Вычисление коэффициента Херста

Dmitriy Piskarev | 8 февраля, 2017

Введение

Определение динамики рынка — одна из главных задач трейдера. Решить ее с помощью стандартных инструментов технического анализа зачастую очень сложно. Например, МА или MACD могут указывать на наличие тренда, но без дополнительных инструментов мы не можем  оценить, насколько он силен, устойчив и является ли он вообще трендом — вполне возможно, что это кратковременный всплеск, который затухнет в ближайшем будущем. 

Вспомним аксиому: чтобы успешно торговать на Forex, важно всегда знать чуть больше, чем другие участники рынка. В таком случае вы будете на шаг впереди, сможете выбирать наиболее выгодные моменты входа и быть уверенными в прибыльности сделки. Успешный трейдинг — это сочетание сразу нескольких преимуществ. Это и выставление ордеров на покупку и продажу точно в моменты перелома тренда, и успешный анализ по фундаментальным и техническим данным, и, конечно, полное отсутствие эмоций и сантиментов. Всё это — ключи к успешной карьере трейдера.

Комплексным решением многих проблем в области оценки состояния рынка может стать фрактальный анализ. Этим инструментом часто незаслуженно пренебрегают трейдеры и инвесторы, но фрактальный анализ временных рядов помогает эффективно оценить наличие и устойчивость тренда на рынке. Коэффициент Херста — одна из базовых величин фрактального анализа.

Прежде чем непосредственно перейти к вычислениям, вкратце рассмотрим основные положения фрактального анализа и познакомимся поближе с коэффициентом Херста.

1. Теория фрактального рынка (FMT). Фрактальный анализ

Фрактал — математическое множество, обладающее свойством самоподобия. Иными словами, это объект, в точности или приближённо совпадающий с частью себя самого — то есть, целое имеет ту же форму, что и одна или более частей. Самый показательный пример фрактальной структуры — «фрактальное дерево»:

Понятию самоподобия можно дать более глубокое определение: объект, обладающий этим «качеством», является статистически подобным в различных масштабах — пространственных или временных.

В контексте рынка значение слова "фрактальный" означает "повторяющийся" или "цикличный".

Фрактальная размерность – характеристика того, каким образом предмет или некий процесс заполняет пространство. Она описывает, как меняется структура предмета при изменении масштаба. Проецируя это определение на финансовые (в нашем случае — валютные) рынки, можно постулировать, что фрактальная размерность определяет степень «изрезанности» или изменчивости временного ряда.  Соответственно, прямая линия имеет размерность d, равную единице, случайное блуждание —  d=1.5, а для фрактального временного ряда 1<d<1.5  или 1.5<d<1.

В этой статье мы не будем подробно рассматривать понятие фрактальности, рассчитывая на то, что читатель уже имеет представление об этом методе анализа. Исчерпывающее описание его в применении к финансовым рынкам можно найти в работах Б. Мандельброта и Р. Л. Хадсона "(Не)послушные рынки. Фрактальная революция в финансах", Э. Петерса "Фрактальный анализ финансовых рынков", "Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка".

2. R/S-анализ и коэффициент Херста

2.1. Появление R/S-анализа

Ключевой параметр фрактального анализа — показатель Херста. Это мера, которую используют при анализе временных рядов. Чем больше задержка между двумя одинаковыми парами значений во временном ряду, тем меньше коэффициент Херста.

Этот важный показатель ввел Гарольд Эдвин Херст — выдающийся британский гидролог, который занимался проектом плотины на Ниле в Египте. Для строительства требовалось оценить приток воды и, соответственно, потребности в оттоке. Изначально считалось, что приток воды — величина случайная, стохастический процесс. Однако Херст изучил записи о разливах Нила за девять столетий и нашел в этом процессе закономерности. Это и стало отправной точкой в исследовании. Было обнаружено, что разливы больше среднего менялись еще большими разливами. После этого процесс менял свое направление, и разливы по уровню меньше среднего сменяли еще меньшие. Налицо наличие циклов с непериодичной продолжительностью.

Основой статистической модели Херста стала работа Альберта Эйнштейна о броуновском движении, которая по существу является моделью случайных блужданий частицы. Сущность теории в том, что расстояние, которое проходит частица, R, увеличивается пропорционально квадратному корню из времени T:

Перефразируем формулу: размах вариации, R, при большом количестве испытаний равен корню из количества испытаний, T. Именно эту формулу Херст взял за основу при доказательстве того, что разливы Нила — не случайность.

Для формирования своего метода гидролог использовал временной ряд X1..Xn значений разлива реки. Далее проводился следующий алгоритм, названный в последующем методом нормированного размаха или R/S-анализом:

1. Расчет среднего значения, Xm, ряда X1..Xn
2. Расчет стандартного отклонения ряда, S
3. Нормализация ряда, путем вычитания из каждого значения среднего значения, Zr, где r=1..n
4. Создание кумулятивного временного ряда Y1=Z1+Zr, где r=2..n
5. Расчет размаха кумулятивного временного ряда R=max(Y1..Yn)-min(Y1..Yn)
   
6. Деление размаха кумулятивного временного ряда на стандартное отклонение S.

Херст расширил уравнение Эйнштейна и привел его к более общей форме:

где с — константа.

В общем случае значение R/S изменяет масштаб по мере увеличения приращения времени, согласно значению степени зависимости, равной H, которая обычно и называется показателем Херста. 

Гидролог принял показатель H за 0,5, если бы процесс разлива был случайным. В процессе наблюдений он обнаружил, что H=0.91! Получается, что нормированный размах изменяется быстрее, чем квадратный корень из времени, то есть система проходит большее расстояние, чем вероятностный процесс. Данный факт являлся предпосылкой момента, когда можно утверждать, что события прошлого оказывают существенное влияние на настоящее и будущее.

2.2. Применение теории к рынкам

Впоследствии была разработана методика вычисления коэффициента Херста в применении к финансовым и фондовым рынкам. Эта характеристика включает нормирование данных к нулевому среднему и единичному стандартному отклонению с целью компенсации инфляционной составляющей. Иными словами, мы снова имеем дело с R/S-анализом.

Это означает, что в пределах определенного периода времени последующие показатели сильно зависят от предыдущих. Наглядные примеры персистентного временного ряда — графики котировок наиболее устойчивых и авторитетных компаний. Пример — американские корпорации Apple, GE, Boeng и российские Роснефть, Аэрофлот и ВТБ. Ниже приведены графики котировок этих компаний. Думаю, что каждый практикующий инвестор узнал в этих картинках знакомую ситуацию «каждый новый пик и впадина выше предыдущего».

Котировки акций Аэрофлота:

 Котировки акций Роснефти:

Котировки акций ВТБ, нисходящий персистентный временной ряд

Система меняется быстрее, чем случайная, то есть ей присущи частые, но небольшие изменения. Антиперсистентный процесс являют собой графики котировок акций второго эшелона. В период ценового застоя такие графики демонстрируют и "голубые фишки".  Ниже приведены графики цены на акции ПАО "Мечел", АВТОВАЗ, Ленэнерго, яркие примеры антиперсистентных временных рядов.

Привилегированные акции компании "Мечел":

 "Боковик" обыкновенных акций АВТОВАЗа:

"Ленэнерго":

Примеры значений показателя Херста для инструментов фондового рынка — ценных бумаг различных корпораций, промышленных компаний, товаров — приведены в таблице ниже. Расчет проведен за последние 7 лет. Обратите внимание, что невысокие значения коэффициента у "голубых фишек" свидетельствуют о нахождении многих компаний в стадии консолидации во время финансового кризиса. Интересно, что многие ценные бумаги из Индекса акций второго эшелона показывают персистентный процесс, что говорит об их устойчивости к кризису.

3. Определение циклов и память во фрактальном анализе

Возникает вопрос: почему мы должны быть уверены, что наши результаты не являются случайными (тривиальными)? Отвечая на него, сперва мы изучим результаты RS-анализа, предполагая, что исследуемая система является случайной. То есть, проверим истинность нулевой гипотезы о том, что процесс является случайным блужданием и его структура независимая и нормально распределенная.

3.1. Расчет ожидаемого значения R/S-анализа

Введем понятие ожидаемого значения R/S-анализа.

Энис и Ллойд в 1976 году вывели уравнение, которое выражает необходимое нам ожидаемое значение:

Где n — количество наблюдений, а r – целые числа от одного до n-1.

Все довольно просто:

1. для каждого количества наблюдений считаем ожидаемое значение и вычерчиваем полученный график Log(E(R/S)) от Log(N) совместно с Log(R/S) от Log(N);
2. рассчитываем ожидаемую дисперсию показателя Херста, по знакомой из статистической теории формуле

                     где       H – показатель Херста;

                                 N – число наблюдений в выборке;

    3. проверяем значимость полученного коэффициента Херста путем оценки количества стандартных отклонений, на которые H превосходит E(H). Значимым считается результат,  когда показатель значимости по модулю больше 2.

3.2. Определение циклов

Чтобы не быть голословными, разберем пример. Построим два графика — для RS-статистики и для ожидаемого значения E(R/S) — а затем сравним с динамикой рынка. Согласуются ли результаты расчетов с движением котировок?

Вспомним работы Петерса, который отметил, что наилучший способ понять, есть ли цикл, — это построение графика V-статистики в логарифмическом масштабе от логарифма числа наблюдений в подгруппе.  

Оценить результат построения действительно просто:

1. если график в логарифмическом масштабе по обеим осям представляет собой горизонтальную линию, то мы имеем дело с независимым вероятностным процессом;
2. если график имеет положительный восходящий угол наклона, то мы имеем дело с персистентным процессом, под которым, повторюсь, подразумевается, что изменения масштаба R/S происходят быстрее, чем квадратный корень из времени;
3. и наконец, если график показывает нисходящую динамику, то присутствует антиперсистентный процесс.

3.3. Память во фрактальном анализе и определение ее глубины

Чтобы еще больше понять сущность фрактального анализа, введем понятие памяти.

Выше уже упоминались такие словесные конструкции как долговременная и кратковременная память. Под памятью во фрактальном анализе понимается некоторый промежуток времени, в течение которого рынок помнит прошлое и учитывает его влияние на настоящих и будущих событиях. Этот промежуток времени называется глубиной памяти. В этом понятии в какой-то мере заключена вся сила и специфика фрактального анализа. Такая информация — ключевая для технического аналитика, который сомневается в значимости той или иной технической фигуры в прошлом.

Для определения глубины памяти не требуется какой-то особенной вычислительной мощности. Для этого достаточно простейшего визуального анализа графика логарифма V-статистики.

1. Проведем линию тренда вдоль всех охватываемых точек графика.
2. Удостоверимся в том, что кривая не горизонтальна.
3. Определим пики кривой или участки, где функция достигала своих максимумов. Именно эти максимумы — первый «красный флажок», который предупреждает, что на графике с большой вероятностью присутствует цикл.
4. Определим координату X графика в логарифмическом масштабе и преобразуем число в понятную для восприятия форму: Длина периода = exp^ (Длина периода в логарифмическом масштабе). Соответственно, если вы анализировали 12000 часовых данных пары GBPUSD и получили число 8.2 в логарифмическом масштабе, то цикл составляет exp^8.2=3772 часа или 157 дней.
5. Любые истинные циклы должны сохраняться на том же промежутке времени, но с другим таймфреймом в качестве баз. Например, в п.4 мы исследовали 12000 часовых данных пары GBPUSD и предположили, что имеет место цикл длиной 157 дней. Переключаемся на четырехчасовой таймфрейм и проводим анализ уже, соответственно, 12000/4=3000 данных. Если цикл в 157 дней будет иметь место, то с большой вероятностью вы не прогадали. Если же нет, то не отчаивайтесь: возможно, вы сможете найти более короткие циклы памяти.

3.4. Фактические значения показателя Херста для валютных пар

Мы закончили изложение основных принципов теории фрактального анализа. Прежде чем перейти к непосредственной реализации RS-анализа с помощью средств языка программирования MQL5, я счел нужным привести еще некоторые иллюстрации.

В таблице ниже приведены значения показателя Херста для 11 валютных пар рынка FOREX на различных таймфреймах и количестве баров. Коэффициенты рассчитаны путем решения регрессии методом наименьших квадратов (МНК). Как видим, формально большинство валютных пар поддерживают персистентный процесс, хотя и встречаются антиперсистентные. Но насколько значим этот результат? Можно ли доверять этим цифрам? Об этом поговорим позже.

Таблица 1. Исследование показателя Херста для 2000 баров

Таблица 2. Исследование показателя Херста для 400 баров

Таблица 3. Результаты вычисления показателя Херста для таймфреймов 15М и 5М

В исследованиях Э. Петерса рекомендовано анализировать некоторый базовый таймфрейм и искать по нему временной ряд, обладающий циклическими зависимостями. Затем рекомендуется разбить проанализированный интервал времени на меньшее число баров путем изменения таймфрейма и "подгонкой" глубины истории. Отсюда вытекает следующее: 

Используя различные комбинации доступных для исследования баров, можно отыскать непериодические циклы, длина которых окажет хорошую службу любому трейдеру, сомневающемуся в целесообразности использования прошлых сигналов технических индикаторов.

4. От теории к практике

Итак, мы получили начальные знания о фрактальном анализе, узнали о том, что такое коэффициент Херста и как интерпретировать его значения. Теперь на повестке вопрос программной реализации идеи средствами языка MQL5.

Техническое задание сформулируем так: необходимо составить программу, рассчитывающую по заданной валютной паре коэффициент Херста для 1000 баров истории.

Шаг 1. Создаем новый скрипт

В результате получаем "каркас", который будем заполнять информацией. Сразу же добавляем свойство #property script_show_inputs, так как нам будет необходимо выбирать валютную пару на входе.

5. Программные решения

Существует множество программных ресурсов, в которых уже реализован алгоритм R/S-анализа. Однако обычно реализация этого алгоритма сжата и оставляет большую часть аналитической работы пользователю. К таким примерам относится пакет Matlab. 

Существует также утилита для терминала MetaTrader 5, доступная в Маркете, под названием Fractal Analysis, при помощи которой пользователь может проводить фрактальный анализ финансовых рынков. Давайте разберемся, как работать с этим анализатором.

5.1. Входные данные

Фактически из всего многообразия входных параметров нас будут интересовать только первые три, а именно Symbol, Number of bars и Timeframe. 

Как видно из скриншота ниже, Fractal Analysis позволяет выбрать валютную пару, причем совершенно не имеет значения, в окне какого инструмента утилита была запущена: самое главное — указать символ в окне инициализации.  

Выбираем интересующее количество баров определенного таймфрейма, который указывается пунктом ниже.    

Также обратите внимание на параметр Chart lifetime, который задает количество секунд, в течение которых вы сможете работать с утилитой. В итоге после нажатия кнопки "ОК" в левом верхнем углу главного окна терминала MetaTrader 5 появится анализатор. Пример приведен на скриншоте ниже. 

В конечном счете на экране появляются все необходимые для фрактального анализа данные и результаты, объединенные в блоки.

В левой части представлена область с графическими зависимостями в логарифмическом масштабе:

• R/S-статистики от числа наблюдений в выборке;
• ожидаемого значения R/S-статистики E(R/S) от числа наблюдений;
• V-статистики от числа наблюдений.

Это интерактивная область, которая подразумевает применение инструментария MetaTrader 5 для анализа графиков, так как иногда бывает довольно сложно отыскать длину цикла "на глаз". 

Также представлены уравнения кривых и линий тренда, по наклону которых определяются числовые показатели Херста (H). Рассчитывается и ожидаемое значение показателя Херста (E). Эти уравнения находятся в соседнем правом блоке, и там же рассчитываются дисперсия и значимость анализа, цвет спектра сигнала. 

Для удобства пользователя программа рассчитывает длину исследуемого периода в днях. Это необходимо понимать для оценки значимости исторических данных.

В строке Process type выводится характеристика временного ряда:

• персистентный;
• антиперсистентный;
• случайное блуждание.

И наконец, в блоке "Interpretation" выводится краткое резюме, которое будет полезно для аналитика, только еще начинающего знакомство с фрактальным анализом. 

5.2. Пример работы

Определяем, какой инструмент и на каком временном интервале мы будем анализировать.  Возьмем пару "новозеландский доллар и швейцарский франк" (NZDCHF) и посмотрим на последние котировки в часовом масштабе (H1).

Обращаем внимание на то, что за последние приблизительно два месяца рынок находится в режиме консолидации. Опять же, нас НЕ интересуют другие инвестиционные горизонты. Вполне возможно, что график дневного таймфрейма показывал бы восходящий или нисходящий тренд. Мы выбрали 1H и определенное количество исторических данных.

Судя по всему, процесс антиперсистенттен. Давайте проверим это при помощи Fractal Analysis.

С 21.11 по 3.02 мы имеем 75-дневную историю. Переведем 75 дней в часы. Получаем 1800 часовых данных. Так как на входе утилиты нет такого количества баров, указываем ближайшее значение, то есть, 2000 анализируемых часовых периодов.

В результате получаем следующую картину:

Как видите, наша гипотеза подтверждена, и рынок на этом горизонте демонстрирует антиперсистентный процесс, причем довольно значимый — значение показателя Херста H=0.490, это на практически три стандартных отклонения ниже ожидаемого значения E=0.557.

Давайте закрепим результат и возьмем чуть более старший таймфрейм, H2 и, соответственно, в два раза меньшее количество баров истории — 1000 значений. Результатом будет следующее:

Мы снова видим антиперсистентность. Показатель Херста H=0.469, что более чем на три стандартных отклонения отстает от ожидаемого значения коэффициента E=0.564.

Теперь попытаемся найти циклы.

Вернемся к графику для H1 и попытаемся поймать момент отрыва кривой R/S от E(R/S). Этот момент характеризуется образованием вершины на графике V-статистики. Таким образом, теперь мы можем определить приблизительную величину цикла.

Она приблизительно равна N1 = 2.71828^6.2 = 493 часа, что эквивалентно двадцати одному дню.

Разумеется, по результатам одного эксперимента, нельзя с уверенностью говорить о достоверности результата. Как уже говорилось выше, нужно "играть" с таймфреймами и пытаться подбирать всевозможные комбинации "таймфрейм — число баров", чтобы удостовериться в истинности полученного результата.

Проведем графический анализ 1000 баров таймфрейма H2. 

Длина цикла равна N2 = 2.71828^5.5 = 245 двухчасовых периодов, что эквивалентно приблизительно двадцати дням.

Проанализируем теперь 30-минутный таймфрейм и 4000 значений. Получаем антиперсистентный процесс с показателем Херста H = 0.492 и ожидаемым значением E=0.55, которое на целых 3,6 стандартных отклонений превосходит H.

Длина цикла N3 =  2.71828^6.8 = 898 тридцатиминутных отрезков, или 18.7 дней. 

Для обучающего примера будет достаточно трех испытаний. Найдем среднее значение полученных длин периода M= (N1 + N2 + N3)/3 = (21 + 20 + 18.7)/3 = 19.9 или 20 дней.

В результате мы получаем период, в пределах которого техническим данным действительно можно доверять и строить на них торговую стратегию. В очередной раз повторюсь, что данный расчет и анализ приведены для инвестиционного горизонта длиной в два месяца. Это означает, что анализ теряет свою актуальность при переходе на внутридневную торговлю, так как там, вероятно, присутствуют свои сверхкраткосрочные циклические процессы, наличие или отсутствие которых нужно доказать. Если циклы не будут обнаружены, то значит, технический анализ потеряет релевантность и эффективность, и разумным решением будет перейти на новостную торговлю и "трейдинг на сентиментах" (на настроениях рынка).

Заключение 

Фрактальный анализ — это некая синергия технического, фундаментального и статистического подхода к прогнозированию динамики рынка. Это универсальный способ обработки информации: R/S-анализ и показатель Херста успешно зарекомендовали себя в таких областях науки, как география, биология, физика, экономика. Фрактальный анализ можно применять для построения скоринговых или оценочных моделей, применяемых кредитными учреждениями для анализа платежеспособности заемщиков.

И в заключение повторю мысль, приведенную в начале статьи: для успешной торговли на финансовых рынках важно всегда знать чуть больше, чем другие инвесторы. Предвкушая ошибочное понимание изложенной информации,  хочу предупредить читателя о том, что рынок имеет свойство "обманывать" аналитика. Поэтому всегда проверяйте наличие непериодического цикла на старших и младших таймфреймах. Если он не будет обнаруживаться на других таймфреймах — велика вероятность того, что цикл представляет собой лишь рыночный шум.