Funktionen im Hinblick auf die parallele Verwendung mehrerer Instrumente

Wenn wir auf der Grundlage einer begrenzten Vorgeschichte testen, stellt sich sicherlich die Frage, ob die Vorgeschichte ausreicht, um unsere Testmethode korrekt anzuwenden. In vielen Fällen hat die Strategie zwar Gewicht, aber ihre Qualität ist nicht hoch genug für eine komfortable Nutzung. Zunächst sollten wir uns zumindest darüber klar werden, ob es wirklich einen vorhersehbaren Anfang gibt und ob wir uns für seine Modernisierung einsetzen können. In einigen Fällen haben wir buchstäblich nicht genug Handelshistorie zur Verfügung. Was sollen wir tun? Wie viele aufgrund des Titels des Unterabschnitts bereits vermutet haben, sollten wir zu diesem Zweck mehrere Instrumente einsetzen. 

Es scheint eine offensichtliche Tatsache zu sein, aber leider gibt es, wie immer, nirgendwo eine Berechnung. Das Wesen der Prüfung mit mehreren Instrumenten ist gleichbedeutend mit demselben Wesen bei der Verlängerung der Prüfdauer. Die einzige Änderung ist, dass es sich um ein Mehrwährungssystem handeln muss. Das System kann unterschiedliche Einstellungen für verschiedene Handelsinstrumente haben, aber es ist wünschenswert, dass alle Einstellungen ähnlich sind. Die Ähnlichkeit der Einstellungen steht für die Tatsache, dass das System physikalische Prinzipien verwendet, die mit einer größtmöglichen Anzahl von Handelsinstrumenten funktionieren.

Bei diesem Ansatz und der korrekten Durchführung solcher Tests sollte der Index „i“ bereits als die Anzahl der gleichzeitig geprüften Instrumente auf einem festen Prüfabschnitt verstanden werden. Dann haben die Ausdrücke folgende Bedeutung:

1. Bei der Erhöhung der Anzahl der gehandelten Instrumente gilt: je mehr Instrumente, desto größer der Erholungsfaktor.
2. Je mehr Instrumente gehandelt werden, desto geringer ist der relative Drawdown bei Aktien.

In der Tat kann eine Erhöhung der Anzahl der Tests der Einfachheit halber als eine Erhöhung der Gesamtdauer der Tests interpretiert werden, wenn man jeden Test für jedes Werkzeug als Teil eines großen Gesamttests betrachtet. Diese Abstraktion wird Ihnen nur helfen zu verstehen, warum dieser Ansatz auch die gleiche Macht hat. Aber wenn wir diese Frage genauer betrachten und besser verstehen, warum eine Linie, die aus mehreren Einsen besteht, viel schöner ist, dann sollten wir die folgenden Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie verwenden:

• Zufallswert
• Varianz einer Zufallsvariablen
• Mathematischer Erwartungswert einer Zufallsvariablen
• Das Gesetz der Normalverteilung einer Zufallsvariablen

Um zu erklären, warum wir all dies brauchen, brauchen wir zunächst ein Bild, das uns hilft, einen Backtest oder ein Handelssignal etwas anders zu betrachten:

Abb. 5

Ich ziehe hier keine Saldenkurve, denn die entscheidet hier nichts, wir brauchen nur eine Gewinnlinie. Die Bedeutung dieses Bildes besteht darin, dass fürjede Gewinnlinie eine unendliche Anzahl unabhängiger Segmente mit fester Länge ausgewählt werden kann, aus denen sich das Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen des Gewinnlinieninkrements konstruieren lässt. Das Vorhandensein einer Zufallsvariablen bedeutet, dass der Gewinnzuwachs in dem ausgewählten Bereich in der Zukunft völlig unterschiedliche Werte in einem weiten Bereich haben kann.

Es klingt kompliziert, aber eigentlich ist alles ganz einfach. Ich denke, viele Menschen haben schon vom Gesetz der Normalverteilung gehört. Sie beschreibt angeblich fast alle Zufallsprozesse in der Natur. Ich denke, das ist nicht mehr als eine Illusion, die erfunden wurde, um Sie vom „Denken“ abzuhalten. Spaß beiseite: Die Beliebtheit des Verteilungsgesetzes liegt darin begründet, dass es sich um eine künstlich erstellte und sehr bequeme Gleichung zur Beschreibung symmetrischer Verteilungen in Bezug auf den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen handelt. Sie wird uns für weitere mathematische Transformationen und Experimente nützlich sein.

Bevor wir jedoch mit diesem Gesetz arbeiten, sollten wir die wichtigste Eigenschaft für jedes Verteilungsgesetz einer Zufallsvariablen definieren:

Jedes Gesetz der Verteilung von Zufallsvariablen ist im Wesentlichen das Analogon der vollständigen Gruppe der nicht-zusammenhängenden Ereignisse. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir keine feste Anzahl dieser Ereignisse haben und jederzeit ein beliebiges Ereignis von Interesse auswählen können:

Streng genommen betrachtet dieses Integral die Wahrscheinlichkeit, eine Zufallsvariable im angegebenen Bereich einer Zufallsvariablen zu finden. Natürlich kann sie nicht größer als eins sein. Kein Gesamtereignis aus einem bestimmten Ereignisraum kann eine Wahrscheinlichkeit von mehr als eins haben. Dies ist jedoch nicht das Wichtigste. Wichtig ist hier nur, dass Sie verstehen, dass das Ereignis in diesem Fall nur durch eine Menge von zwei Zahlen bestimmt wird. Dies sind Beispiele für Zufallsvariablen mit minimaler Dimension.

Es gibt Analogien dieser Gleichungen für die „N“-Dimension, wenn ein Ereignis durch „N*2“-Zahlen bestimmt werden kann, und sogar noch komplexere Konstruktionen (im Rahmen der mehrdimensionalen Bereichsintegrale). Dies sind recht komplexe Abschnitte der Mathematik, aber hier sind sie überflüssig. Alle hier ermittelten Gesetze sind für die eindimensionale Variante autark.

Bevor wir zu komplexeren Konstruktionen übergehen, wollen wir uns einige bekannte Parametermerkmale der Zufallswertverteilungsgesetze in Erinnerung rufen:

Um eine dieser Gleichungen zu definieren, müssen wir das Wichtigste bestimmen - den mathematischen Erwartungswert einer Zufallsvariablen. In unserem Fall sieht er folgendermaßen aus:

Der mathematische Erwartungswert ist einfach das arithmetische Mittel. Mathematiker geben einfachen Dingen gerne sehr kluge Namen, damit niemand etwas versteht. Ich habe zwei Gleichungen aufgestellt. Ihr einziger Unterschied besteht darin, dass die erste Methode mit einer endlichen Anzahl von Zufallsvariablen arbeitet (begrenzte Datenmenge), während im zweiten Fall das Integral über die „Wahrscheinlichkeitsdichte“ verwendet wird.

Ein Integral ist das Äquivalent einer Summe, mit dem einzigen Unterschied, dass es eine unendliche Anzahl von Zufallsvariablen aufsummiert. Das Gesetz einer Zufallsvariablenverteilung, das unter dem Integral liegt und die gesamte Unendlichkeit der Zufallsvariablen enthält. Es gibt einige Unterschiede, aber im Großen und Ganzen ist die Essenz die gleiche.

Kehren wir nun zu den vorherigen Gleichungen zurück. Dies sind nur einige Manipulationen mit den Gesetzen der Verteilung von Zufallsvariablen, die für die meisten Mathematiker praktisch sind. Wie im letzten Beispiel gibt es zwei Implementierungen - eine für eine endliche Menge von Zufallsvariablen, die andere für eine unendliche Menge (das Gesetz einer Zufallsvariablenverteilung). Sie besagt, dass „D“ das durchschnittliche Quadrat der Differenz zwischen allen Zufallsvariablen und der durchschnittlichen Zufallsvariablen ist (die mathematische Erwartung der Zufallsvariablen). Dieser Wert wird als „Streuung“ bezeichnet. Die Wurzel aus diesem Wert wird als „Standardabweichung“ bezeichnet.

Normalverteilung einer Zufallsvariablen

Diese Werte sind in der Mathematik der Zufallsvariablen allgemein anerkannt. Sie gelten als am besten geeignet, um die wichtigsten Merkmale der Zufallsverteilungsgesetze zu beschreiben. Ich bin mit dieser Auffassung nicht einverstanden, aber dennoch bin ich verpflichtet, Ihnen zu zeigen, wie sie berechnet werden. Letztlich werden diese Größen benötigt, um das Gesetz der Normalverteilung zu verstehen. Es ist unwahrscheinlich, dass Sie diese Informationen leicht finden werden, aber ich werde Ihnen sagen, dass das Gesetz der Normalverteilung künstlich mit nur wenigen Zielen erfunden wurde:

• Eine einfache Methode zur Bestimmung des Verteilungsgesetzes, das symmetrisch zur mathematischen Erwartung ist
• Möglichkeit der Einstellung von Streuung und Standardabweichung
• Fähigkeit, mathematische Erwartungen zu setzen

All diese Optionen ermöglichen es uns, eine fertige Gleichung für das Gesetz der Verteilung einer Zufallsvariablen zu erhalten, das sogenannte Normalverteilungsgesetz:

Es gibt noch weitere Varianten der Gesetze der Zufallsvariablenverteilung. Jede Implementierung ist für einen bestimmten Bereich von Problemen erfunden worden, aber da das normale Gesetz das populärste und bekannteste ist, werden wir es als Beispiel verwenden, um das mathematische Äquivalent der folgenden Aussagen zu beweisen und zusammenzustellen:

• Je mehr Instrumente für ein profitables System parallel gehandelt werden, desto schöner und geradliniger ist unsere Gewinnkurve (ein Spezialfall der Diversifizierung).
• Je länger der gewählte Bereich zum Testen oder Handeln ist, desto schöner und geradliniger ist unsere Gewinnkurve.
• Je mehr parallel gehandelte Systeme mit nachgewiesener Rentabilität, desto geradliniger und schöner ist unsere Gesamtrentabilitätskurve.
• Die Kombination aller oben genannten Faktoren führt zu einer idealen Diversifizierung und dem schönsten Chart.

Alles, was gesagt wurde, gilt nur für Handelssysteme, deren Rentabilität mathematisch und praktisch nachgewiesen ist. Lassen Sie uns zunächst definieren, was „der schönere Graph“ in mathematischer Hinsicht bedeutet. Die „Standardabweichung“, deren Gleichung ich oben bereits gezeigt habe, kann uns dabei helfen.

Wenn wir eine Familie von Verteilungsdichtekurven für eine Zufallsvariable des Gewinnzuwachses mit demselben mathematischen Erwartungswert haben, die zwei Abschnitte derselben Zeitdauer für zwei praktisch identische Graphen symbolisieren, dann würden wir diejenige mit der kleinsten Standardabweichung vorziehen. Die perfekte Kurve in dieser Familie könnte eine mit einer Standardabweichung von Null sein. Diese Kurve ist nur erreichbar, wenn wir die Zukunft kennen, was unmöglich ist, aber wir müssen dies verstehen, um Kurven aus dieser Familie vergleichen zu können.

Schönheit der Gewinnkurve im Rahmen des Gesetzes der Zufallswertverteilung

Diese Tatsache ist verständlich, wenn wir es mit einer Kurvenfamilie zu tun haben, bei der die mathematischen Erwartungen des Gewinnzuwachses im gewählten Zeitraum gleich sind, aber was ist zu tun, wenn wir es mit völlig willkürlichen Verteilungskurven zu tun haben? Es ist nicht klar, wie man sie vergleichen kann. In dieser Hinsicht ist die Standardabweichung nicht mehr perfekt, und wir brauchen einen anderen, universelleren Vergleichswert, der die Skalierung berücksichtigt, oder wir müssen uns einen Algorithmus ausdenken, um diese Verteilungsgesetze auf einen bestimmten relativen Wert zu reduzieren, bei dem alle Verteilungen die gleiche mathematische Erwartung haben und daher die klassischen Kriterien für alle Kurven gelten. Ich habe einen solchen Algorithmus entwickelt. Einer der Tricks darin ist die folgende Transformation:

Die Familie dieser Kurven wird etwa so aussehen:

Abb. 6

Eine sehr interessante Tatsache ist, dass, wenn wir das Gesetz der Normalverteilung dieser Transformation unterziehen, es in Bezug auf diese Transformation invariant ist und wie folgt aussehen wird:

Die Invarianz besteht in den folgenden Ersetzungen:

Setzt man diese Ersetzungen in die vorhergehende Gleichung ein, so erhält man das gleiche Verteilungsgesetz mit den entsprechenden Werten mit Sternchen:

Diese Transformation ist notwendig, um nicht nur die Invarianz des Transformationsgesetzes zu gewährleisten, sondern auch die Invarianz des folgenden Parameters:

Ich musste diesen Parameter erfinden. Es ist unmöglich, das Normalverteilungsgesetz, wie jedes andere Gesetz auch, ohne dieses Gesetz richtig zu skalieren. Dieser Parameter ist auch für jedes andere Verteilungsgesetz unveränderlich. In der Tat ist das normale Gesetz leichter zu erkennen und zu verstehen. Die Idee dahinter ist, dass sie für beliebige Verteilungen mit unterschiedlichen mathematischen Erwartungen verwendet werden kann und in ihrem Wesen der Standardabweichung ähnelt, nur ohne die Anforderung, dass alle verglichenen Verteilungen die gleiche mathematische Erwartung haben müssen. Es stellt sich heraus, dass unsere Transformation dazu dient, eine Familie von Verteilungen zu erhalten, bei denen ein bestimmter Parameter denselben Wert hat. Scheint ziemlich praktisch zu sein, nicht wahr?

Dies ist eine Möglichkeit, die so genannte Schönheit der Graphen zu definieren. Das System mit den kleinsten Parametern ist „das schönste“. Das ist alles gut, aber wir brauchen diesen Parameter für einen anderen Zweck. Wir haben uns die Aufgabe gestellt, die Schönheit der beiden Systeme zu vergleichen. Stellen Sie sich vor, wir haben zwei Systeme, die unabhängig voneinander handeln. Unser Ziel ist es also, diese Systeme zu verschmelzen und zu verstehen, ob sich diese Verschmelzung auswirkt, oder besser gesagt, wir erhoffen uns das Folgende:

 

Diese Verhältnisse werden bei der Anwendung eines beliebigen Verteilungsgesetzes beobachtet. Das bedeutet automatisch, dass es sinnvoll ist, zu diversifizieren, wenn unsere parallel gehandelten Instrumente oder Systeme eine ähnliche Rentabilität aufweisen. Wir werden diese Tatsache ein wenig anders beweisen. Wie gesagt, ich habe einen Algorithmus entwickelt, der alle Verteilungen auf einen relativen Zufallswert reduziert. Wir werden sie verwenden, aber zunächst den allgemeinen Prozess der Zusammenführung mehrerer Linien im Rahmen des Verteilungsgesetzes einer Zufallsvariablen analysieren, die die Summe zweier Deltas darstellt. Wir werden die Verschmelzung paarweise unter Verwendung der Rekursionslogik durchführen. Dazu nehmen wir an, dass wir „n+1“ Kurven haben, von denen jede eine bestimmte mathematische Erwartung hat. Aber um zu der Zufallsvariablen zu gelangen, die die Verschmelzung symbolisiert, müssen wir das verstehen:

Tatsächlich handelt es sich um einen wiederkehrenden Ausdruck, der keinen mathematischen Sinn ergibt, aber die Logik der Zusammenführung aller in der Liste vorhandenen Zufallsvariablen zeigt. Vereinfacht gesagt, haben wir „n+1“ Kurven, die wir mit „n“ aufeinanderfolgenden Transformationen kombinieren müssen. Das bedeutet, dass wir das Verteilungsgesetz der gesamten Zufallsvariablen bei jedem Schritt mit Hilfe einer Art von Transformationsoperatoren erhalten müssen.

Ich werde mich nicht mit langen Erklärungen aufhalten. Stattdessen zeige ich einfach diese Umrechnungsoperatoren, damit Sie Ihre eigenen Schlussfolgerungen ziehen können. Diese Gleichungen setzen die Verschmelzung zweier Gewinnkurven innerhalb des gewählten Zeitraums um und berechnen die Wahrscheinlichkeit, dass der Gesamtgewinn der beiden Kurvensegmente „dE1 + dE2“ kleiner (Pl) bzw. größer (Pm) als der gewählte Wert „r“ sein wird:

Hier gibt es zwei Möglichkeiten, diese Mengen umzusetzen. Beide sind sich völlig ähnlich. Nach der Berechnung dieser Werte können sie verwendet werden, um das Verteilungsgesetz der Zufallsvariablen „r“ zu erhalten, das wir benötigen, um die gesamte wiederkehrende Verschmelzungskette zu berechnen. Durch die Definition einer Zufallsvariablen können wir die entsprechenden Verteilungsgesetze aus diesen Gleichungen wie folgt erhalten:

Wie Sie vielleicht schon erraten haben, können wir nach der Ermittlung des Verteilungsgesetzes zum nächsten Schritt innerhalb der wiederkehrenden Kette von Transformationen übergehen. Nachdem wir die gesamte Kette durchgearbeitet haben, erhalten wir die endgültige Verteilung, die wir bereits mit einer der Verteilungen vergleichen können, die wir für die Kette der wiederkehrenden Zusammenführung verwendet haben. Lassen Sie uns ein paar Verteilungen auf der Grundlage der Gesetze erstellen, die wir haben, und einen Zusammenführungsschritt als Beispiel ausführen, um zu zeigen, dass jede Zusammenführung „schöner als die letzte“ ist:

Abb. 7

Das Bild zeigt die mathematische Zusammenführung, bei der unsere Zusammenführungsgleichungen angewendet werden. Das einzige, was dort nicht gezeigt wird, ist die Differenzierung zur Umwandlung von Integralen in Gesetze einer zufälligen Werteverteilung. Wir werden uns das Ergebnis der Differenzierung etwas später im Rahmen einer allgemeineren Idee ansehen, aber jetzt wollen wir uns erst einmal mit dem beschäftigen, was auf dem Bild zu sehen ist.

Achten Sie auf die roten Rechtecke. Sie bilden hier die Grundlage. Das kleinste Integral besagt, dass wir das Integral gemäß dem ursprünglichen Verteilungsgesetz so nehmen, dass wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Zufallsvariable einen kleineren Wert als den mathematischen Erwartungswert dividiert durch „Kx“ annimmt. Oben sehen Sie ähnliche Integrale für die Verschmelzung von zwei leicht unterschiedlichen Verteilungen. In allen Fällen ist es wichtig, dieses Verhältnis (Kx) zwischen dem mathematischen Erwartungswert und dem gewählten Grenzwert des Integrals, der im entsprechenden „Kx“ ausgedrückt wird, einzuhalten. 

Beachten Sie, dass dort beide Verschmelzungsoptionen gemäß den Gleichungen, die ich Ihnen oben genannt habe, dargestellt sind. Außerdem gibt es eine Verschmelzung der Basisverteilung mit sich selbst, so als ob wir zwei ähnliche Gewinnkurven verschmelzen würden. Ähnlich bedeutet nicht identisch im Bild, sondern identische Verteilungsgesetze für die Zufallsvariable des Gewinnkurvenanstiegs im gewählten Zeitabschnitt. Der Beweis dafür ist, dass wir eine geringere Wahrscheinlichkeit einer relativen Abweichung der fusionierten Zufallsvariablen im Vergleich zur ursprünglichen gefunden haben. Dies bedeutet, dass wir ein „schöneres“ Gesetz für die Erhöhung eines zufälligen Gewinnwerts bei jeder Fusion haben. Natürlich gibt es Ausnahmen, die ein tieferes Eintauchen in das Thema erfordern, aber ich denke, dass dieser Ansatz für diesen Artikel ausreichend ist. Sie werden höchstwahrscheinlich nirgendwo etwas Besseres finden, denn es handelt sich um ein sehr spezielles Material.

Die alternative Möglichkeit, die Schönheit zu vergleichen, besteht darin, sowohl die ursprünglichen Verteilungsgesetze als auch das Ergebnis der oben betrachteten rekurrenten Kette zu transformieren. Um dies zu erreichen, müssen wir nur unsere Transformation verwenden, die es uns ermöglichte, eine Familie skalierbarer Verteilungskurven zu erhalten und wie folgt vorzugehen:

Der Trick bei dieser Transformation besteht darin, dass bei diesem Ansatz alle Verteilungsgesetze, die der entsprechenden Transformation unterzogen werden, denselben mathematischen Erwartungswert haben und wir dementsprechend nur die Standardabweichung verwenden können, um ihre „Schönheit“ zu bewerten, ohne irgendwelche exotischen Kriterien erfinden zu müssen. Ich habe Ihnen zwei Methoden gezeigt. Es liegt an Ihnen, die für Sie am besten geeignete zu wählen. Wie Sie vielleicht schon erraten haben, sehen die Verteilungsgesetze all dieser relativen Kurven wie folgt aus:

Dieser Ansatz ist auch auf erweiterte Tests anwendbar. Unter erweiterten Tests verstehen wir hier Tests über einen längeren Abschnitt. Diese Anwendung ist nur dazu geeignet, die Tatsache zu bestätigen, dass die Grafik umso schöner ist, je länger der Test dauert. Der einzige Trick, den Sie für diesen Beweis anwenden müssen, besteht darin, zu akzeptieren, dass wir, wenn wir die Dauer des Tests erhöhen, dies in Vielfachen einer ganzen Zahl tun, während wir bei Vielfachen dieser Zahl bereits nicht 1 Schritt, sondern „n“ berücksichtigen und die Verschmelzungsgleichungen anwenden. Diese Zusammenführung ist sogar noch einfacher, da die wiederkehrende Zusammenführungskette nur ein einziges Element enthält, das doppelt vorhanden ist, und das Ergebnis nur mit diesem Element verglichen werden kann.

Schlussfolgerung

In diesem Artikel haben wir nicht den Rebuy-Algorithmus selbst betrachtet, sondern ein viel wichtigeres Thema, das Ihnen die notwendigen mathematischen Gleichungen und Methoden für eine genauere und effizientere Bewertung von Handelssystemen liefert. Noch wichtiger ist, dass Sie den mathematischen Beweis dafür erhalten, was Diversifizierung wert ist und was sie effektiv macht, und wie Sie sie auf natürliche und gesunde Weise steigern können, in dem Wissen, dass Sie alles richtig machen.

Wir haben auch bewiesen, dass der Graph eines profitablen Systems umso schöner ist, je länger der Handelsbereich ist, den wir verwenden, und auch, dass mehrere profitable Systeme gleichzeitig auf einem Konto handeln. Bis jetzt ist alles in Form einer Theorie formuliert, aber im nächsten Artikel werden wir die angewandten Aspekte betrachten. Vereinfacht gesagt, werden wir ein funktionierendes mathematisches Modell für die Preissimulation und die Simulation des Handels mit mehreren Währungen erstellen und alle unsere theoretischen Schlussfolgerungen bestätigen. Höchstwahrscheinlich werden Sie diese Theorie nirgendwo finden, also versuchen Sie, sich in diese Mathematik zu vertiefen oder zumindest ihre Essenz zu verstehen.