赌场和投资圈最著名的数学公式

31 十月 2016, 11:43
Hongbo Yang
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 在抛硬币的游戏中,从古至今似乎有一种魔力吸引了无数的高智商群体对其研究痴迷,流传至今主流的策略概况有二:等价鞅策略与反等价鞅策略。

  •   等价鞅策略:输了将赌注翻倍直到赢为止,赢了将赌注恢复至初始值;

  •   反等价鞅策略:总是按现有资金总额的一定比例下注。

  等价鞅策略致命的弱点是博弈者在连续若干次失败后将没有足够资金继续赌注翻倍的游戏,因为赌注会随着失败次数呈2次方的速度增长,而反等价鞅策略汲取“日取其半,万世不竭”的道理,使得我们能够永远的继续这个游戏下去,哪怕成为百万富翁的概率多么小,也是会成功的,而一旦游戏触及我们的“止盈”条件,就可以终止游戏,所以今天,我们就想来谈谈反等价鞅策略中的著名公式。

  一、赌场中最著名的一个数学公式

  讲公式前再卖个关子,先来看一场赌局:

  假设您有100美金进行一项抛硬币游戏——如果硬币为正面,您1美元就赢2美元;如果硬币为反面,您就输1美元。您每次该投入本金的百分之多少来获得收益的最大化呢?

  我本人的第一感觉是——不会吧,这也会有答案,其实就这样一个看似无解的问题,凯利公式告诉您:25%。

  那么,凯利公式(Kelly formula)究竟是什么?

  f * = 现有资金应进行下次投注的比例(也就是我们刚才要求的答案)

  b = 赔率(赔率=期望盈利÷可能亏损=2美元盈利÷1美元亏损,赔率就是2了)

  p = 成功概率(抛硬币正反面都是50%的概率)

  q = 失败概率 (也就是 1-p,赌局中也是50%了 )

  以上面游戏为例计算过程就是(bp-q)÷ b =(2 * 50%-50%)÷ 2 = 25% .

  从公式我们可以获得我们投资的一点启发:

  只有出现赢面(bp - q )为正的时候,游戏才可以下注,这是一切赌戏和投资最基本的道理,也就是前面讲的“没有把握,决不下注”。

  赢面还要除以“b”才是投注资金比例。 也就是说赢面相同的情况下,赔率越小越可以多押注。如果不理解这句话,我们看看例子:

  用凯利公式我们知道“小博大”游戏只能押总资金的4%,但是按大部分人的赌性,恐怕会选“小博大”游戏,而且重仓甚至show hand吧? 但是,理性的选择应该是“大博小”,因为他快多了,因为可以用40%的仓位! 所以,说到这,我们投资股票的时候如果想增大短期仓位可能最优的选择就是考虑一下重仓波动性小但是上涨概率大的大盘股,而对于波动剧烈的小盘股,我们必须保留低仓位运作。

  3。他可靠么?我想这个世界上已经有一大群数学家的论据来支持这个最优答案,我们这就简单以广发证券的一张图来消除大家的疑虑吧(题目略,图中一共五组选项,红色曲线的10%自然就是凯利公式算出来的答案)

  二、金融圈中最著名的一个数学公式

  其实,投资就像一场赌博,我们知道获胜的公式=获胜概率*操作次数*参与仓位。而要说金融圈最著名的人,巴菲特一定在其中;要说金融圈最著名的一个公式,凯利公式(Kelly formula)一定在其中,而且,巴菲特也用过它来管理资金哦。那我们也尝试把凯利公式应用到我们的策略吧:

  假如我们能找到一种盈利模式,这里就举例我们最熟悉的追涨停板策略吧,在一只个股即将涨停的时候买入,假设你是超级高手,你每次打板都能盈利,那么你的成功概率就是100%;假设你是刚入市的新手,10次打板9次亏,那么你的成功概率就是10%。我们按照10%~100%的不同成功概率进行分档,每隔10%划分为一档。

  我们来看看市场好的时候:

  上图凯莉公式的计算结果显示,市场好的时候,如果真的追涨停有4个涨停板的盈利,那么,只要你有30%的把握就可以出手了。

  我们再来看看市场差的时候:

  这里凯利公式告诉我们,市场差的时候,除非你能有80%的获胜信心,不然还是不要随意轻易出手。

  如果您觉得上面的公式有点复杂,那要不考虑一下巴菲特版的凯利公式吧(网传节选自《巴菲特的投资组合》):

  X=2p-1

  p=成功的概率

  X=投入的资金百分比

  简单吧,还是以上面的例子做案例,如果市场差的,有一个80%概率打板盈利的投资机会,那么就买入2 * 80% - 1 = 60%的股票仓位,如果有一个100%盈利的投资机会,那么就全仓吧,所以,巴菲特版的公式思维更简单,只是似乎比原版进取些,因为忽略了赔率的影响。

  如果您要加入止损位,那么可以把公式优化成:

  f*=(b*(1+p)-1)÷(b*止损幅度)

  三、当前市场应用实例

  说回当前市场,我们知道目前投资者最迷茫的就是市场究竟向上还是向下,我们尝试让凯利公式给我们一点思绪:

  目前市场几乎认为A股市场几乎就是一个箱体震荡,如果我们假设这个箱体介于2700-3300,周五收盘价是3012,我们取整数3000,也就是说向上10%的涨幅,向下10%的跌幅,我们列表如下:

  也就是说,如果您觉得短期市场不会打破2700-3300的区间,如果您觉得有60%的把握大盘会上涨,您再用20%的仓位去买吧,不然,还是空仓吧。

  最后再举一个个股的例子:

  假设某只股票的现价为A,可能的涨幅为10%,其可能性为60%;下跌的幅度为8%,可能性自然就是40%了。这样我们应该用多少资金投入该股呢?

  (PS:实际交易中,可能性为百分之多少就真的不好说了)

  f*=(bp-q)÷ b = [(10% ÷ 8%)* 60%] ÷(10% ÷ 8%)= 28%

  如果说到凯利公式对指导投资有什么不好的地方,摘录两段话,大家可以细细品味:

  凯利公式的运用前提是独立的有顺序的赌博。这对于赌博游戏来说也许是个好的模型,但并不一定适用于投资领域。掷骰子不会受原油价格、战争发生、金融系统崩塌的影响,但证券价格会(翻译过来:凯利公式不会告诉你要买什么,也不会告诉你最适合的市场)。凯利公式要求赌注之间没有关联——这很难适用于投资组合。扑克游戏由一手发牌开始,以玩家们展示自己牌结束。然后游戏重新开局。专业投资意味着有投资组合。即使投资组合是一个整体,但里面还是有各种各样的bets。如果一次只考虑一个赌注,凯利公式认为每次要押资金的10%,意味着投资者的全部资金是有风险的。那样风险很大,尤其当赌注的报酬是有关联性的。作为投资者,如果你以这种方式增加10%的仓位,那就需要它们之间没有关联性,凯利公式才会起作用(在公式里,关联性定义为相关统计关系)。再者,投资组合一般同时拥有10个bets。因此,凯利公式的有序性更适用于赌博游戏而非投资。

  赌博游戏的报酬是统计好的,而投资有异质性。基于定性原因,在运气类游戏中,猜测或在假设上的改变都只有一次机会。证券价格不仅受“市场对内在价值认同”和“外在宏观事件”的影响,还受“理性利益相关方的行为”和“非理性的无知的利益相关方行为”的影响。当投资者做出认为自己有竞争优势的决定时,大多数是定性的且基于分析师或投资组合经理的个人观点。(翻译过来:投资中上涨或下跌可能发生的概率有多大难以量化计算)

  回到开篇语,其实人的本性是遵循等价鞅策略的:如果亏损了,你输的越多就越想加大赌本,总希望能有一次机会把全部亏损赚回来;如果盈利了,你的堵注却越下越小,因为你想保住利润。

  恰恰,以上的想法不正是大多数投资者在二级市场操作的常见思维么?要说凯利公式给我们的投资最大的提示,就是决策要理性、仓位要量化。要想打破一赚二平七亏的魔咒,您就必须跟大多数人不一样,我们跟大家分享过满仓的二八轮动策略,而如果对于想分批建仓的您,而且对市场趋势有较大的把握的话,那么凯利公式也许可以为您提出一些参考方案。

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